“多次相遇问题”解题技巧

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1、“多次相遇问题”解题技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。相对来讲，直线型更加复杂。环型只是单纯的周期问题。一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行； “单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。题意如果没有明确说明是哪种相遇，对两种情况均应做出思考。1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从 A、B 两地同时相向而行，第一次迎面相遇在 a 处，（为清楚表示两人走的路程， 将两人的路线分开画出） 则共走了 1 个全程，到达对岸

2、 b 后两人转向第二次迎面相遇在 c 处，共走了 3 个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的 2 倍。之后的每次相遇都多走了 2 个全程。所以第三次相遇共走了 5 个全程，依次类推得出：第 n 次相遇两人走的路程和为（ 2n-1 ）S，S 为全程。而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的用这个 2 倍关系解题。即对于甲和乙而言从2 倍，分开看每个人都是 2 倍关系，经常可以 a 到 c 走过的路程是从起点到 a 的 2 倍。相遇次数全程个数再走全程数111232352472n2n-122、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、 B 两地同时出发，如下图，此时

3、可假设全程为 4 份，甲 1 分钟走 1 份，乙 1 分钟走 5 份。则第一次背面追及相遇在a 处，再经过 1 分钟，两人在 b 处迎面相遇，到第 3 分钟，甲走 3 份，乙走 15 份，两人在 c 处相遇。我们可以观察， 第一次背面相遇时， 两人的路程差是 1 个全程，第二次背面相遇时， 两人的路程差为 3 个全程。同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2 倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2 倍。依次类推，得： 第 n 次背面追及相遇两人的路程差为（2n-1 ） S。（二）单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。1、迎面碰头相遇：如下

4、图，假设甲、乙两人同时从 A 端出发，假设全程为 3 份，甲每分钟走 2 份，乙每分钟走 4 份，则甲乙第一次迎面相遇在 a 处，此时甲走了 2 份，乙走了 4 份，再过 1 分钟，甲共走了 4 份，乙共走了 8 份，在 b 处迎面相遇， 则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同， 依次类推，可得出： 当第 n 次碰头相遇时，两人的路程和为 2ns。2、背面追及相遇与迎面相遇相似，假设全程为 3 份，甲每分钟走 1 份，乙每分钟走 7 份，则第一次背面相遇在 a 处， 2 分钟后甲走了 2 份，乙走了 14 份，两人在 b 处相遇。第一次相遇，两人走的路程差为 2S，第二次相遇两人走的路程差为 4S

5、，依次类推，可以得出： 当第 n 次追及相遇时，两人的路程差为 2ns。“直线型”总结（熟记）两岸型：第 n 次迎面碰头相遇，两人的路程和是（2n-1 ） S。第 n 次背面追及相遇，两人的路程差是（2n-1 ） S。单岸型：第 n 次迎面碰头相遇，两人的路程和为 2ns 。第 n 次背面追及相遇，两人的路程差为 2ns 。下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型： 模型一 ：根据 2 倍关系求 AB两地的距离。【例 1】甲、乙两人在 A、B 两地间往返散步，甲从A，乙从 B 同时出发，第一次相遇点距B60 米，当乙从 A 处返回时走了 10 米第二次与甲相遇。 A、B 相距多

6、少米？A、150B、170C、180D、200【答案及解析】 B。如下图，第一次相遇在 a 处，第二次相遇在 b 处， aB 的距离为 60，Ab的距离为 10。以乙为研究对象，根据 2 倍关系，乙从 a 到 A，再到 b 共走了第一次相遇的 2 倍，即为 602=120 米，Ab 为 10，则 Aa 的距离为 120-10=110 米，则 AB距离为 110+60=170 米。 模型二 ：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。【例 2】甲、乙两人在长30 米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5 米，乙每分钟游 52.5 米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时

7、间，则从出发开始计算的1 分 50 秒内两人共相遇多少次？A、2B、3C、4D、5【答案及解析】 B。题目没说是迎面还是背面， 所以两种相遇的次数都应该计算。分开讨论，如是是迎面相遇，则走的全程的个数为个，根据迎面相遇n 次，走的全程为2n-1=5，求得 n=3；如果是背面相遇，则走的全程数为，故在 1 分 50 秒内，不能背面相遇。所以共相遇3 次。 模型三 ：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离。【例 3】甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发，在A、 B 间不断往返行驶。甲车每小时行20 千米，乙车每小时行 50 千米，已知两车第 10 次与第 18 次迎面相遇的地点相

