小学数学业务学习

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1、用研究的心态面对每一堂课今天的新课程改革，已越来越强调理念向实践转化，课程向教学转化，教材向教师转化。在转化过程中，教师的平常教学势必会遇到形形色色的新问题，浮现多种各样的新矛盾。面对这些问题与矛盾，需要教师以研究者的姿态出目前教学实践的情境中，通过研究分析问题、破解矛盾，使教学实践呈现出新的状态和水平。把研究作为生存的方式教师不只是教学者、学习者，同步还应当成为一种研究者。教师要实现自己的专业发展，成为一种专家型的教师，仅仅靠自己原有的知识是远远不够的。信息化时代的到来和教育教学改革，都规定教师不断更新自身知识构造，转变一味向学生传授既定知识的做法，通过学习赋予教学新的元素，实现与学生的结伴

2、成长、共同发展。此外，教师在教学中遇到的新问题、新矛盾，几乎都没有现成答案。专家能提供的是有关解决问题的一般结识，但很难提供解决问题的具体措施。教师只有拿起研究的武器，实现由实践者向研究者的转化，才干切实形成解决问题的新思路，找到破解矛盾的新措施。在这种状况下，学习、教学、研究已经成了教师生活中不可或缺的部分。学习与教学并驾齐驱，教学与研究双向互动，学习与研究互相增进，成为教师职业存在的新方式。把问题作为研究的起点教师的教学研究与专业研究有着主线性的差别。它自始至终是在教学现场进行的，是以教师自身为研究主体的，是以解决实际问题为指向、以改善教学实践为衡量原则的。在平常教学中，难免会存在这样或那

3、样的问题。这些问题因其新颖性、不拟定性、复杂性等完全有也许成为研究的对象。例如，一位教师对二年级数学有关概率的初步结识“也许、一定”进行教学时，作了这样的教学设计：先让孩子们从装有3个黄球和3个白球的盒子里摸出一种球，让孩子们感受“也许”也许是黄球也也许是白球；然后再让孩子从装有6个黄球（没有白球）的盒子里摸出一种球，让孩子们感受“一定”一定是黄球，不也许是白球，并且告诉孩子们如果能摸出白球的话有奖。没想到，在实际教学中，当第二个孩子摸出黄球后，第三个孩子回绝再摸，而是说出了这样一番话：“我肯定这盒子里所有都是黄球。第一，您怕同窗得到奖品在课上玩。第二，这奖品是买来的，您后来还要用。”这番话让

4、教师很是意外，也引起了教师的思考：学生对教师的行为进行质疑，甚至是伦理上的怀疑了。我们总说，数学要联系学生的生活世界，但什么样的联系才是自然而然的，什么样的联系是有也许弄巧成拙的，解决这些问题就成了教师研究的起点。把反思作为常用的措施平常教学中的研究虽然也会偶尔波及记录、测量、问卷等措施，但对于教师来说，最常使用也最便于使用的措施还是教学反思。偶发的教学反思并不困难，但将反思作为一种研究措施来改善教学，则需要教师持之以恒，直至找到解决问题的途径。在今天来看，对教师教学协助较大的是专项性的反思，小题大做的反思，及对比鉴别式的反思。这样的反思集中关注教学中的某一种突出问题，通过不懈摸索，理清思路，

5、澄清结识，从而提高教师的实践智慧。例如，一位教师注意到，在学习“互质数”这部分知识时，学生有这样的错觉“5和9都是互质数”；学习了长方形的面积计算措施后，学生常常会用“长宽”来求长方形的周长等。这些错误属于哪些知识类型，在什么状况下会浮现，错误对于教学有哪些协助？教师通过对这些问题的思考与分析，就为把错误转化为教学资源提供了根据。把重建作为改善的途径反思自身并不是目的，反思后的重建同样至关重要。在教学反思中，教师需要在稍纵即逝的教学现象中发现问题，捕获课堂教学中貌似没有问题的问题，与此同步，还要着力去思考解决问题的措施，并且在后续的教学中加以摸索与尝试。这样，反思才干真正为教学服务，教学也才干

6、在研究中走向新形态。前面提到教孩子有关概率初步结识的那位教师，结识到需要在课堂上避免让孩子对教师产生伦理怀疑，但她又不想放弃让孩子摸出白球有奖的设计。在后续平行班的教学中，她进行了这样的重建：她到学校背面的小商店里拍了一张像片，小商店的货架上是琳琅满目的商品。开始上学时，故意不穿外套。到“有奖摸球”前，穿上外套，投影那张像片。然后说：“我是这个商店的老板，你看我这里有吃的，有喝的，有玩的，还能摸球得奖呢！”然后，组织学生摸球当孩子们说教师不让学生摸出白球“坑人”的时候，教师把外套脱了，说：“同窗们，教师来了，你有什么话想说？”一件外套，将教师保护了起来，还原了此类游戏的本来面目。教师备课的过程

7、，很大限度上就是反思自身教学中存在问题，甄别问题产生的因素，并思考后续教学如何重建的过程；而上课的过程，就是把解决问题的设想加以实现的过程；说课、评课的过程，是重新思考教学中存在的新的、更高层次的问题，并致力于寻找解决问题对策的过程。教师平常教学成果的体现形式并不是撰写学术论文，而是记叙自己教育教学经历的日记、叙事、案例、课例。教学日记反映教师在教育教学中的实际状况，思考了教学中需要把握的重要问题；教叙事描述了教师教学中遇到的典型事件，分析这些事件的启示意义；教学案例体现的是教师在教育教学中真实发生的典型性的疑难事件，呈现教师在解决典型问题上的典型经验；教学课例是以某一节课为分析对象，以教学设

8、计、教学进程、教学反思三部分为基本构造形式，将新课程的教学理念转变为教学实践的全过程展示出来。（作者为华东师范大学教育学系专家、博导）聚焦小学数学系列九：积极应对学科知识新挑战全日制义务教育数学课程原则（实验稿）第一次将平移、旋转、中位数、众数、也许性等内容纳入小学数学课程，对小学数学教师的数学素养提出了更高的规定。在教学实践中，小学数学教师本体性知识欠缺的问题逐渐暴露出来。“要给学生一杯水，教师就要有一桶水”的观念通过一次又一次的实践证明，再次成为数学教育界的共识。由于过去的师范教育中没有设立解析几何、概率论等课程，诸多小学数学教师历来没有接受过“图形变换”与“记录和概率”等知识的系统培训。

