数学复习课教案7导数

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1、第十二章、导数及其应用教学目标：1、通过实例分析，深刻理解导数的一些实际背景，掌握函数的导数的概念，体会导数的思想及其内涵，掌握利用导数的概念求一些简单函数的导数的方法和流程；掌握导数的实际意义，能通过函数的图像直观的理解导数的几何意义及导数的物理意义。2、掌握并熟记几种常见的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则，掌握复合函数的求导法则。教学重点：几种基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则。教学难点：导数的几何意义及物理意义。1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如

2、果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。即f（x）=。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量=f（x+）f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f(x)=。2导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f

3、（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。3常见函数的导出公式（）（C为常数）（）（）（）4两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y

4、|= y| u|5导数的应用（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。求函数在(a，b)内的极值； 求函数在区间端点的值(a)、(b)； 将函数 的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。例题讲解：题型1：导数的概念例1已知s=，（1）计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒.各

5、段内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度。解析：（1）指时间改变量；指时间改变量。其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。（2）从（1）可见某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限，V=（6+=3g=29.4(米/秒)。例2求函数y=的导数。解析：，=-。点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。题型2：导数的基本运算例3（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y的导数

6、。解析：（1）,（2）先化简,（3）先使用三角公式进行化简.（4）y=；（5）yxy*（x）x）*（）。点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。题型3：导数的几何意义例5（1）（06安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D（2）（06全国II）过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（ ） （A） （B） （C） （D）解析：（1）与直线垂直

7、的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A；（2），设切点坐标为，则切线的斜率为2，且，于是切线方程为，因为点（1，0）在切线上，可解得0或4，代入可验正D正确，选D。点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。例6（1）（06湖北卷）半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： ；式可以用语言叙述为： 。（2）（06湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 。

8、解析：（1）V球，又 故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”；（2）曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是。点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。题型4：借助导数处理单调性、极值和最值例7（1）（06江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）0，则必有（ ）Af（0）f（2）2f（1）（2）（06天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个（3）（06全国卷I）已知函数

9、。（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围。解析：（1）依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故选C；（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。（3）：()f(x)的定义域为(,1)(1,+).对f(x)求导数得 f (x)= eax。()当a=2时, f (x)= e2x, f (x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于

10、0, 所以f(x)在(,1), (1,+).为增函数；()当0a0, f(x)在(,1), (1,+)为增函数.；()当a2时, 01, 令f (x)=0 ,解得x1= , x2= ；当x变化时, f (x)和f(x)的变化情况如下表: x(, )(,)(,1)(1,+)f (x)f(x)f(x)在(, ), (,1), (1,+)为增函数, f(x)在(,)为减函数。()()当0f(0)=1；()当a2时, 取x0= (0,1),则由()知 f(x0)1且eax1，得：f(x)= eax 1. 综上当且仅当a(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)1。点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑

11、函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例8（1）（06浙江卷）在区间上的最大值是（ ）(A)2 (B)0 (C)2 (D)4（2）（06山东卷）设函数f(x)= （）求f(x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。解析：（1），令可得x0或2（2舍去），当1x0，当0x1时，0，所以当x0时，f（x）取得最大值为2。选C；（2）由已知得，令，解得 。（）当时，在上单调递增； 当时，随的变化情况如下表：0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。（）由（）知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最

12、大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。题型5：导数综合题例9（06广东卷）设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求(I)求点的坐标；(II)求动点的轨迹方程.解析： ()令解得；当时,， 当时,，当时，。所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,。所以, 点A、B的坐标为。（） 设，所以。又PQ的中点在上，所以，消去得。点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。例10（06湖南卷）已知函数,数列满足:证明:()；()。证明: （I）先用数学归纳法证明，1,2,3, (i).当n=1时,由已知显然结论成立。(ii

13、).假设当n=k时结论成立,即。因为0x0成立。于是故。点评：该题是数列知识和导数结合到一块。题型6：导数实际应用题例11（06江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）。于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：。帐篷的体积为（单位：m3）：求导数，得；令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。当1x2时，,V

14、(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。例12（06浙江卷）已知函数f(x)=x+ x，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）求证：当n时，()x（）。证明：（I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（II）因为函数当时单调递增，而，所以，即因此又因为令则因为所以因此 故点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。