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1、圆锥曲线的共同特征教学设计教学内容解析圆锥曲线的共同特征是北师大版教材高中数学选修2-1第三章第四节第二课时的内容。本章主要研究圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质，以及它们在实际生活中的简单应用。本节课是在学习完三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质的基础上，归纳它们的共同特征，让学生进一步认识圆锥曲线的统一性，并能够运用统一性解决一些简单问题。学生在学完三种圆锥曲线后，会对圆锥曲线的图形、方程形式等的统一，有着朦胧的感觉，会有想进一步探索的欲望。所以，教学时，从学生已具备的知识与能力作为施教的载体，通过层层深入、环环相扣的问题设置，引导学生充分的想象，大胆的猜想，让学生参与发现、探索、研
2、究的过程，在原有圆锥曲线知识上进行探究、拓宽、延伸、升华，进一步认识圆锥曲线的统一性，培养学生的辩证唯物主义中对立统一的思想，以及学生的思维素质、创新意识和能力。教学目标 1.知识与技能（1）了解圆锥曲线的共同特征，并能够解决简单问题；（2）能够熟练运用直接法和定义法求曲线方程。2.过程与方法通过问题设置，让学生经历观察、猜想、探索、归纳的过程，在自主思考、合作探究中学习。3.情感态度与价值观通过亲身体验，增强学生主动探索的意识、自主思考的习惯与合作探究的团队精神。学情分析学生已经学习了椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程与简单几何性质等基础知识，掌握了求解曲线方程的基本方法，但知识还不够系统
3、完整，方法还需进一步熟练。 高二学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，思维活跃、求知欲强，但探究问题的能力尚需进一步培养，合作交流等方面有待加强。以学生现有知识和能力，探索圆锥曲线的共同特征时，会有一定的困难。所以，在探究过程中，结合学生的知识储备与认知能力，遵循特殊到一般，具体到抽象，由浅入深，由易到难的认知规律，通过层层深入、环环相扣的问题设置，教师组织引导学生亲身参与探索研究，经过观察、猜想、探索、归纳，在自主思考、合作交流中对圆锥曲线的共同特征进行再发现。- 2 - / 11教学策略通过本节课的学习，不仅仅让学生学会利用圆锥曲线的共同特征解决问题，也要让学生对圆锥曲线的统一性有着更进一步
4、的认识，让学生对圆锥曲线知识的认识有着更广阔的视野。而传统的讲授式教学和记忆加形成性训练的学习方式并不能很好的完成本节课的学习目标。所以，本节课采用自主探究法教学，结合学生的认知情况，设计了三个认知层次：一、创设情境，引入新课；二、合作交流，探究新知；三、学以致用，巩固提高。探究过程分为五个环节：探索发现大胆猜想深入探究形成结论适度拓展。认知层次层层深入，探究过程环环相扣。课堂教学中，教师组织和引导学生积极参与教学活动，突出学生的主体地位，鼓励学生以小组合作、同桌互助等方式探究新知。在教师的组织和引导下，学生通过动手实践、独立思考、自主探索、合作交流等方式，对知识进行“再创造”。探究过程中，通
5、过创设问题情境，从学生已掌握知识出发，层层深入，引导学生在行为和思考上积极、主动的参与，激发学生的学习兴趣。教学中，及时发现、肯定学生的闪光点，给予鼓励；同时，结合学生暴露出的思想或方法上的问题，适时点拨。利用多媒体辅助教学，借助几何画板演示，形象直观，方便学生理解知识；使用实物投影仪，让学生展示解题过程并讲解，让学生树立自信心，培养学生的综合素质。教学重难点：重点：圆锥曲线的共同特征及简单运用；难点：圆锥曲线的共同特征的探索研究。教学手段：多媒体辅助教学、实物投影、几何画板演示。教学过程：一、创设情境，引入新课【课件投影】请同学们回忆以下知识：1椭圆、双曲线、抛物线的定义；2椭圆、双曲线、抛