9、尚有某些教师，过去虽然学习过有关课程，但由于没有机会再次接触，久而久之，逐渐淡忘。如下的这些教学片断就表白仍有相称一部分教师的数学专业知识构造不能完全满足新课程的规定。片断1教师给学生举出某些生活中常用的旋转实例时，举了房门开关的例子。（事实上，中小学数学中波及到的图形变换都是在同一平面内讨论的，教师应当意识到两种“旋转”有着本质的区别。）片断2教师引导学生观测方格纸上一种轴对称图形的特点时，总结出“对称轴的两边共有五组相应点，每组相应点的连线和对称轴垂直且到对称轴的距离相等”的结论。（看似精确的结论却在不经意中传达给学生一种错误的信息：对称轴两边只有五组相应点。这仅仅是一种口误，还是教师缺少

10、应有的数学敏感？）片断3在“数据收集”一课中，教师让学生以小组为单位，调查听课的几十位教师分别喜欢什么小动物。小构成员分别找了某些教师进行调查，然后把调查成果在小组中汇总。（热热闹闹的小组合伙学习方式难掩教师记录知识的单薄，由于同一小组的若干名学生对几位坐在前排的听课教师进行了反复调查，汇总后的成果并不能精确地反映实际状况。对此，执教者竟浑然不觉。）从以上案例可以看出，如果教师缺少深厚的数学功底，全面培养学生的数学能力就只能是一句空泛的标语而已。因此，需要通过多渠道的学习和培训让小学数学教师尽快补上这一课。一方面解决“教得对不对”的问题，再解决“教得好不好”的问题。一方面，教师需要不断提高自己

11、的数学修养，以更高的视角来看待小学数学的内容，即“高处着眼”。另一方面，由于我们的教育对象是小学生，教师又应以一种平易近人、通俗易懂的方式呈现数学知识，即“低处着手”。有了“高处着眼”，才干高屋建瓴，统揽全局。但若没有“低处着手”，就不能化繁为简，寓教于乐，培养学生的数学素养和数学精神更无从谈起。厚积方能薄发。小学数学课程的内容虽然相对简朴，但同样蕴含了丰富的数学措施、数学思想和数学文化。要使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，教师一方面要具有丰厚的数学知识、夯实的数学技能和成熟的数学思想。只有这样，才干以一种宏观的、联系的、发展的观念去看待

12、数学，而不拘泥于局部的、零散的、静态的结识，才干从更高更广的角度理解“数学是什么”、“小学生应当学习什么样的数学”等问题，才干在实行教学时信手拈来，游刃有余。一方面，要及时补充与小学数学内容直接有关的数学知识。规定教师对数学的每个分支都进行进一步研究并不现实，也无必要。但对基本内容和核心思想进行全面的理解，还是很有必要的。教师以何种高度看待小学数学内容直接决定了能否把课上出“数学味”来。另一方面，要关注数学学科的最新发展动向。数学是一种不断发展着的学科，理解数学的发展历史、目前的发展状况以及将来的发展方向，对于教师理解数学的思想和文化至关重要。教师只有理解这些前沿信息，才干以数学自身的旺盛生命

13、力和内在魅力吸引学生不断摸索未知世界。进一步还需浅出。由于小学教育的特殊性，教师除了具有厚实的数学功底以外，还要拥有将这些抽象的数学知识转化为生动活泼的“小朋友数学”的能力，在课堂上以最朴素、最简洁、最直观、最易于理解的方式来呈现数学知识，化平凡为神奇，寓大道于最简，让学生真正体会数学的有趣，从而自发地产生亲近数学的愿望。在素材选用、活动设计等方面，只有充足考虑学生的发展水平，才干为学生提供一种科学性、严谨性与通俗性、趣味性相统一的数学教育。“高处着眼，低处着手”，不仅是对小学数学教师的规定，更是全体数学教育工作者应努力达到的共同目的。所有数学教育工作者，涉及理论工作者、课程设计者、教材编写者

14、、教研人员、教师，都需要不断修炼内功，提高数学修养，以适应不断发展的数学教育的需要。同步，又应当以一种“低姿态”来提出教育理论、制定课程原则、编写教科书、设计教学。正如武侠故事中所描述的：“练拳不练功，到老一场空。练功不练拳，犹如无舵船。”如果各个层面的数学教育工作者都能既练好“功”，又练好“拳”，我们的数学教育就能少一分功利与浮躁，多一分平实与和谐。（作者为人民教育出版社小学数学室编辑）聚焦小学数学系列十：仅让学生学会解题是不够的-追寻积极向上的数学教学目的数学是义务教育阶段的基本学科。之因此是基本，一方面是由于所选内容是每一种人在社会生活中必备的基本知识和基本技能；另一方面，还由于所学内容

15、是后续学习的必要基本。然而事实上，在数学学习的过程中存在着大量的“解题”，本该布满基本性的数学学习往往被沉没在题海之中。我们究竟该如何辨析解题与数学学习之间的关系？如何全面考察学生学习数学的目的价值取向呢？解题不可见题发挥“解题”这个概念自身就值得探讨研究。解题是小学数学学习的重要构成部分与重要途径。我们不必讨论数学教学要不要解题，要解多少题，而是要研讨解什么样的题，如果都是“好”题，自然非常必要。如果再追问如何的题才算好题，那更是需要研讨的了。数学学习与解题的关系显然不能一概而论，需要谨慎分析。一味摒弃解题，也许导致学生数学水平的减少；一味主张解题，进行题海战术，无疑会加重学生的承当。“解题

16、”这样的老式话题值得进一步细致研究，研究“解题”是减轻学生学习承当的重要途径。我们不能以减轻学生承当为名义对数学题妄加指责，而使数学学习趋向另一种极端。记得曾有多位文化名人对数学题“有一种水池，单开进水管，注满水池要5小时，单开出水管放完一池水要8小时，如果同步开两个水管，几小时能注满水池？”大加指责。其实这种批评是值得商榷的，由于这样的数学模型在现实生活中比比皆是。农田的灌溉，通过a田灌溉b田，影院进场和出场同步进行，飞行工具能源的耗费与输入等，都是这种情境。不可否认，合适的解题是数学学习不可或缺的构成部分，特别是那些富有现实性、趣味性、基本性、挑战性的问题理应成为学习数学的重要内容。但让人

