二次规划问题

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1、二次规划问题二次规划问题(q uadratic programming )的标准形式为:sub.to其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量 其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。MATLAB5.X版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。 函数 quadprog格式x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。 x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq 满足等约束条件。x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub 分

2、别为解 x 的下界与上界。x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,xO) %x0 为设置的初值x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数 x,fVal = quadprog(.) %fval 为目标函数最优值x,fval,exitflag = quadprog(.) % exitflag 与线性规划中参数意义相同 x,fval,exitflag,output = quadprog(.) % output与线性规划中参数意义相同 x,fval,exitflag,output,lam

3、bda = quadprog(.) % lambda 与线性规划中参数意义相同 例5-8 求解下面二次规划问题sub.to解：则 ， ，在 MATLAB 中实现如下：H = 1 -1; -1 2 ;f = -2; -6;A = 1 1; -1 2; 2 1;b = 2; 2; 3;lb = zeros(2,1);x,fval,exitflag,output,lambda = quadprog(H,f,A,b, , ,lb) 结果为：x =%最优解0.66671.3333fval =%最优值-8.2222exitflag =%收敛1output =iterations: 3algorithm:

4、medium-scale: active-set firstorderopt: cgiterations: lambda =lower: 2x1 doubleupper: 2x1 double eqlin: 0x1 double ineqlin: 3x1 double lambda.ineqlin ans =3.11110.44440 lambda.lower ans =00说明 第 1、2 个约束条件有效，其余无效。 例 5-9 求二次规划的最优解 max f (x1, x2)=x1x2+3sub.to x1+x2-2=0 解：化成标准形式：sub.to x1+x2=2 在 Matlab 中

5、实现如下： H=0,-1;-1,0;f=0;0; Aeq=1 1;b=2;x,fval,exitflag,output,lambda = quadprog(H,f, , ,Aeq,b) 结果为：x =1.00001.0000 fval =-1.0000 exitflag =1 output =firstorderopt: 0 iterations: 1cgiterations: 1 algorithm: 1x58 charlambda =eqlin: 1.0000ineqlin: lower: upper: 5.4 “半无限”有约束的多元函数最优解 “半无限”有约束多元函数最优解问题的标准形式

6、为sub.to其中：x、b、beq、lb、ub都是向量；A、Aeq是矩阵；C(x)、Ceq(x)、是返回向量的函数, f(x)为目标函数；f(x)、C(x)、Ceq(x)是非线性函数；为半无限约束，通常是长度为2的向 量。在MTALAB5.X中，使用函数seminf解决这类问题。函数 fseminf格式 x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon)x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b)x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq)x = fseminf(fun,x0,nthe

7、ta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options) x,fval = fSeminf(.)x,fval,exitflag = fseminf(.)x,fval,exitflag,output = fseminf(.)x,fval,exitflag,output,lambda = fseminf(.)参数说明： x0 为初始估计值；fun 为目标函数，其定义方式与前面相同；A、b由线性不等式约束 确定，没有，则A= ，b=；Aeq、 beq 由线性等式约束 确定

8、，没有，则 Aeq= ， beq= ；Lb、 ub 由变量 x 的范围 确定；options 为优化参数；ntheta 为半无限约束的个数；seminfcon用来确定非线性约束向量C和Ceq以及半无限约束的向量KI, K2, Kn,通过指定函数柄来使用，如：x = fseminf(myfun,x0,ntheta,myinfcon)先建立非线性约束和半无限约束函数文件，并保存为myinfcon.m：function C,Ceq,K1,K2,.,Kntheta,S = myinfcon(x,S)%S为向量w的采样值% 初始化样本间距if isnan(S(1,1)，S = % S 有 ntheta

9、行 2 列 endw1 = %计算样本集w2 = %计算样本集wntheta = % 计算样本集K1 = % 在 x 和 w 处的第 1 个半无限约束值K2 = %在 x 和 w 处的第 2 个半无限约束值Kntheta = %在 x 和 w 处的第 ntheta 个半无限约束值 C = .%在x处计算非线性不等式约束值Ceq = % 在 x 处计算非线性等式约束值如果没有约束，则相应的值取为“ ”，如 Ceq= fval 为在 x 处的目标函数最小值； exitflag 为终止迭代的条件； output 为输出的优化信息； lambda 为解 x 的 Lagrange 乘子。例 5-10 求

10、下面一维情形的最优化问题sub.to解：将约束方程化为标准形式：先建立非线性约束和半无限约束函数文件，并保存为mycon.m：function C,Ceq,K1,K2,S = mycon(X,S)% 初始化样本间距：if isnan(S(1,1),S = 0.2 0; 0.2 0;end% 产生样本集：w1 = 1:S(1,1):100;w2 = 1:S(2,1):100;% 计算半无限约束：K1 = sin(wl*X(l).*cos(wl*X(2) - l/1000*(wl-50).人2 -sin(wl*X(3)-X(3)-l;K2 = sin(w2*X(2).*cos(w2*X(l) -

11、l/l000*(w2-50).人2 -sin(w2*X(3)-X(3)-l; % 无非线性约束：C = ; Ceq= ;% 绘制半无限约束图形plot(wl,Kl,-,w2,K2,:),title(Semi-infinite constraints)然后在MATLAB命令窗口或编辑器中建立M文件：fun = sum(x-0.5).人2);x0 = 0.5; 0.2; 0.3;% Starting guessx,fval = fseminf(fun,x0,2,mycon)结果为：x =0.66730.30130.4023fval =0.0770C,Ceq,K1,K2 = mycon (x,NaN); % 利用初始样本间距 max(K1)ans =-0.0017max(K2)ans =-0.0845