第五单元高中数学教学中应注意的几个问题

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1、第五单元 高中数学教学中应注意的几种问题在高中数学新课程实验教学中，存在某些问题。在某些地方，教师教学过程中对教材内容简朴地作两个并集。一种是不同版本的原则实验教材的并集；另一种是大纲教材与原则实验教材的并集。教师为了对付高考，在教学中把不同版本的原则实验教材都拿来作参照，并取其并集作为实际教学内容，或者把大纲教材与原则实验教材的内容取并集作为实际教学的内容。教师对教学内容的解决往往一步到位。学完某个数学内容，规定学生即可达到解高考题的限度。课堂教学容量太大，教学效率低，教师和学生都不堪重负。本单元将通过具体的案例以问题的形式，对高中数学教学应注意的几种问题进行探讨。旨在协助教师进一步思考这些

2、问题，在教学中尝试解决这些问题。课程改革的基点就是要贯彻素质教育，素质教育的理念贯穿在我们整个教育的方方面面，课堂教学也是贯彻素质教育的重要战场。在国内长期的数学教育实践中，积累了丰富的课堂教学经验，这是一笔珍贵的财富，我们需要把所积累的丰富的课堂教学经验与新课程的理念和规定有机的结合起来，在新课程的推动过程中，在课堂教学方面发明了诸多较好的经验，固然，也浮现了某些问题。下面我们就结合新课程中，积累的经验和浮现问题，与教师进行交流，提出我们的某些建议，以供教师思考。单元学习目的l 明确高中数学新课程教学中存在的问题以及产生问题的因素l 树立对的的教学观、学生观、评价观l 摸索解决问题的措施重要

3、概念课程内容的深度 课堂容量 教学效率 学习建议学习一般高中数学课程原则（实验）和一般高中数学课程原则（实验）解读中有关教学和评价的内容，体会高中数学课程中教学和评价的规定。研究高中学生的认知规律。研究教材，把握教材的体系和特点。研究高考的变化趋势。不断思考如何提高教学效率的问题。1 新课程的教学中所强调的教学原则是什么？在国内，长期的数学教育过程中，积累了丰富的教学经验，诸多文章对这些教学经验进行了较好的总结，我们在背面的参照文献中予以罗列。在“原则”中，特别强调了在以往的教学中注重不够的几种地方。“以学生发展为本，指引学生合理选择课程、制定学习筹划”“协助学生打好基本，发展能力”“注重联系

4、，提高对数学整体的结识”“注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力”“关注数学的文化价值，增进学生科学观的形成”“改善教与学的方式，使学生积极地学习”“恰当运用现代信息技术，提高教学质量”以上所强调的这些内容，都环绕着一种核心：以学生发展为本，激发学生积极学习的积极性。我们都懂得乐意做的事情、喜欢做的事情和被动做的事情、讨厌做的事情，其效果是大不相似的，对孩子特别是这样。作为一名教师来说，我们的教学要引起学生的爱好，要调动学生的积极精神，要受到学生的欢迎，要给学生以较好的引导，协助学生养成好的学习习惯和思维习惯。当学生的学习积极性提高了，乐意思考问题、学会思考问题了。学生的学习效率、

5、学习效果和考试成绩自然而然就会提高，并且这个“财富”将会随着学生终身的发展。2 在教学中，为什么要倡导教学方式的多样化？新课程倡导教学方式的多样化。教学方式的多样化不是目的，而是调动学生积极学习的一种手段。在这方面教师已经积累了大量的经验，概念的教学、技能的教学、摸索发现的教学、定理证明的教学、复习总结的教学应当采用不同的教学方式，即或是概念教学自身有时候也需要采用多种不同的教学手段。我们举一种例子来做阐明。在新课程的推动中，必修2立体几何初步的教学中，有的教师设计了这样一节课，作为立体几何初步的第一节课，组织学生走出教室，观测周边的事物，发现线线、线面、面面之间也许存在的多种关系，并加以总结

6、概括，写出一种报告。这是一种较好的教学设计，这些几何图形之间的具体关系将会留在学生的脑海里，随着着她们学习立体几何的不断进一步，生动、活泼、自然，又突出了数学的思想和学习数学的思想措施。我们但愿一线的教师针对不同的数学内容，针对不同窗生的实际，针对所处的不同的环境条件，开发出不同形式的教学措施。3 在教学中如何激发学生的学习积极性？我们懂得，有的学生喜欢挑战数学难题，为理解决一种难题可以花上几天的时间去揣摩；有的学生喜欢动手操作，在操作中揣摩和体会；有的学生喜欢想象，可以坐在那里思考许多问题；有的学生喜欢讨论和争论，在讨论和争论中思考问题；等等。每一种学生都会有她自身的特点，我们教师应当发现学

7、生的这些优势和特点，在平常的教学中，注意引导她们从自身的优势中产生突破，形成学习的积极性。在数学中，我们强调数学应用的教学，一方面，我们通过讲数学应用使学生理解数学在现实生活中的作用和意义，形成对数学的一种比较完整的结识；另一方面，也会成为激发学生学习爱好的载体，特别是某些喜欢操作，喜欢结合具体问题思考的学生来说，可以提供一种发挥她们才干的空间。这方面可以参照数学建模教学的案例分析，也可以参照张思明等教师编写的这方面的书籍。 如何激发学生学习的积极性是一种极具挑战性的问题，还需要我们不断地摸索经验，江苏常州市数学教研室徐淮源主任提出了“开窍数学”，她们就但愿摸索某些经验，协助学生从被动学习变为

8、积极学习，从不喜欢学习数学变为喜欢学习数学。4 在教学中，如何培养学生养成好的学习习惯？教师教学不仅要交给学生某些知识和技能，更重要的是以身作则协助学生养成学习数学的良好习惯和科学的思维方式。例如，教师可以通过提出问题，把学生的思考引向进一步，培养学生提出问题的学习习惯。教师可以在教学中合适的给学生留某些可思考的问题，协助学生理解数学的概念和所蕴含的数学思想。教师要故意识的运用图形来刻画数学问题和谋求解决问题的思路，培养学生养成一种用图形描述、刻画和需求解决问题思路的习惯，增强学生的几何直观能力。引导学生在学习完一段数学内容之后，及时地反思和总结，而不是教师替代学生去总结。在新课程中，强调从问