17、遗憾的是，平常教学中也许绝大多数的“解题”还是相称的程式化、机械化，难免让学生觉得枯燥乏味。数学学习要注重提高素养承认“解题”对数学学习的作用，并不是无限制地扩大它的价值，毕竟解题只是数学学习的途径与手段，绝不是数学学习的终极目的。在新课程背景下，许多学者呼吁从关注“双基”到“四基”，数学学习的目的在于掌握必需的基本知识和基本技能，积累丰富的活动经验，体悟数学的基本思想。数学学习不只是解题，在学习的过程中还将学会观测，学会思考，学会体现，学会书写，学会合伙。出名特级教师张天孝研究小学数学教学50年，她有一种治学心得是：“让学生在学习中学会学习，在思考中学会思考。”这正是对数学学习目的的精辟提高

18、。如果以上的表述并不具有数学学科的特点的话，那么加上一种定语让学生用数学的眼光进行数学思考。例如，百货店的促销信息，人们不仅会关注哪个折扣低，还会关注标价的高下。美国记录学家戴维S穆尔的记录学的世界一书中有幅漫画，画的是一种人误觉得平均水深就是每一种地方都是这样的水深而溺水死亡，从侧面反映了数学常识在现实生活中的作用。数学地思考，是数学学习的更高目的。数学学习过程中所倡导的思考方式是具有学科特点的。看到下面的图1时，别的学科也许关注的是这幅图是多么的美观，但是对于数学学习来说，教师需要引导学生关注这个图形的构成与分解，引导学生思考的是多边形线的条数等。这种量化、精确化的思考方式是数学教学最主线

19、的目的价值所在。数学要增进人的全面发展数学教学不只是为了数学。作为义务教育阶段的基本学科，数学学习的时间也是学生全面发展的时间。按每天1节课的时间计算，学生接近1/6的在校时间是在学习数学中度过的。这就规定数学教学不能仅限于教学数学，应当真正为人的长远发展服务。如何与人合伙，如何在小组内体现自己的见解，如何研究问题，学会分类，学会从多种现象中归纳出特点，学会从一种事件类比到另一种事件。学会学习，学会思考，学会与人相处，这些都是数学教学的目的所在。把德育蕴含在数学学习中，其实大有文章可做。如下面的运营图为例。看完图，学生一般会作出这样的评价：阿明很贪玩，在商店买零食，到游戏机房玩游戏机，到邻居家

20、逗留，最后才回家；阿芳很乖，放学就回家了；阿强丢三落四，回家后发现作业本没带又回去拿了。这时，我总讲八个字：仁者见仁，智者见智。学生的思维立即发散了：阿明到商店买学习用品，发现游戏机房有同窗在，她过去劝阻，邻居家有小妹妹或者老奶奶要照顾，阿明很懂事；阿强回家后下雨了，想起学校的教室窗户没有关又回去了，是个爱集体的好学生。在同一节课上，1分钟前后有截然不同的体现。这种体现已经不再是对数学信息的解读。为什么解读不能先从好的角度开始呢？同一种现象，从不同的角度看，所感悟到的是不同样的。乐观、积极、向上的情感态度，看待事物的多元视角是教育的本性诉求，数学教学也是如此。数学教学的评价需多元化数学教学不只

21、是解题，也不只是教学数学。因此在评价数学学习目的的达届时，显然不能用简朴的“会不会”来评价。在学习的过程中，教师还要考虑与否渗入了数学的措施，与否在学习的过程营造了学生之间良好的合伙氛围，与否促成了学生学习数学的积极情感、态度，与否为后续的学习积累了丰富的活动经验，与否为形成数学的基本思想积存了感悟。例如，“乘法的结识”一节，当面对一种情境列出诸多不同的连加算式时，教师可以引导学生把算式分为两类，一类是算式中的数全相似，另一类是算式中的数不全相似。有了这样的分类，再引导学生把算式中数全相似的一类写成乘法的形式。在这个过程中，数学学习不再只是为了学会乘法算式怎么写、怎么读，而是让学生从不同的算式

22、中通过自主分类，概括出乘法算式的意义。同步，在分类的过程中，如果把所有的算式分为两类，一类是“数全相似”，另一类是“数不全相似”，可以做到不重不漏。对于这个学习过程来说，教学的价值并非仅仅为了结识乘法算式，而是学会数学的基本措施分类，从而归纳同类算式的特点，然后用语言概括出乘法的意义。再例如“平均数”的教学，在联系现实生活情境时，面对一种公司平均工资为1000元和另一种公司工资众数为1000元的两个公司，作为一种刚毕业的大学生该如何择业？一方面可以考察学生对平均数的理解，理解平均数并不是代表这个公司的每个人的工资都是这个数；同步，也可以反映学生出对自身素质的定位和面对生活的态度。全面的、科学的

23、数学学习评价，应当不限于对数学学习内容的评价，还应当关注学生的学习与否快乐，与否对内容有爱好，与否对数学产生了积极的情感。大而言之，在数学学习的过程中，还渗入了一种潜在的理性精神和积极的人生价值观，这或许是数学学习真正“以人为本”的体现。中国教育报2月13日第6版聚焦小学数学系列十一：什么是真正“用教材教”“用教材教”就是用好用活 活用教材在一次“同课异构”专项教研活动中，位教师分别执教了苏教版小学数学“用一一列举的方略解决问题”这一内容。教材安排了两个例题，例是“王大叔用根米长的栅栏围成一种长方形羊圈，有多少种不同的围法？”例是“订阅科学世界、数学乐园和七彩文学杂志，至少订阅种，最多订阅种，

24、有多少种不同的订阅措施？”现场教学中，共有位教师把例和例的素材进行了改编，把例的素材改为王大叔“围花圃”，例的素材改为王大叔“选花苗”，只有一位教师沿用教材进行教学。听课的教师觉得后一位教师的例题素材与众不同，是对教材进行了改编，而前4位教师如出一辙的改编却被觉得是教材的本来编排。改编的教材“反仆为主”尴尬了谁？仔细研读教材，我们不难发现，两道例题注重选用有趣的、有现实背景的素材，旨在调动学生解决问题的积极性，同步激活学生已有的生活经验和数学活动能力。以例为例，“订阅杂志”与“选种花苗”，哪个素材更贴近学生的实际生活？更容易唤起学生的爱好和经验？显然是前者。位教师在改编教材时只注重从“教”的层

