非稳态导热习题

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1、第三章非稳态导热习题例一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换 热和辐射换热的方式全部损失于室内。电热器表面和周围空气的平均 对流换热系数为h,且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地 板的温度相同，均为tf。电热器假定为均质的固体，密度为 p,比热 为c,体积为V,表面积为A,表面假定为黑体，因其导热系数足够 大，内部温度均布。通电时其温度为t。试写出该电热器断电后温度 随时间变化的数学描述。解根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。电热器以辐射换热方式散失的热量为：r A(T4 Tf4)(1)以对流换热方式的热量为：c hA(T Tf)(2)电热器断电

2、后无内热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于 电热器能量的减少。若只考虑电热器的热力学能cVdTd(3)因此，相应的微分方程式为:A(T4 Tf4) hA(T Tf)cVd初始条件为：好0, t=b(5)上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。例电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为tf的周围空气之间的 平均对流换热系数为h,且为常数。试求该保险丝通电后温度随时间 的变化规律。解根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法 处理。保险丝表面以对流换热方式散失

3、的热量为：*c hA(T Tf)(1)保险丝的内热源为：Q0=IR2(2)式中：I 保险丝通过的电流，(A);R保险丝的电阻，Qo根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。若只考虑保险丝的热力学能dTc Qo cV - d(3)因此，相应的微分方程式为：hA(T Tf) I2R cVdTd(4)$初始条件为：=0, t=tf(5)上述两式即为该保险丝通电后温度随时间变化的数学描述。“I 2R令 t tf 褒，则上述微分方程改写为hAcV dhA d(6)该微分方程的解为hA一exp( ) o exp( BiFo)(7)cV以温度t表示该解I-R) exp(hA由

4、初始条件好0,to= tf，该式可写为tf 史1 exp( f hA(9)上式即为该保险丝通电后温度随时间的变化规律,从中可以看出内热源对保险丝的温度变化的作用。例一块厚10 mm的纯铝板置于温度为10 C的空气中，铝板和空气之间的平均对流换热系数 h=10 W/(m Bi,可用集总参数法计算。 - K),且为常数。求该铝板从100 c降到20 C所需时间及当时的热流密度。解求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则 Bi的数值，确定是否能采用简单的集总参数法。查取铝的物性参数，密度 尸2702 kg/m3,比热容c=903 J/kg,导热系数足237 W/(m K)。Bi hVA100.01 A23

5、7 2A2.1110 4(2)/ hA 、exp()cV(3)10 2A2010(10010)exp( )27029030.01 AT2680 s铝板从100 c降到20 C时，铝板的表面温度，空气温度，铝板和空气之间的平均对流换热系数 h均为已知，因此热流密度可用牛顿 冷却公式计算。q=h( t- tf)=10 x (200)=100 W/m2(5)例 用球形热电偶接点作动态温度测量时，对热电偶的响应速度有一定要求。现要求一个初温为t。的球形热电偶与温度为tf的被测流体接触后，在1 S内所指示的过余温度比 一 匚工 95%。现有一 0 t 0 t f铜-康铜球形热电偶接点，它与被测流体之间的

6、对流换热表面传热系数h=50 W/(m 2 - K),且为常数。试求该球形热电偶接点的最大允许半径r0o解求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi。查取铜的物性参 数，密度(=8954 kg/m3,比热容c=384 J/kg,导热系数 F398W/(m K);查取康铜的物性参数，密度 尸8922 kg/m3,比热容c=410J/kg,导热系数F22 W/(m K)。球形热电偶接点是这两种材料的熔化物，因此取平均值，密度尸8938 kg/m3,比热容c=397 J/kg,导热系数 F210 W/(m K)Bihr。50rO2T0(1)因半径r。未知，比渥准则Bi的数值无法计算。但可假定Bi,先用集

7、总参数法计算，然后进行较核。exp(hA )(2)0.95 exp(504024 r38938 397-1), 4.20610 5、exp()0r0= x 104 m校核, Bi hr0 巴冬0.1 210(5)因为比渥准则Bi ,上述分析计算合理。讨论：求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi, 一旦Bi,就可以用简单的集总参数法计算，但是 Bi数值的确定需要先知道定型 尺寸的数值。本题中定型尺寸的数值是所求对象，因此只能先假定 Bi,能用集总参数法计算，计算完后需要根据算出的定型尺寸校核 集总参数法的应用条件Bi是满足的。例某种电路中所用的保险丝的直径为 0.5 mm长20 mm,导热系 数

8、 后20 W/(m K)热扩散率a=5Xl05 m2/s,电阻为Q,熔点为900 C。 如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为20 C的周围空气之间的平均对流换热系数为10 W/(m2 - K),且为常数。试确定该保险丝通过2A的电流后多少时间会熔断。解该保险丝因其导热系数较大而直径很小可视为温度均布的 细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。瞬态导热问题先计算比渥准则Bi的数值。BihVA1020U 0.1dl根据解析题,tf富1exp(代入具体数值90020”1exp(200 dl )(3)5 d2l / 4510 5880= xi041-exp)例 将直径为30 mn初温

9、为20 C的生红肠放入温度为180 C的 烘箱中烤熟。假定生红肠的密度午960 kg/m3,比热容c=5000 J/kg,导热系数 层W/(m K),仅考虑由于对流换热的加热量，红肠和烘箱 中空气之间的平均对流换热系数为 30 W/(m2 - K),且为常数。试求 生红肠放入烘箱中10 min时红肠的中心温度。解红肠可视为细长圆柱体。瞬态导热问题先计算比渥准则Bi的数值。r hV 300.03 2 / 4 l Bi 0.1A 0.90.03 l因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图(海斯勒图) 的方法。BiFohR300.015” 0.50.90.9600-220.5查计算线图(海斯勒