9、题出发，发现问题、提出问题、分析问题并逐渐的解决问题，这是数学中一种良好的学习习惯，也是一种科学的思维方式，在教师长期的教学中，不断地以身作则就能逐渐的协助学生形成一种好的习惯。我们的教师都懂得在数学的学习中，有好的习惯非常重要，它是一种人学习能力的体现，好的学习习惯可以协助同窗在学习中事半功倍，终身受益。我们以弧度的说课材料为例，阐明教师怎么以身作则协助学生建立起问题意识：教师甲：学生总是不太接受弧度这个概念，初学时常常是一遇到“弧度”就“糊涂”了. 教师乙：这也难怪，对学生来讲，本来是用角度来度量角的，学生挺容易接受的。教师却“无中生有”，偏偏要弄出个弧度来，又让学生用弧度来度量角，学生怎

10、么能“心甘情愿”的接受这个概念呢?教师甲：那教师要怎么讲才干让学生接受呢？教师乙：我想，教师一方面需要梳理一下，学生已经掌握的所有与弧度有关的知识。我觉得有如下方面：第一，学生已经懂得用角度度量角，这一点很重要，它是弧度教学的核心基本。度量的前提是要有度量的单位，通过取一种特殊的角周角，把它的作为1度角。第二，学生很早就学习过圆的周长，即。第三，由前两点可获得1度角所对的弧长，因此角度为的角所对弧长为。教师解说弧度概念最佳建立学生的以上认知基本之上。教师甲：那么如何引入弧度概念，才干不显得忽然呢？教师乙：既然弧度是个度量单位，可以从度量单位的多样化引入。在物理学和平常生活中，一种量，在不同场合

11、、背景下，常常为满足实际需要，需要用不同的措施进行度量。例如：物理学中，大气压强这个量，既可以用水银柱高度来度量，也可以用水柱高度来度量。同样的，对于角，除了已经学的角度制，尚有一种度量措施弧度制。教师甲：在弧度的教学中，理解长度与角度的统一是个难点，如何解决好呢？教师乙：无论用什么措施度量一种量，都是需要用一种已知量去度量的，并且这个已知量还要满足与被度量的量是一一相应的关系，即度量一种拟定的量的量数必须是唯一的，这一点，一定要给学生讲清晰。可以结合前面举的度量气压的例子来讲，之因此可以用水银柱高度度量大气压，是由于大气压与水银柱的高度有一一相应的关系，水银柱的每一种高度值相应于唯一的大气压

12、值。学生从初中所学的弧长公式，不难发现，弧长与弧所对圆心角和圆的半径有关，当圆的半径一定期，圆心角的大小与弧一一相应；但当半径不同步，同样的圆心角所对弧的长度是不同样的，如右图所示。由弧长公式可以懂得，对于同一种圆心角，弧长与半径的比值是一种常数，对于两个不同的角，其弧长与半径的比值也不同。因此，这个常数是一种可以刻画角度大小的量，我们就把这个常数叫做该角度的弧度值。显然，当圆的半径为1时，圆心角所对的弧长就是这个角的弧度值，在单位圆中，长度为1的弧所相应的圆心角称为1弧度角。如右图，可制作一种动画，把切在数轴原点单位圆的圆周从原点处剪开，把圆周拉直重叠在数轴上（一端放在原点处），那么点P在数

13、轴上的坐标值就是以切点处的半径为始边，初次旋转到过点P时的角的弧度值。由此可以看出，弧度把角度单位与弧度单位较好的统一了起来。教师甲：如何去阐明“弧度把角度单位与弧度单位统一起来”的意义呢？教师乙：就弧度概念的教学而言，在这堂课，还不急于举例说清晰，可以向学生指明，在背面的三角函数的学习，物理中简谐振动的学习，以及在将来大学的进一步学习中，会越来越感受到角度单位与长度单位统一的意义。作为教师，是一定要清晰弧度制实现了角度单位与长度单位统一的意义的。三角函数作图中，横纵轴单位的统一依赖于角度与长度单位统一；弹簧振子做简谐振动时，刻画其离开平衡位置的位移与时间的关系是三角函数，它的变量是时间，不再

14、是角度；大学数学分析中的成立，依赖于变量是弧度数等等。教师在后续的教学中，要逐渐的有筹划的去阐明角度与长度单位统一的意义。教师甲：嗯，如果教学中，把这些都将清晰了，学生对弧度的结识和理解限度要远比直接给出一种概念要深刻的多，不管于情于理，学生都会更好的认同接受这一概念，如此一来，的确可以避免弧度概念难于接受的现象了。教师乙：这样虽然在概念教学上花了较多的时间，练习时间短了，但是学生接受理解了概念，解决与弧度有关的问题，学生就不会感觉困难了。在上述这个说课案例中，体现出教师的一种习惯，强调概念形成的来龙去脉，强调从小学到初中，从初中到高中，弧度概念形成的过程。这种言传身教就会协助学生形成一种结识

15、概念的良好的学习习惯。养成一种好的学习习惯不是一朝一夕的事，需要教师在教学的过程中长期的积累，但是一旦形成一种好的习惯，将受益终身。5 如何提高课堂教学的效率？我们在高中课改实验区考察的过程中发现，高中的数学课堂容量比较大，导致教学效率不高。我们在听学时感觉要“小跑”才干跟得上课堂的进度。那么，学生与否都能跟得上呢？要如何提高课堂教学的效率呢？我们以一堂课为例阐明这个问题。我们在实验区听的一堂高一的有关数列的复习课，这堂课教师准备得很充足，对于数列的求和措施也总结得很全面细致，准备的例题和练习也不少，这堂课的前三道练习题都选获得较好，注重通性通法，可是最后这道练习题就不太妥当了，这道题是这样的

16、，已知，求。一方面，这道题目的解法很特殊，一般的学生是想不出来的。并且教师花了诸多的时间来分析和解说这道题目，把这节课的重心放在这道难题上，势必会冲淡先前讲的那几种求数列和的通性通法；另一方面，从学生的学习情感上来看，这道题目与前几道题的措施迥然不同，是大多数学生都想不到的措施，这样会使不会做这道题的学生产生挫败感，觉得这节课什么都没有学会，其实这节课在这道题之前的内容是很重要的，也是她们可以掌握的，目前反而“一无所获”了。固然，教师的出发点是较好的，但愿能尽其所能教给学生越多越好，殊不知“欲速则不达”。我们建议教师把这道练习题作为课后的思考题、提高题都可以。在课堂上就只讲最重要的，需要大部分

