高中数学平面几何例题

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1、 必修2一、 平面几何（一）直线1、 直线的斜率与倾斜角(1)斜率两点的斜率公式：，则斜率的范围：(2)直线的倾斜角范围：（3）斜率与倾斜角的关系：注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；（2）特别地，倾斜角为的直线斜率为；倾斜角为的直线斜率不存在。2、直线方程(1)点斜式：；适用于斜率存在的直线（2）斜截式：；适用于斜率存在的直线注：为直线在轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：；适用于斜率存在且不为零的直线（4）截距式：；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线（5）一般式：（不同时为）（6）特殊直线方程斜率不存在的直线（与轴垂直）：；特别地，轴：斜率

2、为的直线（与轴垂直）：；特别地，轴：在两轴上截距相等的直线：（）；（）在两轴上截距相反的直线：（）；（）在两轴上截距的绝对值相等的直线：（）；（）；（）3、平面上两直线的位置关系及判断方法（1）平行：且（注意验证）重合：且相交：特别地，垂直：（2）平行：且（验证）重合：且相交：特别地，垂直：（3）与直线平行的直线可设为：与直线垂直的直线可设为：4、其他公式（1）平面上两点间的距离公式：，则（2）线段中点坐标公式：，则中点的坐标为（3）三角形重心坐标公式：，则三角形的重心坐标公式为：（4）点到直线的距离公式：（5）两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）（6）点关于点的对称点的求法

3、：点为中点（7）点关于直线的对称点的求法：利用直线与直线垂直以及的中点在直线上，列出方程组，求出点的坐标。（二）、圆1、圆的方程（1）圆的标准方程：，其中为圆心，为半径（2）圆的一般方程：，其中圆心为，半径为(只有当的系数化为1时才能用上述公式)注意：已知圆上两点求圆方程时，注意运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。2、直线与圆的位置关系(1)直线，圆，记圆心到直线的距离直线与圆相交,则或方程组的直线与圆相切，则或方程组的直线与圆相离，则或方程组的（2）直线与圆相交时，半径，圆心到弦的距离，弦长，满足：（3）直线与圆相切时，切线的求法：（）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切

4、线,切点与圆心的连线与切线垂直；（）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出的值；（）已知过圆外的点求圆的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为，验证圆心到切线距离是否等于半径。由圆外点向圆引切线，记两点的距离为，则切线长（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为，则圆上点到直线的最近距离为，最远距离为3、两圆的位置关系圆，圆，两圆圆心距离(1)两圆相离，则（2）两圆相外切，则（3）两圆相交，则注：圆，圆相交，则两圆相交弦方程为：（4）两圆相内切，则

5、（5）两圆内含，则特别地，当时，两圆为同心圆（三）、空间直角坐标系1、右手系（与轴，轴平行或在轴，轴上的线段长度不变，与轴平行或在轴上的线段长度变为原来的一半。）2、空间两点间的距离公式：，则3、空间两点的中点坐标公式：，则中点坐标为二、立体几何（一）三视图与直观图1、三视图：主视图与左视图要高平齐；主视图与俯视图要长对正；俯视图与左视图要宽相等2、直观图：（1）与轴，轴平行或在轴，轴上的线段长度不变，与轴平行或在轴上的线段长度变为原来的一半。（2）原图形与直观图面积之比为（二）平面的基本性质公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面上。即：，则公理2：如果两

6、个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。即：，则，且公理3：经过不在同一直线上的3点有且只有一个平面推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面（三）空间两条直线的位置关系1、位置关系：（1）相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点（2）平行直线：在同一个平面内，没有公共点（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2、平行直线(1)公理4（平行的传递性）：平行于同一条直线的两条直线平行即：，则（2）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平

7、行且方向相同，那么这两个角相等。（延伸：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。）3、异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。 即：，则与是异面直线（四）直线与平面的位置关系1、位置关系：（1）直线在平面内（或平面经过直线）：有无数个公共点，记作：（2）直线与平面相交：有且只有一个公共点，记作：（3）直线与平面平行：没有公共点，记作：注：直线与平面相交，直线与平面平行统称为直线在平面外。2、直线与平面平行（1）判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。即：，则（2）性质定理：如果