8、距60 千米，则 A、B 相距多少千米？A、95B、100C、105D、110【答案及解析】 C。走相同时间内，甲乙走的路程比为20 ：50=2 ：5 。将全程看成 7 份，则第一次相遇走1 个全程时，甲走 2 份，乙走 5 份。以甲为研究对象（也可以以乙），第10 次迎面相遇走的全程数为2 10-1=19个，甲走 1 个全程走 2 份，则走 19 个全程可走19 2=38 份。7 份是一个全程，则 38 份共有 38 7=5 3 份（当商是偶数时从甲的一端数，0 也是偶数；当商是奇数时从乙的一端数，比如第1 个全程在乙的一端，第2 个全程在甲的一端）从乙端数3 份。同理当第 18 次相遇，甲

9、走的份数为（ 2 18-1 ）2=70 份。共有70 7=10 个全程， 10 为偶数在甲的端点。如下图：则第 10 次相遇与第 18 次相遇共有 4 份为 60 千米，所以 AB 长为千米。点评：对于给定任意两次的距离，主要是根据速度转化为全程的份数，找一个为研究对象，看在相遇次数内走的全程数， 从而转化为份数， 然后根据一个全程的份数， 将研究对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数，注意由全程的个数决定剩余的份数从哪一端数。【例 4】甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发，在A、 B 间不断往返行驶。甲车每小时行45 千米，乙车每小时行36 千米，已知两车第2 次与第 3 次迎面相遇的地点

10、相距40 千米，则 A、B 相距多少千米？A、90B、180C、270D、110【答案及解析】 A。法一： 同上题。相同时间，甲、乙路程比为45 ：36=5 ：4，则将全程分成 9 份。则一个全程时甲走5 份，乙走 4 份。以甲为研究对象，第2 次相遇，走的全程数为 2 2-1=3个，则甲走的份数为3 5=15 份，一个全程为9 份，则第 2 次相遇甲走的份数转化为全程的个数为15 9=1 6 份，则从乙端数6 份。第 3 次相遇走的份数为（ 2 3-1 ）5=25 份，转化为全程的个数为25 9=2 7，则从甲端数 7 份。如下图：由图第 2 次和第 3 次相遇之间共有4 份为 40 千米，

11、则 AB 相距=90 千米。法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比，则以时间为刻度，画出两人到达对岸的路线图，两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。s-t 图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”。本题中，甲、乙走到端点用的时间比为36 ：45=4 ： 5。如下图：根据路线图看出甲乙第2 次相遇和第 3 次相遇的交点 E 和 O，根据三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2 ，则求得第 2 次相遇距 A 地的比例为 S/3 ，同理 DO:ON=7 ：2，则第 3 次相遇距 A 地的比例为 7S/9 ，则两

12、次相遇比例为为 40 千米，则 S=90 千米。点评：考生如果能掌握“沙漏”模型，则会直观快速的提高解题速度。用交点判断是迎面相遇还是背面相遇的技巧： 看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸，同一岸则说明是背面相遇，不同岸则说明是迎面相遇。用时注意：一般题干涉及到的相遇次数较少时可画，相遇次数太多，则会花费大量时间，不利于提高速度；画时的单位刻度要看时间比，如果时间比中的数据较大可把刻度画大。 模型四 ：告诉两人的速度，相遇次数较少时，利用s-t 图形成“沙漏”模型速解。【例 5】A、B 两地相距 950 米。甲、乙两人同时由 A 地出发往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走 40 米；乙跑步，每分钟

13、行150 米。则甲、乙二人第几次迎面相遇时距B 地最近。A、1B、2C、3D、4【答案及解析】 B。利用“沙漏模型”。甲乙走到端点用的时间比为150 ： 40=15 ：4，半小时两人共走的全程数为个。对于单岸型，相遇6 个全程，则是迎面第三次相遇（由前边公式推出）画出s-t 图：观察上图可知，可第3 次迎面相遇的过程中，甲乙有一次背面相遇（交点由同一点引出）。而在三次迎面相遇中第2 次相遇离 B 地最近，并且可根据三角形相似求出离B 地的距离。【例 6】河道赛道长 120 米，水流速度为2 米/ 秒，甲船静水速度为6 米/ 秒，乙船静水速度为 4 米 / 秒。比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点