17、学生都掌握的内容。这样课堂的容量就不会太紧张，并且学生们都会有所收获，课堂的教学效率自然就提高了，可谓事半功倍。6 如何发明性地使用教材？我们从如下四个方面来讨论如何发明性地使用教材的问题：第一 ，教材的多样化与把握教材教材的多样化给教师提供了更多的选择余地，也提供了更多的参照借鉴，例如：各部分数学内容的编排呈现方式，语言（可读性、趣味性）的运用，概念、结论提出的现实的和学科的背景，例题、习题的设计形式及配备，与某些知识有关的背景材料简介等诸多方面。一种好的教师会根据自身特点及所教学生的实际状况，合适合理的吸取各套教材的优秀特色，转化为自己教学所用，而不是简朴的把内容、习题做加法，把各套教材内

18、容、例题和习题的并集教给学生。总体上讲，在多套教材的参照借鉴中，必须把握一种整体性原则。由于各教材在内容的具体解决上，存在某些顺序上的差别，若不加考虑的借用，会给学生学习带来不必要的困难。下面以斜率的教学为例，谈谈各部分教材对于斜率的解决顺序。人教版B版：一方面由一次函数引入直线方程的概念，再由直线上任意两点计算出，定义k为直线斜率，解释其刻画了直线倾斜限度，并给出倾斜角定义，然后定性分析斜率k取值范畴与倾斜角范畴的关系，但不给出倾斜角正切值为斜率。人教版A版：从问题“平面直角坐标系中直线的位置由哪些条件拟定？”的研究，给出直线倾斜角概念；之后再以问题“生活中有无表达倾斜限度的量？”从坡度概念

19、指出坡度即倾斜角正切，定义倾斜角正切值为直线斜率，用旁注给出诱导公式，用来解释钝角的正切为负；然后过直线上两点分别作坐标轴平行线，从直角三角形推出两点斜率的计算公式。江苏版：从坡度引出刻画直线倾斜限度的措施：用直线上任意两点的坐标定义直线斜率；用直线旋转定义直线倾斜角概念，然后分状况指出倾斜角为锐角、钝角时其正切值与斜率的关系(当为钝角时，规定)。北师大版：先研究直线的拟定条件：两点或一点加一方向；从刻画直线方向的需要出发给出直线倾斜角的概念，指出平常生活中用坡度来刻画道路等的倾斜限度，借鉴坡度的刻画措施，先研究过原点直线，按倾斜角为锐角、钝角分状况阐明，指出直线上纵坐标增量与横坐标增量的比值

20、为直线斜率，并指明直线斜率是倾斜角正切值；然后推广到一般位置直线；最后给出用直线上任意两点坐标表达直线斜率。这四种版本的教材在斜率概念的解决上有明显区别，各自体现出自己解决教材的风格和侧重点，这是教材多样化带来的必然成果。无论采用哪一种定义的方式都是可以的，例如，采用北师大版的方式，即对于直线y=ax+b，当x增长一种单位，y增长的值看作这条直线的斜率。需要注意的是，在背面学到tanx时，应当协助学生用这个新的概念再一次结识直线的斜率，当学到向量的时候，也应当协助学生理解如何用向量的措施刻画斜率，当学到导数的时候，又应当协助学生运用导数结识直线的斜率，以及导数的几何意义。这样我们就可以协助学生

21、学会从不同的角度结识同一种数学对象。正如我们前面所说的，学习数学是个“线性序”，有的东西先学，有的东西后学，但是数学自身不是“线性序”的，有的东西有严格的先后关系，但是有的东西没有先后关系。第二、知识背景的合理取舍教科书不是教条，教师可以因地制宜，使用更符合所教学生认知状况的材料，教材使用背景的意义在于建议教材使用者应贯穿“教给学生来龙去脉”的教学理念，核心还是在于把握数学本质，而不是单纯的让学生去理解背景自身。因此，鼓励教师发明性的挖掘并创设具有“本土”特色的知识、概念、问题的现实背景及情境。教学中需要的是真正贯彻“注重知识形成过程，突出与其他学科及生活现实联系”的数学教学理念，而不是教材体

22、现的形式！例如：必修4中三角函数部分，在有的教材中，采用摩天轮为背景简介三角函数，这个背景都市的学生是熟悉的，采用这个背景有助于学生理解三角函数。但是在南方的农村地区，就可以用学生熟悉的水车来替代摩天轮。开发适合学生认知规律的，可以协助理解数学本质的，同步又为学生所熟悉的数学背景，是一种具有挑战性的问题。教师应当大胆开发某些好的案例，丰富课堂教学。第三、例题的合理使用教材所配备的例题，并不是规定教材使用者一定要让学生在学习该节内容时，就掌握这些例题，使用者应根据学生实际认知水平，尚有学生初中所学知识的基本上，有选择的使用或替代，如果只是解法的选择问题，可以考虑换一种解法来讲。例如上面给出的例题

23、：ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，1），B（7，3），C（2，8），求它的外接圆的方程课本上使用了从定义出发，直接建立三元方程组求解。教师可以引导学生从外接圆圆心到三定点距离相等，得出圆心在边的垂直平分线上，先求出两边的垂直平分线，再解二元一次方程组求圆心坐标，然后再求出半径，写出圆的方程。又例如，求证：函数f（x）x在区间（0，1上是单调减函数，在区间1，）上是单调增函数证明过程中，需用到分组分解法，学生初中未学，对于学习能力较强的班级，可以在解题中教学生如何分解，对于学习能力较弱的学生，可以考虑换个例题，在学生已经具有了一定代数式运算能力时（高二）再波及这样的问题。第四、习题的灵活把握

