概率论基础复习题及答案

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1、概率论基础本科填空题（含答案）1 设随机变量的密度函数为p(x), 则 p(x) 0; = 1 ；E=。考查第三章2 设A,B,C为三个事件，则A,B,C至少有一个发生可表示为：；A,C发生而B不发生可表示 ；A,B,C恰有一个发生可表示为：。考查第一章3 设随机变量，其概率密度函数为，分布函数为，则等于，等于 0.5 。考查第三章4 设随机变量具有分布P=k= ，k=1,2,3,4,5，则E= 3 ，D= 2 。考查第五章5 已知随机变量X，Y的相关系数为,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac0. 则U，V的相关系数等于 。考查第五章6 设，用车贝晓夫不等式估计：考查第五章7 设随机变量

2、的概率函数为P= 则 0 ；= 1 ；E=。考查第一章8 设A,B,C为三个事件，则A,B,C都发生可表示为：；A发生而B,C不发生可表示为：；A,B,C恰有一个发生可表示为：。考查第一章9 ，则 5 。考查第三章10 设随机变量在1，6上服从均匀分布，则方程有实根的概率为。考查第三章 较难11 若随机变量X，Y的相关系数为,U=2X+1,V=5Y+10 则U，V的相关系数=。 考查第三章12 若 服从的均匀分布， ，则 的密度函数 。 考查第五章13 设，若与互不相容，则 0.3 ；若与相互独立，则 0.5 。 考查第一章14 将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数

3、，这个数是奇数的概率P（A）= 。考查第一章15 若， 8 ， 1.6 ，最可能值 8 。 考查第二、五章16 设随机变量X的概率密度为，则= 6 , =考查第四、五章17 任取三线段分别长为x,y,z且均小于等于a，则x,y,z可构成一三角形的概率考查第一章（较难）18 设随机变量X，Y的相关系数为1，若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为 1 考查第五章19 若， 3 ， 0.16 . 考查第五章20.若， 16 ， 8.4 . 考查第五章21. 某公司有A、B、C三个生产基地生产同一种产品，产量分别占20%，45%和35%三个基地的产品各有30%，20%，25%在北京市场销售则该公司任取

4、此产品一件，它可能在销往北京市场的概率为 0.2475 考查第二章22. 为一维连续型随机变量的概率密度函数，则有 1 ；若离散型随机变量具有分布列则 1 考查第三章23. 若是相互独立的随机变量，均服从二项分布，参数为及，则服从参数为 参数为的二项分布 分布考查第四章24. 设随机变量服从参数为和的正态分布,则=_0_; =_2_考查第五章25设A,B,C为任意三个事件，则其中至少有两个事件发生应表示为 。考查第一章27若二维随机向量（）的联合密度函数 P(x,y)= 则E= , D= , E=, D= Cov()=.考查第五章28两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一个人20分钟，过时

5、就可离开，则两人能会面的概率为 5/9 。考查第一三章选择题(含答案)1.一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1，今任取一罐并从中依次取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的( D )（A）2倍 （B）254倍 （C）798倍 （D）1024倍2.在0,1线段上随机投掷两点，两点间距离大于0.5的概率为( A )（A）0.25 （B）0.5 （C）0.75 （D）13.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X + Y服从( C

6、 )（A）N(2,0) （B）自由度为2的分布 （C）N(0,2) （D）不能确定4.设P（X=n）=a且EX=1，则a为( B )（A）1 （B） （C） （D）5下列论述不正确的是 ( B )（A）若事件A与B独立则与B独立 （B）事件A B不相容则A与B独立 （C）n个事件两两独立不一定相互独立 （D）随机变量和独立则二者不相关6甲乙两人各投掷n枚硬币，理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为( C )（A）0 （B） （C） （D）7.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X + Y服从( C ) （A）二项分布 （B）分布 （C）N(0,2) （D）不能确定8.对于任意事件与，

7、有（ C ）。（A） （B） （C） （D）9.在0, 线段上随机投掷两点，两点间距离大于的概率为( D )（A）1 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.2510.设P（X=n）=a，其中a为，则EX= ( B )（A） （B） 1 （C）0.5 （D） 311下列论述不正确的是 ( C )（A）n个事件两两独立不一定相互独立 （B）若事件A与B独立则与B独立 （C）事件A B不相容则A与B独立 （D）随机变量和独立则二者不相关12掷n枚硬币，出现正面的概率为，至少出现一次正面的概率为( A )（A） （B） （C） 1 （D）13.设A，B为两个互斥事件，且P（A）0，P(B)0，则下列

