一种基于白噪声分解特征的EMD降噪方法

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1、一种基于白噪声分解特征的EMD降噪方法薛志宏1 李广云1 周 蓉2（1.信息工程大学测绘学院，河南郑州市陇海中路66号450052；2.73603部队，江苏南京马群五棵松46号 210049）摘 要 经验模态分解算法基于待分解数据本身，避免了小波分解时选取合适小波基函数的困难，具有自适应性。然而传统的经验模态分解降噪是一种强制降噪算法，容易将高频部分的有用信号与噪声一起滤除，从而造成信号失真。针对该问题，在分析白噪声EMD分解特性的基础上，提出了一种EEMD阈值降噪法，利用四组具有不同频谱特征的仿真数据，证明了该算法优于传统的EMD强制降噪法，在消除随机噪声的同时，能够有效保留信号中的高频细节

2、分量，从而缓解了信号的失真。关键词 经验模态分解；白噪声；降噪；阈值法A Threshold De-noising Method Based On the Characteristics of White Noise Decomposed by EMDXue Zhihong1, Li Guangyun1, Zhou Rong2（1. Institute of Surveying and Mapping, Information Engineering University, 66 Longhai Road, Zhengzhou, 450052, China2. 73603 Group，Nanj

3、ing, 210049, China）Abstract: The EMD method is adaptive, with the basis of the decomposition based on and derived from the data, and free from the choice of wavelet base and the determination of the number of decomposition order. An EEMD threshold de-noising method is put forward in this paper to al

4、leviative the drawback of the original EEMD forced de-nosing method which causes distortion in high-frequency component. With four type of simulated data with different spectrum, Original EEMD forced de-noising, EEMD threshold de-noising and several kinds of wavelet de-noising methods are compared,

5、and the results show that EEMD threshold de-noising method perform better than the forced method due to some significant details within high frequency band are reserved. Keywords: Empirical Mode Decomposition; White Noise; De-noising; Threshold Method.1 引言由于受到观测条件中诸多因素的制约，测量数据中不可避免地存在随机噪声的影响。噪声的存在必然

6、影响数据处理和分析结果，因此，降噪是数据预处理阶段的一项重要任务。通常认为随机噪声是独立同分布的高斯白噪声，其频谱密度为常数，而有用信号的频谱相对集中，且一般情况下表现为低频部分。根据随机噪声与有用信号的不同频谱特征，就可以采用各种时频分析方法进行信噪分离。小波分析具有多尺度和多分辨特性，适用于非平稳信号，是目前最为著名的一种降噪方法，但是，其降噪效果受到小波基函数、分解层数，阈值及收缩函数的选取的制约1-4。Norden E. Huang于1998年提出了经验模态分解（Empirical Mode Decomposition：EMD）方法5，该方法被证明具有类似小波分解的多尺度特性，降噪效果

7、与小波方法相当，但EMD方法是基于待分解数据本身的，从数据的局部极值特征出发对数据进行分解，克服了小波分析中要选取合适小波基的困难，使该方法具有良好的自适应性。随后，Wu and Huang针对EMD方法存在的模态混叠问题，进一步发展出了集合平均经验模态分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition：EEMD）方法6。EMD算法的思路是任何复杂的数据序列都能被分解为有限数量的简单分量之和，这些分量称为固有模态函数（Intrinsic Mode Function：IMF）。随着IMF阶数的增高，其所包含的频率成分逐渐降低。研究发现，白噪声经EMD分解后，各阶IM

8、F分量的平均周期近似呈二倍关系递增，且能量密度与平均周期的乘积近似为常数，基于这些特点，可建立适当的标准，根据IMF分量的能量密度与平均周期的关系，判断其是否为随机噪声。在信号重构时，将与噪声相对应的IMF分量去除，就可实现降噪的目的。这类传统的EMD或EEMD降噪方法是一种强制降噪法7-10，处理方式太过粗糙，因为含有噪声的信号经过EMD分解后，高频IMF分量的系数是有用信息与噪声的高频系数的叠加，当有用信息中含有高频分量时，例如变形测量序列中的被监测对象的异常形变，而这些部分恰恰含有非常重要的信息，有用信息的高频部分也被当作噪声去除，从而造成信号失真。本文在分析白噪声EMD分解特性的基础上

9、，提出了基于固有模态函数统计特征的EEMD阈值降噪方法，并利用不同频谱特征的四组仿真数据，通过对EEMD阈值法与强制降噪法和小波降噪法的比较，验证了本文算法的有效性。2 白噪声EMD分解特征Wu和Flandrin11,12等经过大量的试验，发现EMD算法对白噪声的分解类似于一个二进的带通滤波器组，第一阶固有模态函数IMF1相当于高通滤波器，其频谱占据了原始数据所含频谱的一半，其余各阶IMF相当于带通滤波器，每一阶IMF所含的频率分量几乎占据了上一阶频谱余量中的高半幅。除IMF1外，其余各阶IMF的能量密度与平均周期的乘积近似为常数，即： （1）其中：为第阶IMF的能量密度，为数据序列的长度。为