25、面，觉得用“围花圃”和“选花苗”的情境，容易组织教学内容，有助于教师进行教学，这折射出教师“以教为中心”的教学设计价值取向。教师如此热衷于改编教材，一方面阐明新课程背景下教师对于“用教材教”意识的提高，另一方面也阐明教师对教材结识的形式化和表面化。在实践中，教师该如何真正贯彻“用教材教”呢？在我看来，“用教材教”至少涉及3个层面的含义，即用好、用活与活用教材。用好尊重教材笔者曾经读过一种教师的备课反思：“虽然我每天课前都备课，但对教材挖掘得很不够。诸多时候，在解说某一种知识点时，忽然想起了尚有此外一种内容应当补充，但由于事先没有准备，只得课后查阅完再补充。该趁热打铁的时候教师没词了，这是多么尴

26、尬的事啊！”这是常态课堂中部分教师呈现出的真实图景。课前“吃”不透教材，课堂上徒留遗憾与尴尬。因此，读懂教材是教师必备的基本功，读懂教材是使用教材、有效教学的基本。如何“吃”透教材、读懂教材？具体到一节课，教师要从如下个方面入手研读教材：理解教材整体构造及前后联系，明确例题的地位和作用，弄清习题与例题的关系，揣摩插图的编排意图，钻研提示语和旁注。做到“五读俱全”，即读懂问题情境，读懂每一道习题，读懂教材内容的构造，读懂教材的呈现方式，读懂教材的旁注、留白。教学离不开教材，“用教材教”的第一层含义就是要用好教材，精确把握教材的编写意图，在教学中力求还原教材编写的本意，进一步感悟教材资源，实现教材

27、自身价值的最大化。用活理解教材用活教材，就是以教材作为原型和范例，在依托和尊重教材的基本上，根据实际需要对教材进行适度的拓展和延伸，挖掘教材资源的深层价值，最大限度地发挥教材的功能。点亮教材细节。笔者曾经听过一位特级教师谈自己如何“由内而外地打磨数学课堂”，有时仅仅是在使用教材时“读一遍习题、加两个数据、换三道题目”，这些细节解决没有张扬的技法，有的只是教师对教材的深刻理解、对学情的精确把握。有的教师潜心设计“小动作”，对课堂教学起到画龙点睛的艺术化效果，这些“点睛之笔”源于教师对教学本质的深刻领悟。在课堂教学中，教材细节的开发往往容易被教师忽视。有的教师觉得教材编写已经给出完美的作品，教学时

28、只需搬用就行，她们考虑的大多是用得像不像，而较少思考“有无更好的用法”。其实，许多教材细节还需教师多加推敲，用心揣摩，把教材细节做“亮”。教师备学时要在充足钻研教材的基本上，认真看待教材的每一种细节，赋予教材细节更深的知识内涵和更广的思维空间，让教材细节丰盈课堂，使之可以生发锦上添花、以小见大的效力。弥补教材“空白”。新教材通过游戏、对话、表格和图片等方式呈现教学内容，没有呈现结论，只有学生自主活动的建议和过程中的问题提示，力求为教与学留下尽量大的探究和交流空间。教学的灵活性增长了，教师的选择空间扩大了。这些教材空间给教师教学带来一定的困惑和难度，同步也给主体间的有效合伙带来了良好的机会，让教

29、师在使用教材时有更多的联想意境和发明空间。例如苏教版五年级“小数乘整数”一课，教材对竖式如何引出没给出具体的措施，从而留下了教学空间。教师在使用教材时不妨在此动动脑筋，考虑如何增减教学素材更便于学生感悟到用竖式计算“小数乘整数”的必要。教师要善于在教材的“留白”处挖掘、拓展教材的深度和广度，从而使新课程教材真正成为有效激发学生的学习潜能、引导学生自主摸索、鼓励学生自我实现、不断提高学生数学素养的“有效的信息资源”。开发习题资源。习题在小学数学教材中占很大的比重，如何充足运用课本中的习题资源，开发习题的育人价值是“用教材教”的一种重要方面。数学习题蕴具有知识功能、教育功能和评价功能。在数学教学中

30、，解答习题自身并不是目的。学生一旦开始解题，她就接受着一种思想的训练，从技能、思维、智力、非智力等各方面塑造自己。新教材的习题注重培养学生的分析、综合、判断、推理的思维能力，培养学生解决实际问题能力和对数学积极的情感体验，在编排上注重运用实际情景设计开放性的问题，为教师发明性地组织教学提供了丰富的资源。教师要有习题资源的意识，将教材中的习题拓展为一种个值得学生探究的数学问题，以利于拓展学生的摸索空间，增进学生的合伙交流，让习题增值。活用创生教材新课程的每个学段都规定教师“发明性地使用教材”，但发明性地使用教材并非简朴地变化教材，它是用教材教的最高境界超越教材、活用教材。具体体目前教师对教材有深

31、刻和独到的见解，对教学有独特的思路和设计，可以对教材的绝对权威提出挑战，作出有个性的演绎，面对复杂多变的教育情景及时增删、延展固有观念，发明出有益于师生对话的氛围，使教学活动更加鲜活生动。它规定教师可以站在与教材编写者同样的高度去审视教材，可以读懂学生、读懂教材，谋求学生认知规律与教材编写意图之间的契合，对教材科学合理地整合、重组和超越，使加工后的教材更加丰富多彩，更具实效性、现实性和挑战性，更好地调动学生的积极性和积极性。要发明性地使用教材，教师一方面要成为一部书，一部非常生动、丰富和深刻的教科书。这种专业自觉不仅是外界赋予的权利，也是教师教学生活的内在追求。小学数学要注重长远与长效从整体上

32、把握小学数学，着眼点诸多。要想理出头绪、抓住重点，“放眼长远、注重长效”最重要。放眼长远是核心长远是就目的而言。无论一种人长大后来在不在数学领域内学习或工作，通过数学学习习得的解决问题方略、思维方式、思想措施及运用工具的能力都将发挥重要作用。小学数学课程虽然与高考、就业一类的目的相距尚远，但却是整个基本教育数学课程最重要的部分。因此，小学数学教育应当具有立足长远、放眼长远的功能。然而，现状不容乐观。应试教育的负面作用挥之不去，以缺少节制的“又对、又快、又准”为标志的评价体系，仍在压抑着学生本应生机勃勃的活力。数学多半只在考试中露峥嵘，生活里看不到，工作中用不上，一旦不用考了便会就此再会。这样的

