解三角形中的各类问题

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1、 教学理念：将简单的方法练到极致就是绝招！课题解三角形中的各类问题(重点保分型考点师生共研)必备知识1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.2余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C变形：cos A，cos B，cos C.典题例析(2014辽宁高考)在ABC 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac .已知2，cos B，b3，求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值解：(1)由2得cacos B

2、2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292213.解得或因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B.因abc，所以C是锐角，因此cos C .于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.类题通法正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用演练冲关在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a2bsin A0

3、.(1)求角B的大小；(2)若ac5，且ac，b，求的值解：(1)因为a2bsin A0，所以sin A2sin Bsin A0.因为sin A0，所以sin B.又B为锐角，则B.(2)由(1)知B，因为b，根据余弦定理得7a2c22accos，整理，得(ac)23ac7.由已知ac5，则ac6.又ac，可得a3，c2.于是cos A，所以|cos Acbcos A21.(题点多变型考点全面发掘)必备知识三角形中常见的结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)三角形内的诱导公式：sin(AB)sin C；cos(AB)co

4、s C；tan(AB)tan C；sincos；cossin.(5)在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.(6)在ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B60 .(7)ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列一题多变 典型母题(2013陕西高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A.锐角三角形 B直角三角形C.锐角三角形 D不确定解析依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，有sin(BC)sin2A，从而

5、sin(BC)sin Asin2A，解得sin A1，A，故选B.答案B题点发散1本例的条件变为：若2sin A cos Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形解：选B法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB，选B.法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2ab.题点发散2本例的条件变为：若acos Abcos B，那么ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形解析：选D由正弦定理，得sin

6、 Acos Asin Bcos Bsin 2Asin 2B，因为2A,2B(0，)，所以2A2B或2A2B，即AB或AB.选D.题点发散3本例的条件变为：若2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C且sin Bsin C1，试判断ABC的形状解：由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，cos A，sin A，则sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，所以sin B sin C，所以sin Bsin C.因为0B，0C，故BC，所以ABC是等腰钝角三角形类题通法判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦

7、定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断提醒在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响.(重点保分型考点师生共研)必备知识三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)典题例析(2014山东高考)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 a3，cos A，BA.(1)求b 的值；(2)求ABC 的面

8、积解：(1)在ABC中，由题意知sin A，又因为BA，所以sin Bsincos A.由正弦定理可得b3.(2)由BA得cos Bcossin A.由ABC，得C(AB)所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.因此ABC的面积Sabsin C33.类题通法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化演练冲关已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2

9、)若a2，ABC的面积为，求b，c.解：(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得，sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.(重点保分型考点师生共研)已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围解：mnsin co

10、s cos2sin cos sin.(1)mn1，sin，cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin(BC)ABC，sin(BC)sin A，且sin A0，cos B，B.0A. ，sin1.又f(x)mnsin，f(A)sin，故1f(A). 故函数f(A)的取值范围是.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsin A.(1)求B的大小；(2)求cos Asin C的取值范

11、围(1)由a2bsin A，根据正弦定理得sin A2sin Bsin A，所以sin B，由ABC为锐角三角形可得B.(2)由(1)可知ACB，故CA.故cos Asin Ccos Asincos Asincos Acos Asin Acos Asin Asin由ABC为锐角三角形可得，0C，故0A，解得A，又0A，所以A. 故A， 所以sin，所以sin0)则cos C1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在4(2014江西高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B.C. D3解析：选C由c2(ab)26，可得a2b2c2

12、2ab6.由余弦定理及C，可得a2b2c2ab.所以由得2ab6ab，即ab6.所以SABCabsin6.5(2015辽宁五校联考)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若bc2a，3sin A5sin B，则角C()A. B.C. D.解析：选A因为3sin A5sin B，所以由正弦定理可得3a5b.因为bc2a，所以c2aaa.令a5，b3，c7，则由余弦定理c2a2b22abcos C，得49259235cos C，解得cos C，所以C.6(2015东北三校联考)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B()A. B.C. D.解析：选C根据正弦定理：2

13、R，得，即a2c2b2ac，得cos B，故B，故选C.二、填空题7(2014湖北高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，a1，b，则B _.解析：由正弦定理，得sin B，又B，且ba，所以B或.答案：或8(2015苏北四市联考)在ABC中，已知AB3，A120，且ABC的面积为，则BC边的长为_解析：由SABC得3ACsin 120，所以AC5，因此BC2AB2AC22ABACcos 12092523549，解得BC7. 答案：79(2015云南第一次检测)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若cos B，a10，ABC的面积为42，则b的值等于_解

14、析：依题可得sin B，又SABCacsin B42，则c14.故b6，所以bb16. 答案：1610(2015广东重点中学联考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的值为_解析：由正弦定理得，即(cos A3cos C)sin B(3sin Csin A)cos B，化简可得，sin(AB)3sin(BC)，又知ABC，所以sin C3sin A，因此3. 答案：3三、解答题11在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知(b2a)cos Cccos B0.(1)求C；(2)若c，b3a，求ABC的面积解：(1)由已知及正弦定理得：(sin B2sin A)c

15、os Csin Ccos B0，sin Bcos Ccos Bsin C2sin Acos C，sin(BC)2sin Acos C，sin A2sin Acos C.又sin A0，得cos C.又C(0，)，C.(2)由余弦定理得：c2a2b22abcos C，解得a1，b3.故ABC的面积Sabsin C13.12(2015江西七校联考)已知在ABC中，C2A，cos A，且2BACB27.(1)求cos B的值；(2)求AC的长度解：(1)C2A，cos Ccos 2A2cos2A1，sin C，sin A.cos Bcos(AC)sin Asin Ccos Acos C.(2)，AB

16、BC.227，cos B，|24，BC4，AB6，AC 5.B卷增分提能1(2014陕西高考)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值解：(1)证明：a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cos B，当且仅当ac时等号成立cos B的最小值为.2(2015洛阳统考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别

17、为a，b，c，cos 2C2cos C20.(1)求角C的大小；(2)若ba，ABC的面积为sin Asin B，求sin A及c的值解：(1)cos 2C2cos C20，2cos2C2cos C10，即(cos C1)20，cos C.又C(0，)，C.(2)c2a2b22abcos C3a22a25a2，ca，即sin Csin A，sin Asin C.SABCabsin C，且SABCsin Asin B，absin Csin Asin B，sin C，由正弦定理得：2sin C，解得c1.3(2015湖北部分重点中学联考)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长，且C，abc(其中1)(1)若时，证明：ABC为直角三角形；(2)若2，且c3，求的值解：(1)证明：，abc，由正弦定理得sin Asin Bsin C，C，sin Bsin，sin Bcos Bsin B，sin Bcos B，则sin，从而B或B，B或B.若B，则A，ABC为直角三角形；若B，ABC亦为直角三角形(2)若2，则ab2，ab2.又ab3，由余弦定理知a2b2c22abcos C，即a2b2abc29，即(ab)23ab9，故9229，29，24，即2.12