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1、初 中数学竞赛精品标准教程及练习（41）线段的比、积、幂一、内容提要一有关线段的比、积、幂的主要定理1. 比例的基本性质：合比，等比定理（略）2. 平行线分线段成比例定理（即平行截线定理）的推论DEBC推广到：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例ab3. 相似多边形性质：对应线段成比例，面积比等于相似比的平方4. 直角三角形中成比例线段定理（射影定理）5. 三角形内（外）角平分线性质在ABC中126. 圆中成比例线段定理（即圆幂定理）若ABCD四点共圆，AB、CD交于P，则PAPBPCPDPT2（PT切圆于T）7. 三角形、平行四边形面积公式（略）8.正弦定理：在ABC中，二要运用相似三
2、角形证明线段的积、幂，一般应把积、幂先化为比例式，然后由它来找相似三角形。有时还要用等线段或等比代换。二、例题例1 过四边形ABCD的对角线交点O画CD的平行线，分别与边BC，AD及AB的延长线交于E，F，G求证：GO2=GEGF证明：设DC，AB的延长线相交于H，FGDH，从过点B的线束被平行线截得 从过点A的线束被平行线截得即GO2GEGF例2.已知：CD是RtABC斜边上的高，角平分线AE交CD于F求证：CE2DFBE分析：要CE2DFBE成立，应证可证CECF（等角对等边），即证根据角平分线性质可得， 只要AC2ABAD这符合直角三角形中成比例线段定理证明（略）例3.已知：ABC中最大
3、角A是最小角C的2倍，三边长是连续整数求：ABC的各边长解：设AC为x, 则AB是x-1,BC为x+1延长CA到D使AD=AB，连结BD，BA则D1BAC1D2D，BAC2C，1DC等腰ABD等腰BCD，解得x=5, 三边长分别为4,5,6( 本题也可作BAC的平分线AE，证明EABACB)例4. 已知：O和O1相交于P，外公切线AB，A，B是切点，AP交O于C，BP交O1于D，CE和O1切于点E求证：CECB证明：过点P作两圆公切线PQ交AB于Q由切线长定理，得QPQAQBAPB是Rt，APBRtBC是O的直径，BCAB根据射影定理，得BC2CPCACE切O1于E，根据圆幂定理，得CE2CP
4、CACECB例5.正方形OPQR内接于ABC，已知AOR，BOP，CRQ面积是S11，S23，S31。那么正方形OPQR的边长是（）（A） （B） (C)2 (D)3 解：设正方形OPQR的边长为x，S23，S31BP，QC，ORBC，AORABC即=解得（x416）(x2+4)=0x=2本题也可以求出ABC的高为x, 用面积公式列方程。三、练习411. 线段a,b满足等式a2+ab-b2=0 则a ：b=2. ABC中D，E三等分BC，中线BF分别交AD，AE于M，N，那么BMMNNF3. ABC中，点D内分BC为13，点E内分AD为12，BE的延长线交AC于F，则AFFC4. 求证：有一个
5、角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比5. 经过平行四边形ABCD顶点A画直线，分别交BD，BC及DC的延长线于E，F，G。求证：EA2=EF EG6. 在ABC内任取一点G，分别延长AG，BG，CG交对边于D，E，F求证：（西瓦定理）7. 已知：AD是ABC的中线，点M，N分别在边AB，AC上，AMAN求证：8. CD是RtABC斜边上的高，O是CD的中点，AO延长线交AC于E，EFAB于F，FE的延长线和AC的延长线相交于G，则EF2ECEB9. 已知：平行四边形ABCD中E，F分别在AB，AD上且EFBD，CE，CF分别交BD于P，Q。求证：BPDQ10. 已知：正方
6、形ABCD中，AE平分BAC交BC于E，交BD于F求证：BEBFCE2FO11. 已知：ABC中，D，E分别在边了BC，AB上，BCADADE如果ABC，EBD，ADC的周长为m,m1,m2求证：12. 如图已知：点B在A上，A和B相交于C，D，A的直径CE交B于F求证：2CB2CECF13. 选择题 ABC中，AD是高，且AD2BDDC，那么BAC的度数是（）（A） 小于90，（B）大于90，（C）等于90，（D）不能确定直角梯形ABCD中，垂腰AB7，两底AD2，BC3，如果AB一点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么适合条件的点P有几个？（）（A）1（B
7、）2（C）3（D）4 已知PA切ABC的外接圆于A，PA6，BC5，则ACAC（）（A）23（B）65（C）45 (D)32 例14.如图ABCD为圆内接四边形，过AB上一点M引MP，MQ，MR分别垂直于BC，CD，DA连结PR和MQ相交于N求证：15. 如图PQR和P1Q1R1是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF的边长分记为ABa1,BCb1,CDa2,DEb2,EFa3,FAb3求证：a12+a22+a32=b12+b22+b32练习41参考答案：1.，2.532，3.，4.分为夹角相等和互补两种情况，都要分别作出高5.证明ABEGDE，ADEFBE6.过A作BC的平行线和BE，CF的延长线分别相交7.分别过B，C作MN的平行线8.延长FE和AC的延长线相交于G，证明ECGEFB6. 连结AC交BD于O，交EF于M，证EMFM，OPOQ7. 作CGOB交AE延长线于G8. 可证ABCEBDDAC，DC，BDBCDC，再求 ，9. 化原求证为或10. DCA11. 由正弦定理，得PN同理NR注意Sin(180-A)=SinA12. 注意有6个相似三角形，且各自的3个三角形面积和相等，用相似三角形面积比等于相似比的平方
初中数学竞赛标准教程及练习41线段的比积幂