24、同样的教材中的习题，教材使用者也不要觉得，学生学习后就一定要一步到位解决好所有习题，应根据学生实际认知水平及学习状况分层使用，有些波及更多知识的、难度较大综合性习题可以往后放一放。强行放在此处解决，学生也无法接受，甚至会干扰了本部分知识的理解和掌握。例如：求二次函数在0，1上的最小值的解析式。若学生在求给定变量限制的二次函数值域时，尚有些困难，可以把这样地习题放到背面相应的内容中去解决，同步，可以建议教材的编写者调节习题的顺序。又例如，在集合教学中，对于平面点集的使用应当采用谨慎的态度，最佳放在解析几何、求解线性规划问题等地方解决。本次课程改革的一种重要的改革环节就是教材的多样化，尽管由于时间

25、短各套教材还存在着这样或那样的局限性，但是应当说已经初步形成了风格各异的几套高中数学教材，相信通过几年的实践，这些教材一定会在竞争和互补中不断地完善和发展，形成支持高中数学教育的丰富的资源。面对教材的多样化，前面我们对教师提出了某些建议，最主线的一条还是但愿教师可以根据学生的状况、地区的状况、教师个人的状况发明性地使用教材，不断地开发课程资源，在这个过程中，使得教师的专业水平得到发展，也但愿能有更多的一线教师直接参与到各套教材的建设中，逐渐的形成一支专兼职结合的、大学专家中小学与编辑人员结合的教材建设的队伍。7 在基本知识的教学中，如何抓住数学的本质？在基本知识的教学中，我们往往容易只注重形式

26、的推导和演算而忽视了对于数学本质的挖掘。下面我们以“待定系数法”为例，谈谈如何抓住数学的本质。“待定系数法”是中学数学中常用的措施，其本质是模型的思想。在中小学阶段，会学习到某些模型，例如，方程（一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程）、不等式（一元一次不等式、一元一次不等式组等）、函数（一次函数、反比例函数、一元二次函数等）都是基本的数学模型。简朴的说，模型的最基本的特性是可以体现一类问题，对这一类问题进行区别的核心是参数。例如，指数函数y=ax,其中，a是不为1的正实数，它代表了一类函数，不同的a代表了不同的函数。当我们讨论某些实际问题时，例如，某种细胞的分裂过程，我们一方面就可以判断

27、出这个实际问题是属于指数函数模型，然后我们通过进一步的分析可以判断出细胞分裂的过程是，细胞的个数y与分裂次数n之间的指数函数关系，可以表达为y=an，最后的问题就转化为拟定a的值，根据细胞分裂过程中测得的细胞的个数y与分裂次数n的8组数据，可以计算出a的值为2，这样，这种细胞分裂的过程就可以用y=2n这个具体的指数函数模型来刻画了。在这个过程中，拟定参数a的值是核心，就是我们一般所说的待定系数法。待定系数法的本质是对模型和模型思想的结识。在解决这一类问题时，一方面要判断用哪类模型可以刻画这个问题，如上所述，这个实际问题的模型属于指数函数类；然后要判断指数函数的哪一种具体的函数可以刻画这个问题的

28、规律；在最后的环节是要拟定这个指数函数模型中的参数a。模型和模型的思想是数学中最重要的也是最基本的思想之一，它既是数学课程中的一种基本内容，也是贯穿整个数学课程的基本思想。到了高中阶段我们又学习了更多的数学模型，例如，指数函数、对数函数、三角函数等。每一种模型都代表一类函数。待定系数这种措施是讨论有关模型问题的一种基本的措施，不仅反映在中小学数学中，在大学数学中，我们会学到更多的数学模型，待定系数法仍然是讨论有关模型问题的基本措施之一。对模型的结识是整个数学课程中的一种基本内容，不同的阶段要完毕不同的任务。在义务教育阶段，对模型结识的基本定位是理解实际生活中存在的某些具体的模型，例如，一元一次

29、函数就是一类重要的模型。在义务教育阶段，对于通过拟定参数来选择模型的规定不高，因此没有强化待定系数法的使用，但是在实际教学中，教师都会根据实际问题来拟定模型，出不出“待定系数法”这个名词不是本质的，有的教师提到了这个名词，也有教师没有提出这个名词，这些都不影响对模型的结识。在高中阶段要协助学生进一步结识模型的思想。进一步结识模型和模型思想是高中课程的一种基本规定。它不仅需要强化对模型的结识，并且规定理解建立模型的过程，特别提出了有关数学建模的规定，因此在高中课程中有足够的时间和空间来理解模型的思想，理解待定系数法。在义务教育阶段就有某些典型的模型。例如，方程模型，一次函数模型等。在高中有了更多

30、的数学模型。例如，指数模型，对数模型，三角函数模型，分段函数模型等。在讨论函数问题的过程中，很自然的产生了不同类型的函数，也使得待定系数法自然产生，通过待定系数法可以刻画模型的基本特性，是模型思想的自然延伸。8 在基本技能的教学中，如何抓住通性通法？在基本技能的教学中，教师要注意抓住数学中的通性通法。例如，消元法，配措施，拟定模型中的待定系数法；在计数原理中，分类加法原理和分步乘法原理；线性规划的思想措施；在几何中，解析几何的措施，向量的措施，函数的措施等研究图形的措施；这些都是中小学阶段数学课程中的“通性通法”。我们以配措施为例，谈谈在基本技能的教学中，如何抓住通性通法。在解一元二次方程时，

31、学生第一次接触了配措施，学生先是会解形如x=a的方程，然后是会解形如ax+b=0的方程，进而会求解形如x2=a的方程，那么一般的一元二次方程能否变成x2=a的形式来求解呢？由此产生了配措施，运用配措施把一元二次方程的左边变成完全平方数，进而求解方程。在这里，配措施起了降幂的作用。在讨论一元二次函数时，我们先讨论的是形如y=x2这样的二次函数，接着讨论了形如y=ax2、y=(x-a)2等的二次函数，这三种形式的函数是完全平方的形式，因此，很容易找到其相应的函数图形的对称轴和顶点坐标。那么，在讨论一般形式的二次函数y=ax2+bx+c时，也但愿把它变成完全平方的形式，进而讨论其函数图形的对称轴和顶

