2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)

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1、山东卷(理科数学)1.(2012山东,理1)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为().A.3+5iB.3-5iC.-3+5iD.-3-5iA设z=a+bi,a,bR,则z(2-i)=(a+bi)(2-i)=(2a+b)+(2b-a)i,所以解得所以z=3+5i,故选A.2.(2012山东,理2)已知全集U=0,1,2,3,4,集合A=1,2,3,B=2,4,则(UA)B为().A.1,2,4B.2,3,4C.0,2,4D.0,2,3,4C易知UA=0,4,所以(UA)B=0,2,4,故选C.3.(2012山东,理3)设a0,且a1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”

2、是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A由函数f(x)=ax在R上是减函数可得0a1,由函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数可得a2,因为0a1a2,a20aQ,循环结束,输出n=3,故选B.7.(2012山东,理7)若,sin 2=,则sin =().A.B.C.D.D由,得2.又sin 2=,故cos 2=-.故sin =.8.(2012山东,理8)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x0,2x-2-x0,即f(x)0,而f(x

3、)=0有无数个根,所以D正确.10.(2012山东,理10)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1D双曲线x2-y2=1的渐近线为y=x,与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形面积为16,可得四边形为正方形,其边长为4,双曲线的渐近线与椭圆C的一个交点为(2,2),所以有+=1,又因为e=,a2=b2+c2,联立解方程组得a2=20,b2=5,故选D.11.(2012山东,理11)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4

4、张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为().A.232B.252C.472D.484C完成这件事可分为两类,第一类3张卡片颜色各不相同共有=256种;第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有=216种,由分类加法计数原理得共有472种,故选C.12.(2012山东,理12)设函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,bR,a0).若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是().A.当a0时,x1+x20B.当a0,y1+y20时,x1+x20,y1+y20时,x1+x

5、20,y1+y20B解析:由题意知函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,bR,a0)的图象有且仅有两个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),等价于方程=ax2+bx(a,bR,a0)有两个不同的根x1,x2,即方程ax3+bx2-1=0有两个不同实根x1,x2,因而可设ax3+bx2-1=a(x-x1)2(x-x2),即ax3+bx2-1=a(x3-2x1x2+x-x2x2+2x1x2x-x2),b=a(-2x1-x2),+2x1x2=0,-ax2=-1,x1+2x2=0,ax20,当a0时,x20,x1+x2=-x20,x10.当a0时,x20,x10,y1+y2=+=0.若曲线y

6、=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=.由题意可得曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积S=dx=a2,解得a=.16.(2012山东,理16)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为.(2-sin 2,1-cos 2)因为圆心由(0,1)平移到了(2,1),所以在此过程中P点所经过的弧长为2,其所对圆心角为2.如图所示,过P点作x轴的垂线,垂足为A,圆心为C,与x轴相切于点B,过C作PA的垂线,垂足为D,则PCD=2-,|PD|=sin=-

7、cos 2,|CD|=cos=sin 2,所以P点坐标为(2-sin 2,1-cos 2),即的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).17.(2012山东,理17)已知向量m=(sin x,1),n=(A0),函数f(x)=mn的最大值为6.(1)求A;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的值域.解:(1)f(x)=mn=Asin xcos x+cos 2x=A=Asin.因为A0,由题意知A=6.(2)由(1)f(x)=6sin.将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=6si

8、n=6sin的图象;再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=6sin的图象.因此g(x)=6sin.因为x,所以4x+.故g(x)在上的值域为-3,6.18.(2012山东,理18)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB=60,FC平面ABCD,AEBD,CB=CD=CF.(1)求证:BD平面AED;(2)求二面角F-BD-C的余弦值.(1)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB=60,所以ADC=BCD=120.又CB=CD,所以CDB=30.因此ADB=90,ADBD.又AEBD,且AEAD=A,AE,AD平面AED,所以BD平面