8、一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。即：，则3、直线与平面垂直(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。即：，则（2）性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。即：，则（3）重要性质：如果直线与平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。即：，则如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。即： ，则（4）重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直（五）平面与平面的位置关系1、位置关系：（1）两平面平行：没有公共点，

9、记作：（2）两平面相交：有一条公共直线，记作：2、两平面平行（1）判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。即；，则（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。即:,则（3）重要性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线和另一个平面平行。即：，则如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。即： ，则3、两平面垂直（1）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。即：，则（2）性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。即：，则（

10、六）空间角1、异面直线所成的角：范围：2、线面角（1）斜线与平面所成的角：范围：（2）直线与平面所成的角：范围：3、两面角：二面角的平面角的范围：（七）空间的距离1、点到面的距离2、直线与平面的距离3、两平行平面间的距离（八）空间几何体及侧面积，体积1、多面体（1）棱柱：两个底面是全等的多边形，对应边互相平行，侧面都是平行四边形直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱（侧面都是矩形）（如：长方体）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱（如：正方体）侧面积：（为底面周长，为高）体积：（为底面积，为高）（2）棱锥：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，

11、侧面是全等的等腰三角形。（如：正三棱锥，正四面体）侧面积：（为底面周长，为斜高）体积：（为底面积，为高）（3）棱台：底面是相似的多边形，侧面是梯形，各侧棱延伸后交于一点正棱台：底面是正多边形，侧面是全等的等腰梯形侧面积：（分别为上、下底面周长，为斜高）体积：（分别为上、下底面面积，为高）2、旋转体(1)圆柱：矩形绕着它的一边所在的直线旋转形成的。侧面积：（为底面圆周长，为母线长）体积：（为底面圆面积，为高）（2）圆锥：直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转形成的。侧面积：（为底面圆周长，为母线长）体积：（为底面圆面积，为高）（3）圆台：直角梯形绕着垂直于底边的腰所在的直线旋转形成的。侧面积

12、：（分别为上、下底面圆周长，为母线长）体积：（分别为上、下底面圆面积，为高）（4）球：半圆绕着直径所在的直径旋转形成的。表面积： 体积：选修11一、 常用逻辑用语1、 命题：可以判断真假的语句（）四种命题：（1）定义：（分别表示原命题的条件和结论）原命题：若则逆命题：若则否命题：若则逆否命题：若则（2）四种命题的真假：互为逆否关系的命题同真假。即原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假；在同一个命题的四种命题中真命题的个数要么个，要么个，要么个。（）简单逻辑联结词联结的命题（1）“或”命题：表示可兼有但不必兼有，与并集意义相同“或”命题的真假：一真必真或真真真真假真假真真假假假（2）“且”

13、命题：表示兼有，与交集意义相同“且”命题的真假：一假必假且真真真真假假假真假假假假（3）“”命题表示否定，与补集意义相同“”命题的真假：真假相对真假假真命题的否定与否命题的区别：（i）命题的否定：把一个命题的结论改为与它相矛盾的判断；否命题：同时否定命题的条件和结论（ii）对命题“若则”而言：否命题：若则； 命题的否定：若则。（）全称命题和存在性命题（1）全称命题：常见的全称量词有：“所有”、“任意”、“每一个”、“任意一个”、“一切”等定义：含有全称量词的命题。形式：全称命题的否定：全称量词变为存在量词，肯定变为否定，成为存在性命题。（2）存在性命题：常见的存在量词有：“有一个”、“有些”、