33、数学谈何长远？毫无疑问，数学大有用场。但数学教育有无长远眼光将取决于：我们是不是为孩子提供了哺育爱好、应用、应变、自信、求实、责任、想象和发明的环境。我们是不是挣脱了题型教育、考试教育的束缚，是不是给过孩子自己足够的空间，让她们可以独立地去想一想、试一试，而不是完全按照教师的理解，或是课本上的某个模式去照抄照搬。这些都关乎学生“终身学习的愿望和能力”。数学教育是数学的教育，离不开作为科学的数学。不少前辈多次强调，学数学就要坐得住冷板凳，就要经得起枯燥和抽象的考验。这对专业数学工作者毋庸置疑，但将这样的主张贯之于小学则基本是谬误。板着面孔、与枯燥寂寞相伴的数学难以走进孩子的心灵。注重长效是核心小

34、学数学的长远目的能否贯彻，核心是要为长效提供支撑。有效教学是小学数学教育研究特别热衷的课题。有效教学指教学的成果与预期的教学目的匹配限度高。需要注意的是，“有效”有长、短之分。简朴地说，管长远、能毕生受用的效果就是长效；管眼前、管特殊技能形成的就是短效。依时间考量，长效要长期积累，难于一蹴而就；短效可立竿见影，易在一节课内形成。同步，眼前和长远互相依托，缺一不可。那短效与长效之间的关系是如何的呢？一方面，没有一次次短效的磨炼和积累，长效难以形成；另一方面，某些需要通过高强度、高密度训练才干记住并掌握的定义、定理、公式、算法，注定在人们心里留存的时间不会太久。白天学过的内容，晚上没带书也许就想不

35、起来。然而，摸索、发现这些定义、定理、公式和算法的过程中形成的积淀，运用这些定义、定理、公式和算法解决实际问题的经验和体会倒也许会长远留存。这样的经历多了，积累也就多了，不经意间，往往形成了某些相对稳定的与数学有关的见解，或者说是思路。这些都能长期地驻留在学生心中，并能在毕生的学习、生活和职业生涯中派上用场，成为个人发展的重要支撑点。因此，漠视“摸索发现那些定义、定理、公式和算法的过程”的数学教学，收获的多半是短效，而得来得快、忘得也快的教学大体上是无效的。因此，短效虽然易得，但长效更是核心，短效要为长效服务，要以长效为目的。一方面把“过程与措施”、“情感、态度与价值观”实实在在地纳入有效教学

36、的视野。同步，对以密集型、机械性、速率式、硬指标为特性的教学方略要有个苏醒的结识。练就注重长效的“独门功夫”举“测量”为例。当学生结识了角之后，面对形形色色、五花八门的角，比较大小的问题随之浮出水面，测量成为定量结识角的主题，涉及单位和实测两层含义。一是“单位”，也就是人们都承认的度量单位。小学阶段“单位”的重心在理解和具体感受单位的实际意义，像掂一掂500克一袋的盐、摸一摸0.4平方米的桌面有多大，量量自己有多高，等等。这些看上去没什么“数学味儿”的举动，都是感受和理解单位时不可或缺的尝试。更重要的是，单位自身是规定的成果。公度的必要性和规定性源自人类通过不同途径，长期摸索之后形成的共识，是

37、人类的共同语言。对学生来说，这里有很大的讨论、活动和摸索空间。在教学上下点功夫，能协助学生结识单位的原则作用和平台作用，懂得个别和一般的关系，懂得如何在估计与精确之间作出选择，逐渐结识到数学为什么需要抽象，等等，而这些均有助于学生接近和发现数学的本质，都与长效联系在一起。二是“量”，即如何实测的问题。教学的重心应当从学生自己的经验出发，从“真刀真枪”的问题开始，通过鼓励学生使用自创的工具和单位，逐渐导向规范的工具和单位，引导学生多角度摸索测量的措施，逐渐从不那么正规的测量单位和措施一步步接近直至可以达到科学的测量。测量课应当是用一连串的“为什么”串起来的“发现”课，每个结论的得出都应当随着着学

38、生自己的发现、归纳与整顿。学生不仅要懂得如何量，还要懂得量的措施从哪里来，懂得课本上的测量对象和生活中的测量对象的关系，懂得测量的意义。如果小学阶段仅仅把测量解决成照本宣科的技能教学，只是采用多快好省、照抄照搬、纸上谈兵的方式灌输和训练，就也许挥霍了这一题材的教育价值。如果由于测量不是考试中的重头戏而在教学上敷衍了事，成果就更可怕。学生对数学越来越明显地敬而远之，学习数学的目的越来越趋于实际，多半与此有关。小学阶段的测量，不是单纯的技能培养与训练，而是一块为学生摸索与发现准备的沃土。它提供应学生通过自己的眼和手去发现与结识世界的机会，它能自然地沟通过程与成果之间的联系，能把学生摸索的目光从课本

39、、教室引向生活、社会，能为学生提供实实在在的动手机会，让她们“真刀真枪”地解决几种真正的问题。不仅是测量，小学数学课程中的许多技能，多半会随着小朋友的成长淡淡隐去，而随着着一连串“为什么”发现的规律、道理和措施倒有也许长期留存，成为随着学生毕生的本领。放眼长远、注重长效能否在教学中得到体现，关系到新课程推动的质量。目前数学教学中哪些是要改的，哪些是值得留的，哪些是该适可而止的，哪些是该着力推动的，这一切都将建基于教师的见识和视野，决定着新课程的主张能否践行。原文载中国教育报2月13日第5版聚焦小学数学系列二：别让数学教学沦为解题教学实际教学中，数学教学目的常常被简朴地理解为数学知识的掌握。以知

40、识掌握的数量和牢固限度作为唯一原则的教学评价，引导着师生对知识的单一追求。为了便于学生理解和接受，抽象、严谨且具有广泛应用性的数学知识常常被教师们分解为一道道数学题，解题成了数学教学活动的重要构成部分，引导学生解题成了数学教学的一种重要形式和手段。理论上，所有人都懂得数学的教学目的是多元的，远不只是掌握知识和解题那么简朴。然而，具体到教学一线，教师们总但愿能抓住某些有形的、易于测量的东西来操作。于是，解题成了一线教师教学评价的抓手。的确，面对一道数学题，学生能否调用有关的数学知识来解决，可以折射出学生有关数学知识的掌握状况。学生能灵活调用数学知识来解决有关的问题，也体现为数学能力。于是，解题就

41、成了教师衡量学生学习水平的重要标尺，学校也通过编写试卷，让学生解答批量的数学题来呈现学生的学习状况，理解、检查教师的教学。说究竟，还是评价的导向在起决定作用。如果高考的影响力及其指挥棒的作用、考试评价的方式一天不变化，教师和学生们追逐成绩、把解题能力当作数学教学最高目的的现状也将很难变化。华罗庚说过：“学数学不做题目，等于入宝山而空返。”这阐明，数学教学离不开解题，但是解题只能作为数学学习的重要途径，而不是数学学习活动的所有。数学教学对解题的依存关系体现为：数学学习过程需要解题这一重要的手段。解题作为数学学习过程的重要手段，其作用可以归结为如下几点：一方面，解题过程引导学生逻辑思考。许多数学知