8、结论正确的是（ C ）。（A） P(B|A)0, （B） P(A|B)=P(A) （C） P(A|B)=0 （D） P(AB)=P(A)P(B)考查 第二章14.事件A，B相互独立，P（A）=（ D ）。（A） （B） （C）0 （D）15.随机变量服从（ D ）分布时，。 （A）正态 （B）指数 （C）二项 （D）泊松（Poisson）16.设，记，则（ A ）。（A）对任何实数，都有 （B）对任何实数，都有 （C）只对的个别值，才有 （D）对任何实数，都有17若有十道选择题，每题有A、B、C、D四个答案，只有一个正确答案，求随机作答恰好答对六道的概率为（ B ）（A） （B） （C） （D

9、）18某课程考试成绩, 已知96分以上占2.3%，则6084分所占比例为（A）（已知）（A） （B） （C） （D）19. 设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则XY服从( C ) （A）泊松分布 （B）分布 （C）N(0,2) （D）不能确定20.对于任意事件，有（ A ）。（A） （B）0 （C）1 （D）21. 设随机变量的密度函数为 则常数为（ B ）（A） （B） （C）0 （D）22下列陈述不正确的是（D）（A）两两独立不一定相互独立 （B）若事件A与B独立则与B独立 （C）事件A B独立则 （D）随机变量二者不相关则和独立23. 下列数列可以构成分布列的是（C）（A） （B

10、） （C）0 （D）24下列陈述不正确的是（B）（A）和不相关则 （B）随机变量二者不相关则和独立 （C）和不相关则 （D）随机变量二者不相关则25事件中，发生且与不发生的事件为：( C ) （A）； （B）；（C） ； （D）26设为相互独立的两事件，则下列式子中不正确的是：（ A ） (A) ； （B）；（C）； （D）27工厂每天从产品中随机地抽查50件产品，已知这种产品的次品率为0.1%，则在这一年内平均每天抽查到的次品数为：（ A ） （A）0.05; （B）5.01 ;（C）5; （D）0.5 .28则服从分布：（ C ）（A） （B）（C） （D）29设随机变量的联合概率密度为则

11、：（ B ）（A） 不相关；（B） 相互独立； （C） 相关；（D） 不相互独立30事件A，B互不相容，是指（ B ）(A) P (AB)= P (A) P (B) (B) A B= (C) AB= (D) A=计算题（含答案）一 设随机变量只取非负整数值，其概率为P，a0是常数，试求E及D解：记t=1=+= = =二炮战中，在距离目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1, 0.7, 0.2, 而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05, 0.1, 0.2。 任射一发炮弹，求目标被击中的概率。若已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。解：1） 设分别表示

12、炮弹从250米，200米，150米处射击的事件, B表示目标被击中。则由全概率公式= 2) 由Bayes公式 三某单位招聘2 500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10 000人报名，假设报名者的成绩X服从分布N 已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问被录用者中最低分为多少？X的分布函数为标准正态分布表可得到=72和=100的值，然后令录取的最低分为，则从而得到即录取的最低分为79分。四从1到2000这2000个数字中任取一数，求1）该数能被6整除的概率；2）该数能被8整除的概率；3）该数能被6和8整除的概率；4）该数能被6或8整除的概率。解：利用古典概型的公式1）；2）

13、；3）；4）五空战中，从，处射击的概率分别为0.2, 0.7, 0.1, 而在各处射击时命中敌机的概率分别为0.2, 0.1, 0.05。 任射一发炮弹，求敌机被击中的概率。若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由处射出的概率。解：1） 设B表示目标被击中。则由全概率公式= 2) 由Bayes公式 六一地区农民年均收入服从元，元的正态分布，求：该地区农民年均收入在500元520元间的人数的百分比；如果要使农民的年均收入在内的概率不小于0.95，则至少为多大？3个农民中至少有一个年均收入在500元520元间的概率。解：（1）（2），2可得，（3）考虑反面没有一个年收入在范围中的情形，其概率为：，七