14、“存在一个”、“至少有一个”、“某个”、“有的”等；定义：含有存在量词的命题。形式：存在性命题的否定：存在量词变为全称量词，肯定变为否定，成为全称命题。2、 充分条件和必要条件(1)从逻辑推理上看若，但，则是的充分不必要条件；若，但，则是的必要不充分条件；若，则是的充要条件；若且，则是的既不充分又不必要条件。(2)从集合与集合之间的关系上看设满足条件的元素构成集合，满足条件的集合构成集合，则若，则是的充分不必要条件；若，则是的必要不充分条件；若，则是的充要条件；若且，则是的既不充分也不必要条件。（3）从与四种命题的关系上看若是的充分不必要条件，则原命题“若则”和逆否命题“若则”为真命题；逆命题

15、“若则”和否命题“若则”为假命题；若是的必要不充分条件，则原命题“若则”和逆否命题“若则”为假命题；逆命题“若则”和否命题“若则”为真命题；若是的充要条件，则四种命题都为真命题；若是的既不充分又不必要条件，则四种命题都为假命题。（4）判断四种类型条件关系的方法：定义法：（i）分清条件和结论；（ii）判断“”及“”的真假；（iii）根据定义下结论；集合法：运用集合的思想解题，即求出条件和结论的集合；逆否法：将命题转化为逆否命题，以便于判断真假。二、 圆锥曲线（）椭圆（一）定义1、第一定义： 平面上到定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。 即 为常数，且 说明：（1）若定义中“常数等于

16、”，则动点的轨迹为 线段（包括端点）； （2）若定义中“常数小于”，则动点的轨迹不存在。2、第二定义：平面上到一个定点和到一条定直线（不在上）的距离之比为常数（）的点的轨迹是椭圆。即（为点到直线的距离）（二）椭圆的标准方程：1、椭圆的标准方程（中心在原点，焦点在坐标轴上）：焦点在轴上时：；焦点在轴上时：说明：如何判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上？哪个项的分母大，焦点就在哪个轴上2、椭圆标准方程的求法;定义法：利用椭圆的定义先求出，再求，从而得方程；待定系数法：（）定位：确定焦点在那个轴上，以便确定方程形式；（）定形：根据条件求出。说明：（1）若根据条件无法确定焦点所在的轴，则需分情况讨论。 （2）

17、若已知椭圆经过两点，在求椭圆标准方程的时候，可设椭圆方程的一般式：。（三）椭圆的几何性质：标准方程图形点的范围横坐标纵坐标对称性对称轴轴，轴对称中心原点焦点坐标顶点坐标长轴线段长度称为长半轴长短轴线段长度称为短半轴长焦距线段长度的关系准线方程准线间距离离心率公式范围对应图形关系越接近于，椭圆越圆；越接近于，椭圆越扁。焦准距通径焦半径公式范围最大值为；最小值为。说明：（1）椭圆的焦点总在实轴上； （2）椭圆的准线总是垂直于实轴所在的直线。 （3）设椭圆的焦点为，过的直线交椭圆与两点，则三角形的周长为； （4）设椭圆的焦点为，为椭圆上任意一点（不在长轴上）,则三角形的周长为；若，则三角形的面积为；

18、特别地，当时，三角形的面积为。 （5）设椭圆的焦点为，若在椭圆上存在点使得，则；若在椭圆上存在点使得为钝角，则。（）双曲线（一）定义1、第一定义：平面上到定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。 即 为常数，且 说明：（1）若定义中“常数等于”，则动点轨迹是以为端点的两条射线（包括端点）；（2）若定义中“常数为零”，则动点轨迹为线段的垂直平分线；（3）若定义中“常数大于”则动点轨迹不存在；（4）若定义中去掉“绝对值”，则动点轨迹为双曲线的一支。2、第二定义：平面上到一个定点和到一条定直线（不在上）的距离之比为常数（）的点的轨迹是双曲线。即（为点到直线的距离）（二）双曲线的标