42、识之间的关系非常严谨，知识的来源、结识、理解和掌握蕴含着严谨的推理、推断过程。这一过程往往是通过解决一种个数学问题来完毕的。数学解题过程是若干数学知识的综合调用和一系列逻辑推理的组合，是一项重要的数学思维活动。因此数学解题过程成了数学学习活动的重要构成，成了一次次逻辑推证的过程。另一方面，解题是引导学生有环节地走进数学的过程。数学知识自身是一种逻辑链，数学知识被分解为一系列有关联的问题，数学教学就是通过这些问题串，以旧引新，层层进一步，引导学生逐渐走进数学的内核。再另一方面，数学问题直接挑战学生的智慧。数学知识以问题的形式呈现，在解题过程中学生一方面要直面问题，有价值的数学问题能较好地挑战学生

43、的智慧、激活学生的思维，更大限度地激发学生的发明潜能。解题不能精确地反映学生的所有学习状况。解题的过程受多种因素的影响，学生在解题过程中的体现也也许是片面的，只能反映学生数学学习的部分状况。人们对知识调用的速度和思维的灵活度与心情好坏、注意力集中限度等均有密切的关系。解题也会受题目质量的影响，如问题的呈现方式、体现习惯、定位的明显限度。个人的经验和成长历程以及对问题及其情境的熟悉限度，也决定个人对问题的适应性和感受性。许多教师规定学生“多做题”，觉得多做题目就增长了见识。正是这种“一回生，二回熟”的信念，导致了对解题成果的过度追求，对提高解题能力手段的过度研究，使得解题成了操练的工具，解题也因

44、此失去了呈现学生真实学习水平的意义。精确把握数学教学的目的与价值。数学作为一种普遍合用的技术，有助于人们收集、整顿、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会发明价值。学习数学的重要目的是接受数学思想、数学精神的熏陶，提高自身的思维品质和科学素养。这需要每一位教师精确地把握数学教学的目的与价值，让数学课堂教学成为学习者思维活动交流的过程。充足发挥解题教学在数学教学中的功能。要想让数学教学不沦为解题的教学，就要协助教师对的定位解题在数学教学中的意义和作用。一是要选择有教学价值的典型问题。二是要把问题的教学价值发挥到极致。充足挖掘问题的教学价值，合适安排时机发挥题目资源的效用，尽量一题多用。

45、三是在评价解题时，把通法（一般的一般措施）放在第一位，不一味追求速度或技巧。四是要关注解题过程反馈的价值信息。在关注解题成果的同步，考虑给过程分，关注解题过程中的多种体现，收集有效信息，协助诊断教学，发现、运用有价值的教学资源。一方面引导学生注重解题过程，另一方面提示教师从过程中收获信息的教学价值更甚于成果。教师应容许学生采用不同的思路，鼓励学生大胆刊登见解，教师在理解的基本上应尊重多种合理的解题思路，并给出中肯的评价。五是要注重解题后的反思。解题过程中的试误过程和成功经验都值得反思。回忆自己如何经历“山穷水尽疑无路”，又如何达到“柳暗花明又一村”的境地，分析解题过程给带来的结识上的得与失。这

46、些收获不亚于题目自身带给我们的价值。在数学学习中，我们既要扎夯实实地学好数学知识和技能，又要牢固地掌握数学思想和措施，并且要能灵活应用数学知识和技能解决实际问题。学习数学需要解题，但不取决于解题的多少，而在于解题前的分析、摸索和解题后的反思。我们要让学生要成为解题的主人，要从解题中吸取解题的措施、思想，锻炼思维。中国教育报2月13日第6版聚焦小学数学系列三：什么是真正“用教材教”“用教材教”时下已成为教师们常常挂在嘴边的一句话。“教教材”与“用教材教”在语意上并无多大差别，但“用教材教”反映了教材观的转变，即视教材为重要的课程资源、教学线索，激活了教师的专业自主性，让教师以教材开发者的姿态，将

47、个人特质、教学经验、教学才干融入到对教材的加工、改造之中。历史地看，过去我们也反对照本宣科，追求用活教材，目前倡导“用教材教”，似乎是旧话重提，但其中的必要性却不容小视。社会与教育的发展在为教学提供新条件的同步，也对教学提出了更高的规定。规定教学更加关注学生的个性发展，规定教材多样化，规定教学手段不再只是一张嘴巴、一支粉笔。因此，老式的话题势必会在新的历史条件下，谋求新的诠释与体现。目前，有种观点觉得，“教教材”与“用教材教”是教师教学水平提高的两个阶段。论据一是目前尚有不少教师的教学连忠实执行教材还没做到，论据二是“教教材”要作为“用教材教”的基本。这样的见解有一定的道理。但需要明确的是，它

48、只是举出了特定背景下的真实个案，不能据此觉得它就概括出了教师提高教学水平的一般规律。同步，我们也的确应当先进一步教材，再跳出教材，否则难免会浮现对教材的误读和背离。事实上，要有效地用教材教，除了对的理解、精确把握教材之外，还必须进一步分析学生的学习特点，理解她们的真实状况。教材再好，一般也只能根据一般状况为教与学提供一种思路和一种设计方案，不也许完全适应每个学校、每个班级、每个学生的具体状况。用教材教，规定教师具有解读教材、解读学生的智慧。解读教材、解读学生与加工教材，都可以在备课过程中，即在课前一次完毕，实际的备课过程，也常常是将三者结合起来进行的。不能由于它们需要分别展开研究，就听任目前的

49、教学停留在“教教材”的水平上。同步，对三者的钻研应当是教师永无止境的追求，均有待深化，需要经验的逐渐累积，不必人为地限定先熟悉教材、教教材，再加工教材、用教材教这样的阶段。任何时候，调节、加工教材都是教师的权利，也是教师备课的内容之一。如何“用教材教”？需要探讨和解决的问题诸多。这里笔者仅就使用新教材以来教师在课前预设环节遇到的某些问题进行讨论。复习铺垫的设计。目前新编的教材，基本上不再浮现新知识前的复习、准备或过渡内容。以致有教师问：是不是数学课堂上不要需要复习环节了？教材直接以问题开始，有助于扩大思维和摸索空间，有助于学生问题意识的培养。在这个过程中，学生在新问题的基本上联想回忆出已学知识

