数学分析求极限的方法

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1、求极限的措施具体措施运用函数极限的四则运算法则来求极限定理1：若极限和都存在，则函数， 当时也存在且 又若，则在时也存在，且有运用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如、等状况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要纯熟掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例1：求解：原式=用两个重要的极限来求函数的极限运用来求极限的扩展形为：令，当或时，则有或例2： 解：令t=.则sinx=sin( t)=sint, 且当时 故 例3：求解：原式=运用来求极限的另一种形式为.事实上，令因此例4: 求的极限

2、解：原式=运用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观测所给的函数形式只有形式符合或通过变化符合这两个重要极限的形式时才可以运用此措施来求极限。一般常用的措施是换元法和配指数法。运用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量，记作定理2：设函数在内有定义，且有 若则 若则证明：可类似证明，在此就不在具体证明了！ 由该定理就可运用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例5：求的极限解：由 而；（）；（）故有= 注：由上例可以看出，欲运用此措施求函数的极限必须纯熟掌握某些常用的等价无穷小量，如：由于，故有又由于故有arctanx，(x).另注：在运用等价无穷小代换求极限时，应当注意

3、：只有对所求极限中相乘或相除的因式才干用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中，若因有tanx，而推出 = 则得到的成果是错误的。 利迫敛性来求极限定理3：设f(x)= g(x)=A,且在某内有f(x)h(x)g(x),则h(x)=A例6：求x的极限解：1x1-x. 且 由迫敛性知 x=1 做此类型题目的核心在于找出不小于已知函数的函数和不不小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一种极限。运用函数的持续性求极限 运用函数的持续性求极限涉及：如函数在点持续，则及若且f(u)在点a持续，则例7：求的极限解：由于及函数在处持续，故=。运用洛比达法则

4、求函数的极限在前面的论述中，我们已经提到了运用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者论述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的措施。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作型或型的不定式极限。目前我们将以导数为工具研究不定式极限，这个措施一般称为洛比达法则。下面就给出不定式极限的求法。(1) 对于型不定式极限，可根据如下定理来求出函数的极限定理4：若函数f(x)和函数g(x)满足：=0。在点的某空心邻域内两者都可导，且 =A。（A可为实数，也可为或）则=A。注：此定理的证明可运用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。例8：求解：容易检查f(x)=1+与g(x)=在

5、的邻域里满足定理的条件和，又因= -故由洛比达法则求得，=在此类题目中，如果仍是型的不定式极限，只要有也许，我们可再次运用洛比达法则，即考察极限与否存在。固然，这是和在的某邻域内必须满足上述定理的条件。例9：求解：运用 （），则得原式=在运用洛比达法则求极限时，为使计算更快捷减少运算中的诸多不便，可用合适的代换，如下例，例10：求解：这是型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作合适的变换，计算上就会更以便些，故令当时有，于是有=(2)型不定式极限若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。定理5：若函数f(x)和函数g(x)满足：=在点的某空心邻域内两者都可导，且=A，

6、（A可为实数，也可为或）。则=A。此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了。例11：求解：由定理4得，注1：若不存在，并不能阐明不存在。注2：不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解。一方面必须注意它是不是不定式极限；另一方面是观测它与否满足洛比达法则的其他条件。下面这个简朴的极限 =1 虽然是型的，但若不顾条件随便使用洛比达法则：=就会因右式的极限不存在而推出原式的极限不存在这个错误的结论。(3)其他类型不定式极限不定式极限尚有，等类型。这些类型通过简朴的变换，都可以化为型和型的不定式极限。例12：求解：这是一种型的不定式极限，作恒等变形=，将它转化为型的不定式极限，并用洛比达法

7、则得到=例13：求解：这是一种型的不定式极限，作恒等变形=其指数部分的极限是型的不定式极限，可先求得=从而得=例14: 求（k为常数）解：这是一种型的不定式极限，按上例变形的措施，先求型的极限，=然后得到 =（）当=0时上面的成果仍成立。例15: 求解：这是一种型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（型） =1于是有=运用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。 例16：求解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表达极限的分子， （取n=4）cosx=1-+()=1-+cos

8、x-=-()因而求得=运用微分中值定理和积分中值定理求极限例17：求的极限 解：由微分中值定理得， （介于与之间）原式=例18：求的极限解：由微分中值定理得， （介于与之间）原式=运用定积分求极限例19：求解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：不难看出，其中的和式是函数发在区间上的一种积分和。（这里所取的是等分分割， （）， 因此固然，也可把J看作 在上的定积分，同样有总结以上措施是在高等数学里求解极限的重要措施。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上措施的而不可以透彻清晰地明白以上各措施所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出合适的措施。这样不仅精确率更高，并且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就规定学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。