10、图)得cR 960 5000 0.015tm 180m0.5620 180解得生红肠放入烘箱中10 min时的中心温度tm=90.4 C例 直径为400 mm 初温为20 C的钢棒放入温度为600 C的炉 中加热。钢棒的密度 尸7833 kg/m3,比热容c=465 J/kg,导热系数 Q54 W/(m K),仅考虑由于对流换热的加热量，钢棒与炉中气体之间的 平均对流换热系数为130 W/(m2 K),且为常数。试求钢棒中心温度达到400 C时所需的时间，并确定此时钢棒的表面 温度。解钢棒可视为细长圆柱体。瞬态导热问题先计算比渥准则Bi的数值。A 540.4 l因此本题不能用集总参数法计算,只

11、能用查计算线图（海斯勒图）的hV 130 l 0.42 / 4Bi 0.1方法。0.4814r hR 1300.2Bi 54钢棒中心温度达到400 C时,400 600206000.3448查计算线图（海斯勒图）得Fo准则的数值为Fo 1.3cR2547833 465 0.223.706104解得钢棒中心温度达到400 C时所需的时间=3508 stR 600400 6000.79(6)解得此时钢棒的表面温度tR=442 C例截面为1 m X 1 m的耐火砖方形长柱体，初温为 20 C,与600 C的高温烟气接触，仅考虑由于对流换热的加热量，柱体与燃气 之间的平均对流换热系数为20 W/(m2

12、 - K),且为常数。耐火而专的密 度 f2000 kg/m3,比热容c=960 J/kg,导热系数 后W/(m K), 试求耐火砖柱体与烟气接触120小时时方柱体的中心温度。解瞬态导热问题先计算比渥准则 Bi的数值。0.1、 hV 2011 lBi A 1.0741 l因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图(海斯勒图)的方法。方形长柱体的导热是二维导热问题,可用两个壁厚相同的无限大平壁的解的乘积求得。h 200.5Bi 9.3461.070.9631.07432000Fo 22C 22000 960 0.52再查计算线图(海斯勒图)得m 0.180因此,方形长柱体中心的过余温度比0.

13、18Lm 600？0 18tf 206000 ：最后解得120小时时方形长柱体的中心温度tm=581.2 C例一块厚300 mm的无限大钢板密度(=7753 kg/m3,比热容c=486 J/kg,导热系数斤36 W/(m K)初温为900C ,突然置于20 c 的空气气流中，空气和钢板间的对流换热系数为 400 W/( m2 - K)。求 钢板表面温度达到200 c时所需时间。解瞬态导热问题先计算比渥准则 Bi的数值。Bi hVA400 0.3 A362A0.1因此不能用集总参数法,只能用查计算线图(海斯勒图)的方法。由于中心温度未知，不能用含有傅立叶数 Fo的第一张图直接查时间，只能先用第

14、二张图确定中心温度。Bi4000.151.66736200tm200.5420解得中心温度tm=353.3C接下来用第一张图，Bi-1=,中心处的过余温度比353.3 20900 200.3788 ,查得傅立叶数F。Fo=3627753 486 0.15 2最后解得钢板表面温度达到 200c时所需时间 =2255 s例一钢锭加热到400 C,浸在100 C的水中冷却。钢锭的密度尸7753 kg/m3,比热容 c=486 J/kg,导热系数 =36 W/(m K)。试求3 min后深度为5 cm处的温度。解水沸腾时对流换热系数很大，若忽略钢锭表面的对流换热热阻，本题可视为半无限大物体在恒温边界条

15、件下的温度分布问题。相应的温度表达式为erf(0 w热扩散率t(X, )100400 100a=入 / =36/(7753 X 486)= X610erf( 竺5)erf(0.6029)=0.6061(2)2x9.55410 6180最后解得3min后深度为5cm处的温度t= 281.8 C.例若将一以余弦函数形式的周期性温度变化加在一块很大的钢筋混凝土表面，使其温度由35 c变化到90 C的一个完整循环需要15min。钢筋混凝土的密度(=2400 kg/m3,比热容c=840 J/kg,导热系数后 W/(m K)试求温度波动2小时后，距表面5cm处的温度。解本题可视为半无限大物体在周期性变化

16、边界条件下的温度分布问题。根据已知条件，温度波动幅度A=(90-35)/2=27.5 C温度波动周期T=60 乂 15=900 s相应的温度表达式为(x, )Awexp( x20.05J 3.14 1.54 2400 8403.37990050.243.3790.8914 (3)46.81 =温度波动2小时后，距表面5cm处的温度(0.05,7200)27.5 exp( 3.379)cos(2682.02)= t-tmtm =(tmax+tmin)/2= (90+35)/2=62.5 C因此解得温度波动2小时后，距表面5cm处的温度t=61.61 C例 根据半无限大物体在周期性变化边界条件下的温度分布公式，试确定在表面和深度为x处温度最大值的滞后时间。解半无限大物体在周期性变化边界条件下的温度分布公式如下：(x, ) Awexp( xT)cos( jxJOT)(1)深度为x处温度出现最大值时，cos(:x匚)1,即T aT2在x=0处，吞0/2在x= x处，