50、。固然，如果学生自己联想有关知识有困难，或者浮现夹生、遗忘现象，教师先行组织复习也是可取的。新授前设立复习、准备环节的初衷，一是为了通过再现激活学生头脑中已有的有关知识；二是为探究铺设台阶，分散新授的难点。第一点无可厚非，问题在于第二点。以往的课堂教学实践中，教师常常铺垫暗示过度，或者人为地设立了一条狭窄的思维通道，学生不必探究，或稍加尝试，结论就出来了。这显然不利于学生积极学习能力的发展。但我们也不必就此因噎废食。应当承认，此类教学铺垫有诸多合理的成分。例如，教循环小数前，诸多教师喜欢先以学生熟知的一年四季周而复始的实例，让学生感知“依次不断反复浮现”的周期现象，以此作为同化新知识的认知框架

51、。有了这一铺垫，原本很抽象的循环小数，通过学生自发的类比，大大减少了理解的难度。教学手段的选择。一般觉得，选择教学手段的根据是教学内容、学生以及教师自身的特点。除此之外，还应考虑什么？以教学长方体的结识为例。目前多数教材提供的现实模型是都市建筑、冰箱、纸盒等图片，人民教育出版社的教材考虑到农村和边远地区，给出的素材里尚有长城的图片和其中一块放大了的砖。教师可以选择一种或几种实物抽象出长方体的图形，并进一步简介长方体的面、棱和顶点等。目前在有条件的学校，教师大多采用多媒体课件演示长方体的形状。此外，还能选择什么教学手段呢？30年前笔者在江西教学时，曾用本地的白萝卜作为教具。在东北，教师的创意是让

52、学生用小刀削土豆。在上海，教师们让学生用小刀削橡皮泥。这不正是因地制宜选择教学手段最生动的诠释吗？巩固练习的补充。常常听到教师抱怨新教材配备的练习偏少。不可否认，教材需要修改、完善，但教材不是题库，面对减轻学习承当的社会诉求，教材中的习题必须严格精选。因此，即便改善之后，还会众口难调。例如20以内退位减法，可以用“破十法”，也可以用“连减法”。诸如此类的针对性练习，教材难以一一提供，只能由教师为学生“量身定制”，自行补充，固然教学参照书可以也应当予以提示。此外，学生的学习有缺漏必须弥补，同步要满足学有余力的学生爱好拓展和提高的需求，教师合适的增补练习，也是因材施教的内涵之一。此外，某些乡土素材

53、、社会时事、学校正在开展的活动，等等，都可以用来编成数学的实际问题，使数学应用练习更贴近学生的生活和时代的脉搏。中国教育报2月20日5版聚焦小学数学系列四：什么才是有效的开放新一轮课程改革提出了自主、探究、合伙、生活数学、信息技术、算法多样化等一系列新名词，这些都体现出开放的教学内容、教学方式和教学理念。在过去的摸索中，我们既浮现了小组围坐其乐融融、合伙交流热热闹闹、动手操作红红火火的景象，也浮现了因交流挤掉学生独立思考的时间，因空间开放未能完毕当堂练习的现象。于是，有人开始怀疑开放的教学与否影响学习效率，甚至开始怀念老式教学中环环相扣的高效率、高质量。开放的教学过程变化了老式封闭式教学中“把

54、信息从一种地方传递到另一种地方”的单向过程，使教学交流更加多元、立体，更能增进学生充足、全面地发展。封闭式教学追求的是让学生在有限的时间内掌握更多的知识，而开放式教学的价值取向则在于追求自主与创新。应当说，开放与封闭、有效与无效是不同维度的对立面，如果我们将这两组矛盾各为横轴、纵轴的话，会浮现“有效的开放”、“无效的开放”、“有效的封闭”、“无效的封闭”这四个象限，以自主学习、合伙学习为重要方式的开放式教学和以讲授式为重要方式的封闭式教学都存在着有效和无效的问题。值得思考的是：何谓有效的开放？特级教师魏洁谈到她在美国听的一节小学六年级的方程课：上课开始，教师在黑板上写出：x，未作任何暗示，只给

55、学生们提供某些方格纸、小方块和白纸，让孩子们解答。有的孩子左边摆3个方块、右边摆5个方块，然后从5个方块中挪出3个，找到了答案“”。有的孩子借助方格纸，先画5个方格，再圈掉其中的3个，找到了答案。有的孩子直接在等式的“5”上写了“3”并做了一种删除的记号，虽然没有规范的格式，但是她也快乐地找到了答案。尚有一类孩子，想不到任何措施，就伸长了脖子看周边的同伴在忙什么，看看用方格的，仿佛不能理解，于是就选择了一种用方块的作为学习对象。人家怎么做，她就怎么做。等到孩子们所有完毕后，教师组织全班学生进行了交流。接着，没有任何的解释和总结，写出第二题：-，让孩子们自己做。故意思的是，第四类孩子这时也跟着她

56、的学习对象改用方格来协助解决问题了。更故意思的是，课后魏教师采访了这个孩子，问她：“会了吗？”孩子快乐地回答：“会了！”再问：“过两天还记得吗？”孩子回答：“肯定忘了。”追问：“那你怎么办？”孩子很爽快地指指小组的伙伴：“有她！”这是典型的美国课堂，也许正是不少人觉得低效的课堂。折腾了一节课，学生连基本的解方程格式都不会。但此类“低效”课堂何以受到美国教师的青睐？国际有关的比较研究提示我们，我们的孩子在解决封闭性问题时，往往强于美国学生，而在解决开放性的实际问题时，美国学生却体现出较明显的优势。教育家波兰尼有个观点说,显性知识只是冰山的一角，而沉默知识则是隐藏在冰山底部的大部分。沉默知识只有通

57、过个体的实践与体悟才干获得。如此说来，看似松散的学生探求解决措施的过程，也正是她们进行底部积累的过程。站在关注每一种个体学习历程的角度看，以上案例中孩子们对不同措施的选择与变化，让我们看到了孩子们的思维由具体到抽象的变化过程，看到了孩子们积累数学活动经验逐渐形式化的过程，看到了不同的孩子在自己近来发展区的成长，看到了孩子遇到困难时谋求协助的“智慧”之举这样看来，关注学生在教学中与否成长和发展是我们评价现代课堂有效性的核心。除了知识的掌握，学生数学学习经验的积累、数学思想措施的感悟、数学基本技能的训练，数学学习情感的丰富，这些都应当成为考量课堂有效性的重要维度。评价开放性的课堂除了必须保持开放的