32、点坐标。在这里，配措施的作用是运用已知函数的形式去研究未知函数。在应用最小二乘法时，运用配措施可以进行估值。在大学的学习中，还会提出类似的运用配措施的问题。我们再以消元法为例。消元法，是数学学习中的“通性通法”之一，它重要是解决解方程、方程组这一类的问题的一种一般的措施。例如，求解二元一次方程组时，根据消元法的思想，减少未知数的个数是消元法的实质，最后只保存一种未知数时，方程（组）就迎刃而解了，在这里我们可以具体采用加减消元法或者代入消元法，其目的只是为了消元，因此，消元的思想具有一般性。这种措施很容易迁移到求解三元一次方程组和由二元一次方程与二元二次方程联立的方程组。运用代入消元或加减消元都

33、可以把三元一次方程组转换为二元一次方程组。通过代入消元法，可以把由二元一次方程与二元二次方程联立的方程组转化成一元二次方程。这些都反映了消元法是重要的通性通法。强调通性通法，淡化特殊技巧，协助学生学会解决一类数学问题的最基本的措施，这种措施将会使学生终身受益。这些措施之因此称为通性通法，它反映了一种解决问题的思想，在不同的问题中，都会用到这种思想措施去解决问题，例如，待定系数法，不同的函数模型都可以运用待定系数法取拟定模型的参数。在我们数学的教学中，什么是措施？什么是思想？什么是思想措施？区别起来是很困难的，它们并不是“两两不交”的，我们无法给出一种确切的定义，重要的是体会它们的内涵和本质。在

34、研究函数中讲到配措施时，教师在教学中应当引导学生与方程中所使用的配措施作一种比较，固然，在最小二乘法的教学中，也应当引导学生作进一步的比较，使学生更好的体会配措施的思想本质，这样在进一步的学习中遇到其她的问题，学生就会自然的运用配方的思想去讨论它。9 在教学中，如何体现数学的基本思想？在数学不同内容的教学中，教师应当注重体现数学的基本思想，这样才干使学生更好地把握每部分的数学内容。如果教数学不能让学生理解数学的思想，就好比教学生念音符而不准弹奏音乐，固然学生从未听过音乐，也能学会结识全音符、半音符、高调、降半调、主音调以及转调的措施，但是如果学生不能由听觉去感受多种音符和演奏的技巧，那种教学只

35、是无意义的且令人生厌的苦练。我们的数学教学要注重对于数学基本思想的渗入，才会让学生对数学的理解更加自然和深刻。在我们讨论数学问题时，常常需要用到某些不同的数学思想，以线性规划问题为例，在讨论线性规划问题的过程中，就很自然的会用到数学建模的思想、函数的思想和算法的思想。线性规划的问题，一般来源于实际，需要把实际问题转化成数学问题，这当中就体现了数学建模的思想。线性规划问题是最优化问题的一部分，体现了函数的思想，一方面，要拟定目的函数，用目的函数来刻画“好、坏”或“大、小”等，在这里，目的函数事实上是二元函数，在具体问题中，学生是不难接受这个概念；接着，需要拟定目的函数的可行域（由约束条件拟定目的

36、函数的定义域），用平面区域图形可以非常清晰地体现可行域（目的函数的定义域）的特性，可行域的边界是由“直线围成的区域”，其边界上定点的个数是有限的；最后，讨论目的函数在可行域（由约束条件拟定的定义域）内的最值问题，为此，结识目的函数的变化趋势，使用等高线（其上函数值相等的平面上的直线）可以直观地给出了目的函数的变化趋势。解线性规划问题的过程也体现了算法的思想，其算法环节如下：第一步，拟定目的函数；第二步，拟定目的函数的可行域；第三步，拟定目的函数在可行域内的最值。 在线性规划问题这部分的教学中，教师要适时的渗入其中体现的建模的思想、函数的思想和算法的思想，不仅能让学生对于线性规划问题有更深刻的理

37、解，并且对于建模、函数和算法的理解也会有所进一步和拓展。10 在教学中，如何协助学生积累数学活动的经验？ 在数学的新课程中，增长了某些新的课程内容，例如，算法、记录、框图、概率和函数的应用等。这些课程内容常常倡导采用案例教学法，强调提出问题、分析问题和解决问题的全过程，这些过程需要不断地积累学生的数学活动经验。在数学课程原则中，明确规定了在高中阶段至少各应安排一次较为完整的数学探究、数学建模活动。数学探究和数学建模活动的开展也需要学生积累丰富的数学活动经验。因此，协助学生积累数学活动经验是值得教师关注的问题。固然，协助学生积累数学活动经验与我们一般的教学有所区别，我们以函数的应用为例，具体阐明

38、需要注意的几种方面：第一，要轻其所轻、重其所重。如，要明确告诉学生定义域和值域的叫法和求法；但是，对于定义域和值域的技巧，则不要过度追求函数值，也只规定懂得 f (a) 的意义，并会求常用的函数值即可区间是重要概念分段函数，虽然没有列专节，但是，它的解析、列表、图像表达都不可忽视。第二，应当时时到处注意为学生留白，即注意组织学生的活动。如,有关映射的“思考交流”，应当尽量发动学生自己总结出映射的特点以及映射与函数的异同。第三，过程常与思想和措施相连，往往比结论更重要，因此，教学中应当注意强调对知识发生发展过程的结识。让学生体会知识由简朴到复杂的发展过程和把复杂化简朴的化归措施。二次函数性质的学

39、习就是从具体到抽象的逐渐深化但愿教师能体会并把握这一点。指数及指数函数的研究也是如此。第四，注重数学思想的渗入。例如二分法求方程的解，其思想比会求解更重要。这里边至少有三个重要思想：近似的思想、逼近的思想、算法的思想。第五，在教材里没有给“持续函数”的概念，解决问题时又需要函数是持续的，中学生还不可以真正理解持续的定义，但中学生的知识基本和生活经验可以承认已知的简朴的函数图象是不间断的曲线，这样就足够了。第六，数学建模工作具有明显的反思与改善的特性。一般来说，对问题的初步建模是比较简朴的，运用假设，撇开复杂因素，将问题简朴化、抱负化，这样做容易得到成果，但这样的成果往往与实际不符，这时需要反思

40、建模过程，分析影响因素，改善假设或选择新的模型教学中要做点反思与改善的尝试。第七，有条件的学校应当充足发挥信息技术的威力。如，数字较大时求二次函数的值，各参数的变化对图像有什么影响？可以充足运用信息技术的动态特点，画出多种曲线族，形象地将变化体现出来。幂函数、指数函数、对数函数的增长比较，信息技术能提供有力的支持。协助学生积累数学活动的经验的过程，也是教师积累经验的过程。但愿教师做好这个过程的记录、整顿和反思，这样将会总结和提高出更多、更好的教学实践经验。11 在教学中，如何发展学生的创新意识？在中学阶段，创新意识最具体的体现是要环绕着问题展开，可以发现问题，可以发现学习中的问题，发现生活中的