10、平均周期，是数据长度与该IMF中所有极大值点的比值。根据二进滤波器的性质以及公式（1），可知白噪声的各阶IMF的能量密度按照2倍关系逐阶递减，噪声主要集中于频率较高的低阶固有模态分量中。此外，试验发现白噪声IMF分量能量密度的对数的分布近似服从以平均周期的对数为中心的高斯分布，即：图1 随机白噪声IMF系数的直方图（数据序列长度50000） （2）式中：，与置信水平有关，可用标准正态分布所确定的分位值来近似，例如当取置信水平为99%时，。大量试验数据的统计结果表明，正态分布的白噪声序列经过EMD分解后，各阶IMF的系数仍服从正态分布。根据Wu and Huang的试验思路，随机产生长度为500

11、00的标准正态分布白噪声序列，经EMD分解后，绘出代表各阶IMF系数分布区间频度的直方图，如图1所示。图中横坐标代表幅度，纵坐标代表幅度位于相应区间中的系数的出现频度，直方图上附加的曲线为正态分布密度曲线。尽管由于数据序列长度有限，随着阶数增大，直方图光滑性变差，与正态分布曲线出现了一定程度的偏离，但可以验证，当数据序列长度增加时，该偏差会变小。由此可以看出，随机白噪声经EMD分解后，其IMF的系数仍服从正态分布。3 EEMD阈值降噪算法公式（2）提供了一个检验噪声的标准，由其可建立置信区间。随机噪声主要包含于低阶IMF分量中，若前k-1阶IMF被判断主要成分为噪声，则将其全部去除，EMD降噪

12、结果为： （3）这实际上是一种强制降噪法，尽管能够去除大部分噪声的影响，然而，也会导致高频部分的有用信号与噪声被一起滤除，从而造成信号失真。解决该问题的方法是对高频分量进行阈值化处理。由于随机噪声的能量是均匀分布的，而有用信息的能量相对集中，因此随机噪声分解后IMF系数的绝对值相对较小，而有用信息的IMF系数相对较大。如果将系数的绝对值作为一个局部测度，给定一个合理的阈值标准，将所有绝对值小于阈值的系数划为噪声，用数值零代替，而超过阈值的系数认为主要体现了有用信号，予以保留，这就是阈值降噪法。阈值降噪法的关键是选取合理的阈值门限。由前述分析可知白噪声经EMD分解后其各阶IMF系数仍服从正态分布

13、，由此，本文以IMF系数的3倍标准差作为阈值门限。此时有： （4）其中：为符号函数，为第阶IMF的系数，为经过阈值处理后的系数，为IMF系数统计的标准差。需要注意的是，该阈值门限统计量是以白噪声IMF系数的正态分布为基础的，只有在低阶IMF分量中，主要成分是噪声，该门限值才具有理论意义。因此，该方法首先需要由公式（2）的置信区间，确定出哪些IMF分量主要是噪声影响，然后对其应用门限处理，在滤除噪声的同时保留高频有效信息。本文提出的阈值降噪法的具体步骤如表1所示，在实际应用时采用了消除模态混叠的EEMD方法。表1 EEMD阈值降噪算法对原始数据序列进行EEMD分解，设分解阶数为；由于第一阶IMF

14、即中几乎全部是噪声，将其直接去除；根据公式（2）建立置信区间，确定出随机噪声的最高阶数（）；对至进行阈值降噪处理，得到至；对阈值量化后的各IMF分量和剩余分量进行重构，得到降噪后的信号。4 算例验证为检验本文算法的效果，对四组具有不同频率特征的仿真数据进行降噪处理。前三组分别为matlab中Wnoise函数产生的“heavy sine”、“blocks”以及“doppler”信号，第四组仿真数据为： （5）四组仿真数据依次用A、B、C、D表示，序列长度均为2048。在仿真数据中加入的正态分布随机噪声，如图2所示，左图为无噪声的原始信号，右图为添加噪声后的信号。分别采用EEMD强制降噪、EEMD

15、阈值降噪、小波降噪对数据进行处理，其中小波降噪采用软阈值法，阈值选择标准为混合准则（heursure），为比较小波基函数的影响，分别采用了Haar小波、sym6小波、db8小波和db42小波。小波降噪最佳分解级数按照文献13中提供的归一化总评价指标确定。对降噪效果的评价标准包括：均方误差、信噪比以及互相关系数。（1）均方误差： （6）其中为不含噪声的原始信号，为滤波降噪后的信号。均方误差越小，表示降噪效果越好。（2）信噪比 （7）其中：，信噪比越高，表明信号中残留的噪声越小，信噪比的单位是分贝。（3）相关系数 （8）相关系数反映降噪后信号与原始信号的相似程度，越大越好。 （原始信号） （添加随