9、AED.(2)解法一:由(1)知ADBD,所以ACBC.又FC平面ABCD,因此CA,CB,CF两两垂直,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设CB=1,则C(0,0,0),B(0,1,0),D,F(0,0,1),因此=,=(0,-1,1).设平面BDF的一个法向量为m=(x,y,z),则m=0,m=0,所以x=y=z,取z=1,则m=(,1,1).由于=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量,则cos=,所以二面角F-BD-C的余弦值为.解法二:取BD的中点G,连接CG,FG,由于CB=CD,因此CGBD.又FC平面ABCD,

10、BD平面ABCD,所以FCBD.由于FCCG=C,FC,CG平面FCG,所以BD平面FCG.故BDFG.所以FGC为二面角F-BD-C的平面角.在等腰三角形BCD中,由于BCD=120,因此CG=CB.又CB=CF,所以GF=CG,故cosFGC=,因此二面角F-BD-C的余弦值为.19.(2012山东,理19)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分,该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E

11、X.解:(1)记:“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D,由题意知P(B)=,P(C)=P(D)=,由于A=B+D,根据事件的独立性和互斥性得P(A)=P(B+D)=P(B)+P()+P(D)=P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D)=+=.(2)根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,根据事件的独立性和互斥性得P(X=0)=P()=1-P(B)1-P(C)1-P(D)=,P(X=1)=P(B)=P(B)P()P()=,P(X=2)=P(+D)=P()+P(D

12、)=+=,P(X=3)=P(BC+BD)=P(BC)+P(BD)=+=,P(X=4)=P(CD)=,P(X=5)=P(BCD)=.故X的分布列为X012345P所以EX=0+1+2+3+4+5=.20.(2012山东,理20)在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意mN*,将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列bm的前m项和Sm.解:(1)因为an是一个等差数列,所以a3+a4+a5=3a4=84,a4=28.设数列an的公差为d,则5d=a9-a4=73-28=45,故d=9.由a4=a1+3d得28=a1+39

13、,即a1=1.所以an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(nN*).(2)对mN*,若9man92m,则9m+89n0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程;(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当k2时,|AB|2+|DE|2的最小值.解:(1)依题意知F,圆心Q在线段OF的垂直平分线y=上,因为抛物线C的准线方程为

14、y=-,所以=,即p=1,因此抛物线C的方程为x2=2y.(2)假设存在点M(x00)满足条件,抛物线C在点M处的切线斜率为y=x0.所以直线MQ的方程为y-=x0(x-x0),令y=得xQ=+,所以Q.又|QM|=|OQ|,故+=+,因此=,又x00,所以x0=,此时M(,1).故存在点M(,1),使得直线MQ与抛物线C相切于点M.(3)当x0=时,由(2)得Q.Q的半径为r=,所以Q的方程为+=.由整理得2x2-4kx-1=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由于1=16k2+80,x1+x2=2k,x1x2=-,所以|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1

15、x2=(1+k2)(4k2+2).由整理得(1+k2)x2-x-=0.设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4).由于2=+0,x3+x4=,x3x4=-,所以|DE|2=(1+k2)(x3+x4)2-4x3x4=+.因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+.令1+k2=t,由于k2,则t5.所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)+=4t2-2t+,设g(t)=4t2-2t+,t,因为g(t)=8t-2-,所以当t,g(t)g=6,即函数g(t)在t是增函数,所以当t=时g(t)取到最小值,因此当k=时,|AB|2+|DE|2取到最小值.22.(2012山东,理

16、22)已知函数f(x)=(k为常数,e=2.718 28是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)设g(x)=(x2+x)f(x),其中f(x)为f(x)的导函数,证明:对任意x0,g(x)0;当x(1,+)时,h(x)0,所以x(0,1)时,f(x)0;x(1,+)时,f(x)0,g(x)1+e-2等价于1-x-xln x0,h(x)单调递增;当x(e-2,+)时,h(x)0,(x)单调递增,(x)(0)=0,故x(0,+)时,(x)=ex-(x+1)0,即1.所以1-x-xln x1+e-20,g(x)1+e-2.9