41、问题，在此基本上，可以把这些问题用数学的语言，说清晰讲明白，也就是我们一般说的提出问题；提出了问题就需要谋求解决问题的思路、途径和措施，需要理解解决问题的条件和所要得到的结论，以及条件与结论之间的关系，这些都是分析问题和解决问题的能力，也是我们数学教育急需培养的学生的创新意识。下面我们以一种学生在学习数学选修课“矩阵与变换”时，经历的发现、提出、分析和解决问题的过程为例，来阐明如何培养学生的创新意识。一位同窗在学习“矩阵与变换”的过程中，提出这样的问题：能否找到这样一种矩阵，使得平面内任意一点有关直线对称？她就开始尝试解决这个问题，她设直线方程为，当时，直线的斜率为 ，设已知点坐标为，与之有关

42、对称的点为，根据已知点与未知点的几何关系可得：通过大量的计算得：又设所求矩阵为，则有因此令根据以上条件，她还对所得结论进行了验证：设已知点为，已知直线为，将其代入上式对称点坐标为，成果对的.设已知点为，已知直线为，将其代入上式得对称点坐标为这是一种错误的结论，对的的坐标为.她不懂得出错的因素是什么？为什么有的可以有的不可以？于是，她便找她的数学教师讨论这个问题。和教师讨论之后，她明白了，本来可以用矩阵表达的变换一定把零向量变为零向量。因此当她进行验证时第二种状况是不成立的。后来，在教师的鼓励下，她继续改善，将这个问题坚持研究下去。进行了两方面的改善：将直线方程由一般式改为斜截式，这样可以减少变

43、量的个数.两个点有关一条直线对称的另一种充要条件是两个点的连线中点在已知直线上，并且连线与已知直线垂直（如果斜率存在，那么斜率乘积为-1），这样可以减少计算量.她的具体做法如下：当已知直线的斜率不存在时，设直线方程为，即为轴.所求的矩阵为当已知直线的斜率存在时，是直线方程为，已知点坐标为，与之有关直线对称的点为，则 ， 解得 设所求矩阵为，则有即因此有所求矩阵为这位学生通过这样的研究经历，不仅对于矩阵的作用有了更加深刻的结识，并且较好的培养了她的创新意识。也为她学好数学增强了信心。12 在教学中，如何体现数学文化的价值？数学是人类文化的重要构成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力

44、。学生通过在高中阶段数学文化的学习，将初步理解数学科学与人类社会发展之间的互相作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、开阔视野，激发对于数学学习的爱好。那么，如何在教学中体现数学文化的价值呢？例如，在教师讲到线性规划这部分内容时，就可以给学生简介线性规划之父Dantzig的传奇故事。据说Dantzig在开学的第一天，因故迟到了，看到黑板上写着两道题目，觉得是教师留的课外作业，就抄了下来。在做的过程中，Dantzig感到很困难，她心想，第一天上课的题目就不会做背面的课还怎么上啊？便下定决心不做出这两道题目，就退学。最后用了几周的时间才完毕，为此她还特意向Neyman专家道歉。几周后的一种周

45、末清晨，Dantzig被一阵急促的敲门声吵醒，Neyman专家一进门就激动地说：“我刚为你的论文写好一篇前言，你看一下，我要立即寄出去刊登。” Dantzig过了好一阵才明白Neyman专家的意思：本来那是两道记录学中出名的为解决问题，她居然当成课外作业解决了！后来谈到这件事时，Dantzig感慨道：如果自己预先懂得这是两道出名的为解决的问题，主线就不会有信心和勇气去思考，也不也许解决它们。这个传奇故事就告诉我们：一种人的潜能是难以预料的，成功的障碍往往来自于心理上的畏难情绪；一定要相信自己，保持积极的态度。又例如，教师在讲授算法这部分内容时，有两部分有关算法的背景材料，可以选择合适的方式简介

46、给学生。一部分是合适的简介算法在中国数学发展中的作用，构造性的证明是中国数学的灵魂，算法体现了这种构造性的证明，出名数学著作九章算术是凝聚这一思想的巨著，在近来以吴文俊先生为首的中国数学家，在数学机械化证明所作的开拓性的奉献，吴先生等人的工作的基本工作之一是设计算法去实行证明。另一部分可以简介算法在计算机科学、数学科学、信息科学等科学技术领域中的重要作用，它充足的反映了数学在人类社会发展中的作用和价值。这些简介不仅能引起学生学习算法和其她数学内容的爱好，也可以加深学生对于算法思想的理解。更重要的是，学生可以体会出数学在人类社会发展中的文化价值。高中课程中，有大量的内容蕴含着丰富的文化价值，例如

47、，椭圆、微积分等。我们但愿教师在教学的过程中，积极开发某些具有文化价值的素材，把这些素材有机的融入自己的教学中，使得学生有更大的收获，使得我们的教学有魅力、有激情、有思想。13 在课堂教学中，如何有效地启发学生的思维？出名的文学家托尔斯泰觉得：数学是思维的体操。数学教育的目的也但愿培养学生的数学思维习惯。那么，在课堂教学中，教师应当如何有效地启发学生的思维呢？下面我们用品体的例子来阐明这个问题。例如，在引入弧度概念时，我们最佳先启发学生思考物理中某些量的不同测量方式，例如，测量大气压时，可以用气压计直接读出大气压的值，也可以用水银柱的高度来表达大气压。在物理学中，有好多量可以有不同的表达措施。

48、在启发学生思考这些之后，在引入弧度，告诉学生刻画角度尚有一种措施就是用弧度来刻画，这样学生的思维就很容易跟着教师动了，而不是教师强制的非要让学生接受弧度这样一种容易“糊涂”的概念。又例如，在讲授二项式定理证明时，我们可以用如下的教学方式来启发学生的思维：有关二项式定理的教学设计可以采用问题串的形式，通过问题串启发学生的思维去发现二项式定理，理解在二项式定理中系数的意义，加深对于代数运算的结识，增进学生对于乘法原理、加法原理以及排列、组合的概念理解、掌握、应用。问题1 ：请按照多项式乘法逐级展开(a+b)2，(a+b)3。如：教学目的：复习多项式乘法的具体环节，体会分派律在多项式乘法中的作用。教