6、物线的离心率的取值范围；3求曲线方程的步骤（直接法）。设计意图：让学生回忆前面所学知识，为本节课的学习做好知识准备。投影平面截圆锥的视频。 （椭圆、抛物线、双曲线都可以用平面截去圆锥得到，这是它们图形上的共同特征。）思考：圆锥曲线的方程有什么共同特征吗？是否还存在其它共同特征呢？设计意图：让学生从图形、方程中感知圆锥曲线的统一性，激发学生的学习兴趣，引出课题。二、合作交流，探究新知（一）探索发现【课件投影】赛一赛：各小组对应题号做题，每组只做一道题。组内统一后，组长将所求方程写在黑板上。问题：曲线上的点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求下列条件下的曲线方程。 （1），； （2），；（
7、3），； （4），； （5），； （6），.分组计算后得出结果：当常数为，时，曲线都为椭圆；当常数为，2时，曲线都为双曲线。设计意图：从具体问题开始探究，遵循特殊到一般，具体到抽象的认知规律。观察常数取不同数值时曲线方程的区别，发现规律，同时强化了求曲线方程的方法。（二）大胆猜想【课件投影】猜想：曲线为椭圆、双曲线时，常数的取值范围分别是什么？学生的猜想结论：当常数时，曲线为椭圆；当常数时，曲线为双曲线。（几何画板演示）设计意图：通过几何画板演示，让学生观察曲线为椭圆、双曲线时，常数的取值，印证猜想结果，激发学生继续探究的兴趣。（三）深入探究问题：能否用前面所学知识验证猜想结论呢？定点、定直线
8、、常数有何意义？（接下来，我们结合前面学习的推导椭圆、双曲线标准方程的部分步骤验证这一结论）。【课件投影】推导椭圆标准方程的部分步骤：由椭圆的定义可得：，所以，移项得：，平方整理得：，同除得：变形为:.思考交流：上式的几何意义是什么？先自主思考，总结归纳，然后将结果在组内交流，统一结论后，推举代表回答。学生会回答：椭圆上点到焦点的距离与到直线的距离之比为离心率，因为，所以离心率。在标准方程下，结果与猜想结论相印证。分子是点到焦点的距离，分母是点到直线的距离。因为，所以常数，直线与焦点在轴同侧，且直线在椭圆的外侧。【课件投影】推导双曲线标准方程的部分步骤：由双曲线的定义可得：，所以，移项得：，平
9、方整理得：，同除得：，变形为:. 思考交流：上式的几何意义是什么？先自主思考，然后同桌交流结果，举手回答。学生回答：双曲线上点到焦点的距离与到直线的距离之比为离心率，因为，所以离心率。在标准方程下，结果与猜想结论也相印证，点在左支和右支都满足。分子为双曲线上任意一点与焦点间的距离，分母为点到直线的距离。因为，所以常数，直线与焦点在轴同侧，且直线在双曲线右支与轴之间。结合椭圆、双曲线结论与抛物线定义，思考交流：圆锥曲线有何共同特征？先自主思考，总结归纳，然后同桌交流结果，举手回答。学生会回答：圆锥曲线上的点到焦点的距离与到一条直线的距离之比都是离心率.当时，是椭圆；当时，是双曲线，当时，是抛物线
10、。设计意图：在教师的引导下，让学生在自主思考、合作交流中探究知识，对知识进行“再创造”，得出圆锥曲线的共同特征，突破本节课难点。（四）得出结论【课件投影】 圆锥曲线上的点到定点的距离与到定直线（直线不过定点）的距离之比等于常数. 当时，它是椭圆；当时，它是双曲线；当时，它是抛物线注意：1.分子分母顺序不能颠倒； 2.直线不过定点； 3.定点为焦点，定直线为与焦点相应的准线，常数为离心率。几何画板演示，分析2、3。设计意图：投影共同特征，规范学生的数学语言，注意关键点。通过几何画板演示，让学生观察分析直线过定点的情况，加深对定义的理解。结合对称性，找到与左焦点相应的左准线，指出椭圆上点到右焦点的