16、机噪声后的信号）图2 仿真数据对各组数据采用不同的方法降噪后的结果列于表2中。对上述各种降噪方法比较可发现，小波降噪法采用不同的小波基函数时，所得结果有较大差别，甚至有些情况下造成信号畸变，无法降噪，例如数据B的db42小波和数据C中的Haar小波，这是由于小波基与待分析信号的波形相似程度不同引起的，小波基与待分析信号越相似，降噪效果越好。对于四组仿真数据，EEMD强制降噪法和EEMD阈值法均能够较为显著的抑制噪声影响，提高信噪比，尽管不是最优的，但不受基函数选择的制约，具有自适应性。本文提出的EEMD阈值法比强制降噪法更多的保留了信号的细节特征，当信号中存在高频有效分量时，本文的新方法更为优

17、越（例如前三组数据），当信号以低频分量为主时，二者的效果相当（例如第四组数据）。表2 仿真数据的降噪结果数据序列评价标准降噪前EEMDEEMD阈值HaarSym6Db8Db42A0.49860.13290.12180.40750.13380.11890.176916.479327.962828.718618.231127.902628.932825.47870.98790.99910.99930.99180.99910.99930.9984B0.50370.37430.32450.22080.30090.33530.667119.572022.150523.389326.734824.0475

18、23.105317.13110.98790.99310.99490.99760.99550.99450.9780C0.50370.31010.21230.88250.18760.23720.215016.956221.168624.457412.084725.534723.496724.35040.98970.99600.99830.96800.99860.99770.9981D0.48590.14670.14670.47910.16220.14480.118322.850933.253933.253822.974232.378733.366335.12020.99370.99940.9994

19、0.99380.99930.99940.99965 结论降噪是测量数据预处理阶段的重要内容。EMD滤波降噪方法基于数据自身的极值特征，克服了小波分析中选取合适基函数的困难，因此自出现以来，得到了科学界的广泛关注和认可，并且在很多领域得到成功的应用。然而EMD降噪是一种强制降噪方法，将高频部分的IMF分量直接剔除，容易造成高频细节信号的失真。本文在分析了白噪声EMD分解特性的基础上，提出了基于固有模态函数统计特性的EEMD尺度阈值降噪方法，利用四组不同频谱特征的仿真数据，分别采用EEMD强制降噪、阈值降噪和4种常用小波降噪方法进行对比，表明EEMD阈值降噪法能够较为显著的消除噪声影响，其效果优于

20、强制降噪法，在消除随机噪声的同时，能够有效保留信号中的高频细节，并且避免了小波降噪中存在的小波基函数的选择和分解级数的确定等问题，是一种自适应的降噪方法。参考文献：1 钟萍,丁晓利,郑大伟等. Vondrak滤波法用于结构振动与GPS多路径信号的分离J. 中南大学学报（自然科学版）. 2006（6）: 1189-1195.2 L. Ge, H. Y. Chen, S. Han, C. Rizos. Adaptive filtering of continuous GPS resultsJ. Journal of Geodesy, 2000（7-8）.3 文鸿雁. 基于小波理论的变形分析模型研究

21、D. 武汉大学, 2004.4 D. L. Donoho. De-noising by soft-thresholdingJ. Information Theory, IEEE Transactions on, 1995,41（3）:613-627.5 Huang, M. L. Wu, S. R. Long, S. S. Shen, W. D. Qu, P. Gloersen, and K. L. Fan （1998）, The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-station

22、ary time series analysis. Proc. Roy. Soc. Lond., 454A, 903-993. 6 Wu, Z., and N. E Huang （2009）, Ensemble Empirical Mode Decomposition: a noise-assisted data analysis method. Advances in Adaptive Data Analysis. Vol.1, No.1. 1-41.7 戴吾蛟,丁晓利,朱建军等. 基于经验模式分解的滤波去噪法及其在GPS多路径效应中的应用J. 测绘学报. 2006（4）: 321-327.

23、8 江力, 李长云. 基于经验模分解的小波阈值滤波方法研究J. 信号处理, 2005（6）:659-662.9 赵玉玲, 张兆江, 姚习康, 刘海新. EMD-Wavelet降噪模型在动态变形数据处理中的应用J. 大地测量与地球动力学, 2010（5）:77-80.10 李天云, 高磊, 聂永辉, 金国彬. 基于经验模式分解处理局部放电数据的自适应直接阈值算法J. 中国电机工程学报, 2006（15）:29-34.11 Flandrin, P., G. Rilling, and P. Gonalves （2004）, Empirical mode decomposition as a filt

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