通常情况下两共轴圆线圈间互感系数的简便计算-线圈的互感系数

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1、通常情况下两共轴圆线圈间互感系数的简便计算:线圈的互感系数 第30卷第4期2021年4月大 学 物 理COLLEGE P HY SICS V o. l 30N o . 4A pr . 2021大学生园地通常情况下两共轴圆线圈间互感系数的简便计算龚 禔摘要:采取级数展开的方法, 得到了通常情况下两共轴圆线圈间互感系数的严格无穷级数表示式, 所得结果在除两线圈重合之外的全部情况下均是收敛的. 而且在计算过程中利用磁矢势而非磁感应强度求出磁通量, 使得该方法较为简便.关键词:互感系数; 共轴线圈; 圆环电流; 磁矢势; 无穷级数中图分类号:O 44113 文件标识码:A 文章编号:1000-0712

2、 04-0046-03依据定义, 任意两个闭合线圈L 1和L 2之间的互感系数能够表示为11 特殊情况下两共轴圆线圈间的互感系数首先考虑一个特殊情况1若两圆线圈的半径和距离满足b n a 且b n d , 此时L 1产生的磁场在L 2所围面积内能够近似看作匀强磁场, 于是依据载流圆线圈轴线上的磁场表示式磁感应强度大小为L 0I 1aB =223/22数为512P b 2L a b 0PM =M 12=I 1I 122222L 0M =M 12=M 21=4PR L 1L 2d l 1#d l 2r这里包含了沿闭合线圈L 1和L 2的两个回路积分, 因此当线圈含有不规则的几何形状时, 其计算是极

3、其复杂的, 通常而言极难得到用初等函数表示的解析式.即便这两个线圈全部含有高度的对称性, 比如图1所表示的两个共轴圆线圈L 1和L 2, 其半径分别为a 和b , 经过的电流分别为I 1和I 2, 两圆心相距为d , 要求出它们之间的互感系数也不很轻易., 可知L 1在L 2处产生的方向沿两线圈的轴线方向. 于是二者之间的互感系其中512表示线圈L 1激发的磁场经过线圈L 2的磁通量.2 通常情况下两共轴圆线圈间的互感系数在近似条件无法满足的通常情况下, 因为线圈所围面积内的磁场不均匀, 使得磁通量及互感系数的计算变得比较复杂. 在已经有的几篇文件中, 文件3只是在远场的特殊情况下得到了共轴圆

4、线圈和圆板间互感系数的近似表示式, 文件4采取数值计算和曲线拟合的方法得到了共轴等大圆线圈间互感系数的近似结果, 而文件5即使得到了任意两图1 两共轴圆线圈示意图共轴圆线圈间互感系数的严格表示式, 但却是用椭圆积分表示的, 因此说这些结果不够普遍或简单. 本文采取级数展开的方法, 得到了用无穷级数表示的收稿日期:2021-06-23; 修回日期:2021-11-07基金项目:国家大学生创新性试验计划资助项目作者介绍:龚禔 ), 男, 河南开封人, 河南师范大学物理和信息工程学院2021级本科生.第4期 龚 禔:通常情况下两共轴圆线圈间互感系数的简便计算 47任意两共轴圆线圈间的互感系数公式,

5、所得结果在除两线圈重合之外的全部情况下均是收敛的. 2. 1 线圈L 1在空间任一点的矢势首先以两线圈的轴线方向为z 轴, L 1的圆心O 为原点, 所在平面为xy 平面建立直角坐标系. 然后依据这一问题的轴对称性, 采取柱坐标L 0I 1A 152a Q 1+A +, 4Q 8一点的矢势.2. 2 线圈L 1和L 2之间的互感系数这么便得到了用无穷级数表示的线圈L 1在空间任为了求出两线圈间的互感系数, 需要得到线圈L 1产生的磁场经过线圈L 2的磁通量512. 因为矢势A 沿任一闭合回路L 的环量代表对应的磁场B 经过以该回路为界的任一曲面S 的磁通量5, 即$A #d S =Q B #d

6、 S =5R A #d l =QLSS所以将线圈L 1产生的矢势沿线圈L 2作回路积分, 就得到所求磁通量.显然在L 2处, L 1产生的矢势大小恒定, 方向沿积分路径, 这么能够方便地求得12=RL 2A #d l =2P b AQ =b将A图2 在圆线圈上建立坐标系可得a +b +dL 0I 1aA4P2Pcos512=L 0P I 1B 21+B +82512L 0PB 2=ab 1+B +I 128因此线圈L 1和L 2之间的互感系数为M =M 12=这是一个椭圆积分, 无法表示为初等函数的形式. 为了求出A令A =222则式 可写为a +Q +z2PL 0I 1a A4P +Q +z

7、此即用无穷级数表示的两共轴圆线圈间的互感系数公式.3 分析和讨论第一, 因为在将式 代入式 逐项积分的过程中, 去掉了二分之一的项, 其他的项均乘上一个有限大的系数得到式, 以后又将式 作变量代换并乘上有限大的系数得到式. 所以在满足|B |第二, 在计算互感系数的过程中, 利用矢势A 的物理意义, 直接将矢势作回路积分以得到所需磁通量, 而无须求出磁感应强度的表示式, 使运算得到了简化.将2A cos1-2A cos-1/2此幂级数的收敛区间为, 即|2A cos22即 +z 0. 于是该幂级数在整个空间除线圈L 1处之外到处收敛. 将式 代入式, 并注意到积分Q2Pcosn48大 学 物 理 第30卷第三, 将互感系数的级数展开式 只保留第一项, 并将B 代入, 可得L a b 0PM =2223/22222上完成的, 在此向任课老师景辉教授表示谢意.