11、距离与到右准线的距离之比，和点到左焦点的距离与到左准线的距离之比都为离心率，双曲线也是如此。加深对相应准线的理解，感悟数学的对称美。（五）适度拓展（通过以上探究发现，圆锥曲线也可以如下来定义）【课件投影】平面内到一个定点的距离和它到一条定直线(不过定点)的距离的比等于常数的点的轨迹。当时，它是椭圆；当时，它是双曲线；当时，它是抛物线定点是焦点，定直线是与焦点相应的准线，常数是离心率。我们把它称为圆锥曲线的统一定义，曲线为椭圆、双曲线时，也称为椭圆、双曲线的第二定义，前面学习的定义为第一定义。椭圆的焦点在轴时，准线方程为，右准线为.双曲线的焦点在轴时，左准线为，右准线为.接下来让学生类比得出：椭
12、圆、双曲线的焦点在轴时的准线方程。设计意图：适度拓展，让学生了解圆锥曲线的统一定义，类比得出焦点在轴时的准线方程，鼓励学生课外继续探索验证，培养学生的探索精神。三、学以致用，巩固提高（一）例题讲解【课件投影】 例1：曲线上的点到定点的距离和它到定直线的距离的比是，求曲线方程。 解法1：直接法。 解：由题知：，即 ，化简得. 所以曲线方程为. 解法2：定义法。 解：依据题意，由圆锥曲线的统一定义知：曲线方程为焦点在轴的椭圆的标准方程。 右焦点：，右准线：，离心率：。 所以，可得，所以曲线方程为.例2：双曲线上一点P到左焦点的距离是4，求点P到右准线的距离.解法1：(左焦点右焦点右准线)解：由题知
13、：，所以.双曲线右支上点到左焦点的最短距离为，所以点P在双曲线左支.由双曲线的第一定义知： 又得设是点P到右准线的距离，由双曲线的第二定义得：得解法2：（左焦点左准线右准线）解：由题知：，所以.双曲线右支上点到左焦点的最短距离为，所以点P在双曲线左支.设是点P到左准线的距离， 由双曲线的第二定义得：得，又双曲线的两准线间的距离是，则点P到右准线的距离是：.（学生先自主思考，求出方程后在组内交流，推举代表到讲台前利用实物投影仪展示并分析解题过程，其他小组可做补充。）设计意图：（通过例题，强化知识在解题中的应用，突出本节课重点。通过学生展示，锻炼学生的表达能力，培养学生的综合素质。）（二）练习巩固
14、【课件投影】1.方程表示的曲线是（ ）A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.抛物线2.中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是_.3.椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到直线的距离为_.设计意图：当堂检测，反馈学习效果。（三）回顾反思【课件投影】 本节课，你学习了哪些知识？运用到了哪些数学思想方法？我们是如何探究知识的？ 1.圆锥曲线上的点到定点的距离与到定直线（直线不过定点）的距离之比等于常数. 当时，它是椭圆；当时，它是双曲线；当时，它是抛物线 2.求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法.3.数学思想方法：数形结合、类比等.4.从小组分工合作求解曲线方程开始，发现了规律，提出了猜想，进
15、行了探索验证，得出了结论，这也是常用的一般的科学研究方法。 设计意图：强化所学知识，优化知识结构。（四）作业反馈【课件投影】必做题：1曲线上的点到定点的距离和它到定直线的距离的比是，求曲线方程。2已知椭圆上一点到右准线的距离为10，求点到左准线的距离。选做题：1. 曲线上的点到定点的距离和它到定直线的距离的比是2，求曲线方程。2.已知点，设点为椭圆的右焦点，点为椭圆上动点，求的最小值，并求此时点的坐标。设计意图：分层设置课后作业，让不同程度的学生都能得到提高和发展。结束语：（德育教育） 圆锥曲线的统一性展现了数学的统一美，数学的发展是追求美的过程。希望我们每一个人都努力追求美、创造美，描绘出更美好的人生轨迹！ 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
全国高中数学青年教师展评课圆锥曲线的共同特征教学设计河南焦作十一中