49、学形式：学生动手操作、归纳、总结。问题2：(a+b)2，(a+b)3的展开式分别是由多少项构成？为什么？每一项的特点是什么？教学目的：这个问题是为下面的问题作铺垫。教学形式：讨论交流，教师引导。回忆问题1的运算过程，结合多项式乘法的分派律，请你概括出展开式中各项的生成方式，并由此指出展开后（未合并同类项的）有多少项？概括各项的代数构造特性。问题3：在 的展开式中，根据多项式乘积的法则，每一项是如何构成的？ 教学目的：1）是n个多项式(a+b)的乘积；2）在多项式乘积的展开式中，每一项是由每一种多项式（a+b）的a(或b)的乘积构成，即，a和b的个数之和等于n。3）在上式中，这些a来自于某些不同

50、的多项式(a+b)，这些b来自于某些不同的多项式(a+b)。教学形式：独立思考、交流讨论、教师引导。问题4：(a+b)n的展开式共有多少项？ 教学目的：运用乘法原理讨论展开式的项数。 教学形式：交流讨论、教师可以运用类比的方式加以引导。问题5：从问题3中，每一项的产生过程和构成方式，思考有多少个同类项？ 教学目的：运用组合、组合数的概念讨论问题5。教学方式：交流讨论、教师可以运用类比的方式引导学生建立问题5与组合数之间的联系。问题6：写出的展开式（合并同类项后的）？ 教学目的：1）理解合并同类项（加法原理）；2）写出（a+b）n=，（k）3）上式可简写为：（a+b）n=。协助学生理解“”的意义

51、，以及其上标和下标的意义。 教学方式：让学生独立的进行书面体现，在此基本上交流讨论。体现式（a+b）n=需要通过讲授。可以在此基本上设立某些简朴的二项式定理的应用问题，协助学生加深对于二项式定理的理解。在某种意义上，“问题”是教学的核心，通过问题引入概念，通过问题引导学生思考，启发学生的思维，通过解决问题的过程体会数学思想，设计一系列故意义的且能有效地启发学生思维的问题串，是一种发明性的工作。相信我们的教师能在新课程的推动中，发明出形式多样的适合学生需要的启发式的教学方式。14 在教学中，如何使得概念的引入自然和让学生容易接受且抓住数学本质？诸多数学家都觉得，数学概念的引入一定要是自然而然的，

52、并且要让学生容易接受且可以抓住数学的本质。我们以函数概念的引入为例，谈谈在教学中，如何使得概念的引入自然且易被学生接受和理解。协助学生进一步的理解函数的概念不是一节课可以解决的，是需要一种比较长期的不断进一步理解的过程。在初中，我们学习过某些有关函数的知识，对于函数是刻画变量与变量之间关系的一种数学模型有了初步的结识，这是结识函数一种非常重要的角度，在高中阶段，应进一步通过在初中学过的某些具体的函数的实例，强化函数是刻画变量与变量之间关系的一种数学模型的结识，函数是揭示平常生活和其她学科规律的重要模型，这种结识有助于把生活中和其她学科中的问题转变成数学问题。这是结识函数概念的一种角度。事实上，

53、学生从小学阶段就开始结识函数，路程、速度和时间这三者的关系是建立函数概念的一种重要的具体模型。对于一种匀速直线运动的汽车，从某一点出发，每一种时刻都相应唯一的路程，路程和时间构成了一种函数关系，汽车运动的时间是有范畴的，可以用一种实数集合来表达，汽车运动的路程也是有范畴的，可以用另一种实数集合来表达，函数关系就像一座桥梁联结起了时间和路程，对于时间集合中的每一种元素（数），在路程集合里均有唯一的元素（数）与之相相应。从小学到高中，我们已经学习了大量的满足这种性质的函数实例，在这个基本上，我们很自然的形成了一种数学的体现方式。这就是一般所说的映射关系。在高中阶段，函数可以表述成为：给定两个实数集

54、合A、B，存在着某种相应关系f，对集合A的任一元素a，根据这种关系f，在集合B中存在唯一元素b与a相应，即f(a)=b。我们称这个相应关系f为集合A到集合B的一种函数关系，简称函数,记作：f: AB。这是用映射的观点来刻画函数，它反映了两个对象之间的关系，函数像在两个对象之间构架的桥梁，数学上可以通过两个集合的关系来反映这种函数关系，函数就是两个数集之间架起了一座桥梁。在两个对象之间构架“桥梁”反映了数学中的一种基本思想。例如，在代数学中，同构、同态都是构架两个代数对象（构造）的“桥梁”；在拓扑学中，持续、同胚都是构架两个拓扑对象（构造）的“桥梁”，等等。这种思想渗入到每一种数学分支中。于此同

55、步，我们需要从图形的角度来结识函数关系，函数关系是平面坐标系上的集合，又可以看作平面上的一种特殊的 “曲线图形”，其特点是在函数定义域范畴内的每一种数x0，过x轴上的点(x0,0)作x轴的垂线，与“曲线图形”有唯一的交点（如下图所示）。函数就是满足这一条件的“曲线图形”。坐标平面上的圆就不是满足函数关系的图形（如下图所示），由于，如图垂直于x轴的直线与圆有两个交点。因此，从几何上来说，研究函数就是研究这种曲线的性质，即，研究曲线的形状。从另一种意义上来说，就是研究曲线的变化，即当x在某一种范畴内从小到大变化的时候，y如何变化。运用这种见解，函数可以看作数形结合的载体之一。事实上，高中数学课程中

56、的数形结合重要有三个载体：解析几何、向量几何、函数。在讨论函数问题时，协助学生养成画函数图形，并且用函数图形思考问题的习惯。树立“图形意识”是掌握函数性质、学好函数的核心。对函数概念的结识并没有结束，还需要在学生的头脑中放住一批具体的函数模型，例如分段函数、指数函数、对数函数、简朴的幂函数、三角函数，等等。要把对函数概念的理解和学习具体函数的概念结合起来。15 信息技术在中学数学课堂中的使用原则是什么？在近来一段时间里，信息技术发展的非常迅速，如何运用信息技术来推动教育改革，成为人们关注的问题。信息技术给教育带来的变化重要反映在教育资源、交流方式和渠道、教学方式、学习方式等方面。信息技术增进了