14、设随机变量（i=1,2）,且满足，则求概率。解：由，得，即再根据联合分布与边际分布的关系可以求得和的联合分布。 10110000100所以0.八、有一袋麦种，其中一等的占80%，二等的占18%，三等的占2%，已知一、二、三等麦种的发芽率分别为0.8，0.2，0.1，现从袋中任取一粒麦种：试求它发芽的概率；若已知取出的麦种未发芽，问它是一等麦种的概率是多少？解：设事件“取出来的种子是一等种子” “取出来的种子是二等种子”“取出来的种子是三等种子” “取出的种子发芽” “取出的种子未发芽” 由题： （1）全概率公式 =67.8% （2）贝叶斯公式 =0.497九、 设随机变量的分布列为P0.20.

15、30.30.2求的分布列。解：p0.20.30.30.2整理得的分布列1P0.30.50.2十、某师院的毕业生，其中优等生，中等生，下等生各占20%，65%，15%. 毕业后十年，这三类学生能成为优秀教师的概率各为80%，70%，55%. 求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。解：记B=成为优秀教师十一、将一颗均匀的骰子连掷两次，以表示两次所得点数之和。求1）的分布列；2）E。解：1）234567891011122）十二、设二维离散型随机向量（，）的联合分布列为： 012120301） 求常数C;2） 求，的边缘分布列；3） 求2的条件下，的条件分布列；4） 判断与是否相互独立。解：1）

16、C=1;2) 01210.10.10.10.3200.20.20.430.200.10.30.30.30.4和的边沿分布列为：123P0.30.40.3012P0.30.30.43)012P00.50.5整理得：12P0.50.54）因为所以与不相互独立十三、一个篮球运动员的投篮命中率为0.6，以表示他首次命中时累计的投篮次数。写出的分布律解：分布律为十四、已知连续型随机变量有密度函数求系数k及分布函数，并计算P1.52.5解：由密度函数的性质 当时，, 当时，当时，十五、设随机变量的联合分布为 123400.000.030.050.0210.120.050.070.0120.080.030.

17、080.1130.050.04x0.06求x, 及的边际分布（直接填写在表中），给出在的条件下的条件分布解：x =0.2在的条件下的条件分布为X|1234十六、设二元连续型随机向量的联合密度函数为求的数学期望、方差和相关系数解：当0x1时， 而或时，当-1y0时， 当 而 ， 综合应用题（含答案）1.设二维连续型随机向量（）的联合密度函数为其中为常数，求：1） 常数2） 的边沿密度函数3） 的条件密度函数4） 判断与是否相互独立；解：1）由密度函数的性质：2xy11 所以2）由边沿密度的计算公式，及的直观图形：当或时所以当时，所以当或时，此时；当时所以：3）由条件密度的计算公式：当时，此时条件

18、密度存在，且当时，此时条件密度存在，且4）显然：所以与不独立。2.设 (X,Y) 服从单位圆上的均匀分布，概率密度为：试求，并讨论X，Y的独立性。解： (X,Y) 关于X的边际密度为： 当 | x | 1时,有 即 当 | x| 1时, 有， X，Y不独立。 3.设二维随机变量的概率密度为（1） 求常数；（2） 求和的边际密度； （3） 和是否相互独立？（4） 求概率。解: (1) 所以。（2）（3）和不相互独立。（4）4 某人有10万元资金决定进行投资，现有两个投资项目可供选择，设投资项目1的收益为（万元），投资项目2的收益为（万元），其分布列为分别为-2 1 40.2 0.3 0.4-4 1 50.2 0.3 0.5若同期银行利率为5%，问应如何选择投资项目？解：10万元存入银行的无风险收益为（万元）若投资项目1，则平均收益和方差为（万元）若投资项目2，则平均收益和方左为（万元）因为两个投资项目的平均收益都大于0.5（万元），所以两个投资项目都是可取的选择，由计算结果，对于赌徒可选择投资项目2，对保守者可选择投资项目1，对理智的投资者来说，因为应选择投资项目15 . 设二元连续型随机向量的联合概率密度函数为证明：不相关但不相互独立证明： 所以即与不独立。但同理从而得与的相关系数为0。