19、准方程（中心在原点，焦点在坐标轴上）：焦点在轴上时：；焦点在轴上时：说明：如何判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上？哪个项的分母为正，焦点就在哪个轴上。（三）双曲线的几何性质：标准方程图形点的范围横坐标或纵坐标或对称性对称轴轴，轴对称中心原点焦点坐标顶点坐标实轴线段长度称为实半轴长虚轴线段长度称为虚半轴长焦距线段长度的关系渐近线方程准线方程准线间距离离心率公式范围对应图形关系越大，双曲线张口越大。焦准距通径焦半径公式范围最小值为。说明：（1）双曲线的焦点总在实轴上；（2）双曲线的准线总是垂直于实轴所在的直线。（3）与渐近线有关的结论： 求双曲线渐近线方程时，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因

20、式分解即得渐近线方程；若渐近线方程为，则双曲线可设为；（）若双曲线与有公共渐近线，则可设为；（）当时，焦点在x轴上；当时，焦点在y轴上.双曲线的顶点到渐近线的距离为；双曲线的焦点到渐近线的距离为。（4）等轴双曲线（实轴与虚轴等长的双曲线）：方程可用（）；离心率；渐近线互相垂直，方程为。（5）设双曲线的焦点为，为双曲线上任一点（不在实轴上），若，则三角形的面积为；特别地，当时，三角形的面积为。（）抛物线1、定义：平面上到一个定点和到一条定直线（不在上）的距离相等的点的轨迹是抛物线。即（为点到直线的距离）说明：若定义中“定点在直线上”，则动点轨迹为过且垂直于的直线。2、抛物线的标准方程及几何性质标

21、准方程图形开口方向向右向左向上向下顶点坐标对称轴轴轴焦点坐标准线方程点的取值范围横坐标纵坐标离心率焦准距通径（通径是最短的焦点弦）焦半径3、抛物线的焦点弦的性质：过抛物线的焦点的弦，设，的中点，则（1） 弦长（其中为的倾斜角）；（2） 以为直径的圆必与准线相切；（3） 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即三、导数1、函数在区间上的平均变化率为2、用定义求导数的方法：（1）求平均变化率：求函数在区间上的平均变化率：（2）求瞬时变化率：当时，（常数），则3、导数的几何意义：曲线在点处的切线的斜率，则切线方程为4、导数在物理中的运用：（1）设运动物体的位移为，则物体在秒时的瞬时速度为（2）设运动物

22、体的速度为，则物体在秒时的瞬时加速度为5、常见函数的导数公式：（1）（为常数），（2），（3），特别地，（4），特别地，（5），（6），6、导数的四则运算法则：（1）（2）（3）特别地，（为常数）（4）（）7、导数在研究函数中的应用（1）单调性方法：一般地，对于函数，如果在某个区间上，那么为该区间上的增函数；如果在某区间上，那么为该区间上的减函数。求单调区间的步骤（i）求函数的定义域；（ii）求导数；（iii）在函数定义域内解不等式；（iv）根据上述结果确定函数的单调区间说明：（i）对于可导函数来说，是在上为单调增函数的充分不必要条件；是在上为单调减函数的充分不必要条件。(ii)若可导函数在上

23、为单调增函数，则在区间上恒成立；若可导函数在上为单调减函数，则在区间上恒成立。（2）极值求函数在区间上的极值的步骤：（i）确定函数的定义域；（ii）求导数；（iii）求方程的所有实数根；（iv）检查在的根的左右两侧值的符号。如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值。说明：（i）按定义，极值点是区间内部的点，不会是端点；（ii）在区间单调的函数没有极值；（iii）极大值与极小值没有必然的大小关系；（iv）可导函数在点处取得极值是的充分不必要条件；（v）可导函数在点处取得极值的充要条件是且在左侧与右侧，的符号不同。（3）最值求函数在区间上的最值的步骤：（i）求函数在区间上的极值；（ii）求出在区间端点的值；（iii）将的极值与区间端点的值比较。其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。说明：（i）函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部上对函数值的比较；函数的最值是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较；（ii）函数的极值可以有多个；但最值只能有一个；（iii）极值只能在区间内取得；最值可以在区间内取得，也可以在端点处取得；（iv）函数的最值必在极值点或区间端点处取得；（v）若在内，连续函数有唯一极值，则它必为函数的最值。