14、出发，先顺水航行，问多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇？A、48B、50C、52D、54【答案及解析】 C。由题知，得出如下关系：顺流逆流甲8（15）4（30）乙6（20）2（60）注：（ ）中为走完全程的时间。假设 A 到 B 是顺流，由上表可知甲、乙两人第2 次迎面相遇共有 4 个全程。由于甲的速度快，则第 2 次相遇前甲已走了2 个全程。共 15+30=45秒。当第 45 秒时乙走了一个顺流全程 20 秒和 25 秒的逆流， 走的路程为 25 2=50 米，则在剩余的 70 米内，甲乙分别以顺流和逆流相遇时间为t，则有 70= （8+2 ）t ，求得 t=7 秒，则共用时间45+7=52秒。

15、本题同样可用 “沙漏模型” 解决。根据上表中的速度关系， 可得出一个全程时的时间关系如下：顺流逆流甲36乙412根据时间的关系，得出s-t 图像，如下：观察上图，可看出第二次迎面相遇在P 点，以甲为研究对象计算时间，此时甲走了一个顺流，一个逆流，另外EP 段为顺流，根据三角形相似可求出走EP 用的时间EP:PN=EF:MN=7:8，由上表，求出走EP 用的时间为，则甲共走的时间为15+30+7=52。二、环型环型主要分两种情况，一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇（不可能背面相遇），一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇（不可能迎面相遇）。分开讨论如下：（一）甲、乙两人从A 地同时反向出发：

16、如下图，一个周长分成 4 份，假设甲是顺时针每分钟走 1 份到 B，乙是逆时针每分钟走 3 份到 B，则第一次相遇两人走了 1 个周长，则再过 1 分仲，甲再走 1 份到 C，同样乙走 3 份也到 C，则第二次相遇共走了 2 个周长，依次类推，可得出：第 n 次迎面相遇共走了 n 圈。（二）甲、乙两人从A 地同时同向出发：如下图，全程分成 4 份。假设甲、乙两人都是顺时针同时出发，甲每分钟走 1 份，乙每分钟走 5 份，则 1 分钟后两人在 B 处第一次背面追及相遇， 两人走的路程差为 1 个周长。再过 1 分钟后，甲到 C 处，乙也到 C 处，两人第二次背面追及相遇， 多走的路程差同样为一个

17、周长，依次类推，可以得出： 第 n 次背面追及相遇，路程差为 n 圈。环型多次相遇问题相对比较简单， 当甲、乙不在同一地点出发时相对具有难度。 比如在直径两端出发。考生可通过下面的例题把握。【例 1】老张和老王两个人在周长为400 米的圆形池塘边散步。老张每分钟走9 米，老王每分钟走 16 米。现在两个人从同一点反方向行走，那么出发后多少分钟他们第三次相遇？A、33B 、45C、48D、56【答案及解析】 C。第一次迎面相遇时间为400 （9+16 ） =16 ，则第三次迎面相遇时间为16 3=48 。【例 2】小明、小亮从 400 米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相遇时，小明转

18、身往回跑；再次相遇时，小亮转身往回跑；以后的每次相遇分别是小明和小亮两人交替调转方向，小明速度3 米 / 秒，小亮速度 5 米 / 秒，则在两人第30 次相遇时小明共跑了多少米？A、11250B、11350C、 11420D、 11480【答案及解析】 A。由题意知，第 1 次是迎面相遇，第2 次是背面追及相遇，之后都是迎面与背面相遇交替。则在30 次相遇中，迎面相遇15 次，背面相遇15 次。迎面相遇一次用时为 400 （3+5 ）=50 ，背面相遇一次用时为400 （5-3 ）=200 ，则 30 次相遇共用时为15 （50+200 ）=3750s ，则小时在这段时间里跑的路程为3750

19、3=11250米。【例 3】甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路线运动，当乙走了100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60 米处又第二次相遇，则这个圆形场地的周长为多少米？A、320B、360C、420D、480【答案及解析】 D。如下图，假设甲、乙分别在直径A 、B 两端以顺时针和逆时针运动。第1 次相遇在 C点距 B点 100 米，第 2 次相遇在 D 点，距 A 点 60当在直径端点两岸行走时，可将环型转化为直线型，则第2 次相遇每个人走的路都是第 1 次相遇的 2 倍。以乙为研究对象，则从C 到 D 走的路是 B 到 C 的 2 倍，即 200 米，因 AD为 60 米，则 CA 为 200-60=140米，所以半个周长为100+140=240米，周长为240 2=480米.总结对于多次相遇问题，要有意识的培养上述几种模型的解题技巧，尤其是直线型的多次相遇问题，对于给定两者速度的题目，且相遇次数较少时能熟练运用“沙漏模型”解题，可直观有效地提高解题的速度。对于环型，不像直线型那么复杂，注意处理好相遇次数，是迎面还是追及相遇，运用公式可快速解题。