58、心态，还必须采用开放的评价指标和评价措施。这方面的工作，无疑已成为摆在我们眼前的重要任务。近年来，我们的教育教学工作者在追求有效开放的摸索中积累了诸多珍贵经验。有的教师注重小组建设，从评价入手，努力营造组内合伙、组间竞争的学习氛围，为建立有效合伙提供了一种范式。有的教师注重同伴交流的实效，从“如何听、如何说”的指引入手，甚至为每个小组配备录音笔，即时记录交流状况，从而实既有针对性的指引工作。尚有不少教师觉得开放式教学要因“材”而为，结合教学内容，在适于探究、适于合伙之处予以放手，把“挖掘教材、吃透教材，做一名可以整合教材、个性化实行课程的教师”作为自己追求的抱负。有的教师背下12本教材上的所有

59、例题和习题，以自己对小学知识的通透把握，达到课堂上充足摸索、思辨练习、课外不留作业的高效教学。这些都显示出教师们为积极摸索有效开放教学方略所做的不懈努力。这些理论与实践相结合的鲜活研究，为我们从模仿开放之形到把握开放之神提供了坚实的基本。我们有理由相信，随着我们视界的敞亮、理论的完善和摸索的进一步，开放而有效的课堂必将越来越成熟。中国教育报2月20日6版聚焦小学数学系列五：有过程的教学增进高水平的理解常听一线教师诉苦说：目前的学生真难教，水平参差不齐。的确，在学习新知识前，学生早已不是一张“白纸”。作为教师，该怎么办？懂得事实不等于真理解面对学生已经懂得“答案”时，我们需要追问：有多少学生懂得

60、答案？有多少学生真正理解要学习的内容？例如，对于“长方体的体积=长宽高”，如果学生通过背诵记住这一公式，那么她获得的知识仅仅是“事实性知识”。如果学生通过拼摆单位小正方体而得到“大长方体”的体积就是单位小正方体的个数，即数小正方体的个数就能求出长方体的体积，但是“数”比较麻烦，再进一步发现大长方体的体积是“长宽高”，这时她对长方体体积公式的理解就达到“概念性水平”。如果学生能进一步进一步分析，就会发现长方体的体积与长方体的一种面的面积以及相应这个面的高有关。在教师的引导下，学生综合应用所学知识，得出长方体的体积还可以通过“一种面的面积乘以这个面所相应的高”来求出，这时学生对该公式的理解就达到了

61、“措施性水平”，由于这个公式不仅仅合用于长方体并且合用于一切柱体。学生不仅理解了公式产生的来龙去脉，并且能在所波及的概念与概念之间，以及概念与已有的经验之间建立起联系，并能根据不同的条件灵活选择公式解决问题。在此基本上，学生还能进一步解释“长方体的体积等于一种面的面积乘以这个面上的高”吗？在教学中，有个学生这样回答：我把长方体当作是“底面”这样的小薄片一片一片垒起来的，那么长方体的体积不就是这个“小薄片”的面积乘以垒的“高度”吗？这名学生所获得的知识就已经达到了“主体性水平”，她所获得的这一知识，是通过反思“发明”出来的。学生学习数学时，往往停留在“事实性水平”的理解上。在教学中，我们必须辨别

62、出学生的理解所达到的限度，设计恰当活动增进学生对知识的高水平理解。有过程的教学增进学生高水平的理解“数学是系统化了的常识。”小学数学中的诸多概念都蕴含了朴素的数学思想，基本上都来源于学生的生活经验。从理论上说，学生结识这些朴素的思想应当很容易，但为什么学生学习“课本上的数学”就有诸多困难呢？因素重要在于数学的学科定义高度概括、抽象，教材不易呈现其形成与发展的过程，直接学习现成的结论不符合小学生的思维水平与认知特点。因此，弗罗登塔尔觉得“教材是教学法的颠倒”。如果教师的教学没有过程，而只是简朴的模仿、记忆、背诵、训练，则容易使学生的理解仅仅处在事实性水平。教师无过程教学的本源重要有两点：一是缺少

63、追问学科概念的本质，二是没有真正理解学生的思维特点与已有的知识经验储藏。对于前者，我们强调教师追问为什么学习这些内容、所学习内容的核心是什么、如何建立联系；后者重要涉及学生的生活概念、学生的思维水平与认知特点及学生已有的知识储藏。当教师对这两个本源有进一步的思考后就能设计出有过程的教学。设计有过程的教学，需要教师关注数学概念、思想的本质以及发展的历史本源，关注其形成、发展的原始动力，关注学生朴素的问题与思维过程，关注学生的生活概念、经验与数学概念之间的本质联系与区别，关注学生的思维过程，运用思维过程中的冲突、质疑与障碍使学生获得高水平理解力，激发学生学习的愿望与动机，体会到发明的乐趣。下面是一

64、位教师教学“减法的初步结识”时发生的重要事件，该课就是一节过程充足的课：教师先运用电脑动画设计了一种停车场的情境，学生不久发现了信息并提出了问题：停车场本来有5辆小汽车，开走了2辆，问停车场还剩几辆小汽车？学生顺利地列出算式并计算。教师请学生运用手中的学具，自己动手发明一种用减法解决的问题，并列式解决。这一环节的设计目的是让每个学生都亲历减法意义的感知过程，并板书出学生所浮现的多种不同的减法算式，为后续观测、比较、总结减法的意义作素材准备。但在交流报告时，一种小女孩到实物展台前，一边演示“小水果”学具，一边简介自己刚刚的操作过程：“我本来拿了5个小水果，送给同桌2个，问我还剩几种水果？我列的算式是5-2=3。”话音刚落，另一位男孩喊到：“怎么还是5-2=3啊？反复了！不能写到黑板上。”展台前的女孩不服气地为自己辩解：“我没反复，这次不是汽车，是水果。”坐在下面的男孩竟站起来辩驳：“反正你的算式是5-2=3，还说不反复？”女孩一脸疑惑地看着教师。教师一方面请学生刊登自己的见解，大部分学生批准男孩的见解，但也觉得女孩说得有道理，辩论不出成果。这时教师问：“你还能想一件事情，也用5-2=3来表达吗？”孩子们的思维活跃了起来，编出了诸多的情境。例如：教室有5个小朋友，走了2个，还剩余3个。草地上有5朵小花，被小朋友摘走了2朵，还剩余3朵。