57、数学课堂教学的变化，在数学教学中，恰当的使用信息技术已经成为所有教师的共识，那么，信息技术在中学数学课堂中的使用原则是什么？ 在中学数学课堂教学中，使用信息技术是为了协助学生更好的理解数学的本质，增进学生积极的思考和交流，提供生动直观的呈现形式，激发学生学习爱好，有效地提高课堂教学效率和效果。下面我们通过某些案例，提供某些具体的建议和意见，供参照。1、必要性：信息技术应为数学的学与教服务，教学中不应为用信息技术而用，特别是上公开课、研究课等，绝大部分都用信息技术，但与否每节课都需要呢？是不是计算机用的越多就越好呢？答案都应与否认，与否真的需要，要看信息技术能否在课堂上为教学目的服务，起到老式措

58、施达不到的效果，如：案例1：数学欣赏斐波那契数列 本节课重要内容有：（一）斐波那契生平简介；（二）斐波那契数列简介；（三）斐波那契数列的应用；（四）斐波那契数列性质；（五）斐波那契数列与生物；等 其中波及大量图片、动画等资料，老式方式就很难实行，而用了信息技术效果就较好。2、整体性：一节课要用信息技术，究竟什么地方用，用多少，如何用，要从这节课的整体考虑，计算机作为有效的辅助认知工具是为教学服务的，要把它用的恰到好处。老式教学的优势应当保存，如教师的示范作用、教师与学生之间富于人情味的及时交流，教师组织起来的探讨问题的活跃氛围等等。抱负的教学应当是把教师与计算机的优势同步充足发挥出来，把计算机

59、辅助教学与老式教学完美地结合在一起。为此就需要教师全新的教学设计。教学设计应遵循的原则，我们觉得应当是“优势互补”的原则，既发挥计算机的优势，又发挥教师的主导作用。一句话能阐明白的，一种教具能演示清晰的，不一定非用计算机演示。全新的教学设计并不是和老式的教学对立起来，而是把几方面的优势更好地结合起来。案例2：周期现象本节课采用的教学手段为多媒体辅助教学但根据内容需要，在每一部分采用了不同的方式；第一部分采用ppt演示大量的图片、动画、音乐；学科方面：循环数列；化学元素 ；交流电 ； 圆周运动、单摆、弹簧及简谐振动等； 人体方面：智力、情绪、体力周期 ； 人在一天中的身高、体温等的变化；心脏跳动

60、 ； 血液中的药物浓度问题 ；毛发的生长周期；自然界的：天体运动 ；时间方面的周期问题；地壳运动； 潮汐问题；日出日落时间（升降国旗）；候鸟迁徙；其他：音乐中的周期；课程安排、电视节目；经济方面；交通方面； 第二部分采用了一种数学软件，用函数图象拟合数据解决问题；第三部分用几何画板演示摩天轮的转动及相应函数图象。下面是本节课教案的一部分：教学过程：一、周期现象展示1展示学生提交的周期现象，由课前列举周期现象较丰富的学生代表发言，其他学生观测、思考2教师根据学生发言，作合适补充，分类、总结（用ppt演示）二、问题研究1研究问题一：时间方面的周期问题（1）简介某些时间中的周期问题，如：秒、分、小时

61、、天、周、月、年；（2）简朴简介干支记年法，推算是 年（天干地支）；（学生讨论、发言）（3）提出问题：谁懂得自己出生日是星期几？过生日时的星期数与你出生时的星期数相似，你遇到过吗？这一现象有什么普遍规律？（如间隔时间与否相似、每个人的规律与否相似等）（此问题留给学生课后思考、研究）3、实践性：中学数学课堂应用信息技术，不应仅仅是教师演示，学生看大屏幕，根据实际状况应注重学生动手操作，固然也要注意，学生的活动不应理解为全堂上机，不应忽视书面体现和口头交流，不应忽视阅读、计算和证明，同步学生的活动不应是学生的自由活动，一节课过去了，学生敲了半天计算机，却收获不大，应当是紧紧环绕教学目的，精心设计学

62、生的活动，使其对知识的理解、措施的掌握更深刻。案例3：函数y=Asin(x+),(A0,0)的图象 本节课要研究的问题是学生不好掌握的内容，学生单看教师演示很难深刻理解，因此，专为本课设计了课件，下面是本课教案的一部分：授课方式：基于网络的数学教学，学生人手一机，既可以看教师演示又可以自己操作。使用课件：专为本课设计制作的课件。教学目的：1、通过“数学实验”让学生在研究中学习，培养学生从具体到抽象，从特殊到一般的逻辑思维能力和归纳总结的能力。 2、使学生掌握函数y=sin(x+),(0,0)的图象及其变换。教学重点、难点：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种图象变换之间的不同。教学设计、过程

63、：一方面教师简要简介课件的使用措施，提出问题和研究建议，提示学生注意数形之间的关系：在参数变化过程中图象相应发生如何变化。主窗口 对参数、赋值，演示相应函数图象。让学生通过课件对参数、赋值观测图象，初步理解参数、，并思考下列问题:（问题一）参数、各对函数图象有何影响?解释提问学生回答后，教师运用“广播”方式演示并解释此问题，点击解释打开子窗口一：子窗口一：影响图象最高点最低点与平衡位置的距离；：影响图象的周期；：影响图象水平位置。当函数y=sin(x+),(0,0)，x0,+)表达一种振动量时，就表达这个量振动时离开平衡位置的最大距离，一般把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T=，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数，它叫做振动的频率；x叫做相位，叫做初相（即当x=0时的相位）。练习:函数y=sin(x +)的振幅是 ，周期是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 。（问题二）函数y=3sin(2x+)图象是由函数y=sinx图象经如何变换得来的？并总结此类变换的规律。解释要回答此问题应先弄清晰下列问题：函数y=sin(2x+)图象是由函数y=sin(x+)图象如何变换得来的？ 函数y=sin(2x+)图象是由函数y=sin2x图象如