20140217172数学1355

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1、2014届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练用空间向量法解决立体几何问题一、选择题(每小题5分，共25分)1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定2在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为学科王()A. B. C. D.3已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于学科王()A. B. C. D.学科王4过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若P

2、ABA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A30 B45 C60 D905如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF，则下列结论中错误的是学科王()学科王AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值D异面直线AE，BF所成的角为定值二、填空题(每小题5分，共15分)6在空间四边形ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，则_.7到正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点：有且只有1个；有且只有2个；有且只有3个；有无数个其中正确答案的序号是_8已知ABC

3、DA1B1C1D1为正方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确命题的序号是_三、解答题(本题共3小题，共35分)9(11分)如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，BAD120，且PA平面ABCD，PA2，M，N分别为PB，PD的中点(1)证明：MN平面ABCD；(2)过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值学科王10(12分)如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且A1AB60，M是A1B1的中点，MBAC.(1)求证：MB平面ABC；(2)求二面角A1BB1C

4、的余弦值11(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2.E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值学科王参考答案1B()()，又是平面BB1C1C的一个法向量，且0，又MN面BB1C1C，MN平面BB1C1C.2D连A1C1与B1D1交与O点，再连BO，ABBC，C1O面DD1BB1，则OBC1为BC1与平面BB1D1D所成角cosOBC1，OC1，BC1，cosOBC1.3A如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，A(0，1,0)，B1

5、(，0,2)，则(，1,2)，O(0,0,0)，B(，0,0)，则(，0,0)为侧面ACC1A1的法向量由sin .学科王4B建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角(锐角)的余弦值为，故所求的二面角的大小是45.学科王5DAC平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D.ACBE，故A正确B1D1平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，EF平面ABCD，故B正确C中由于点B到直线B1D1的距离不变，故BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故VABEF为定值当点E在D1处，点F为D1

6、B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F，1，(0，1,1)，1，.学科王又|AE|，|BF|，cos，.此时异面直线AE与BF成30角当点E为D1B1的中点，点F在B1处时，此时E，1，F(0,1,1)，1，(0,0,1)，学科王1，| ，cos，故选D.学科王6解析如图，2()()00a2c5a6b8c6a6b10c，3a3b5c.答案3a3b5c7解析注意到正方体ABCDA1B1C1D1的对角线B1D上的每一点到直线AB，CC1，A1D1的距离都相等，因此到ABCDA1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线距离相

7、等的点有无数个，其中正确答案的序号是.答案学科王8解析设正方体的棱长为1，中()23()23，故正确；中，由于AB1A1C，故正确；中A1B与AD1两异面直线所成的角为60，但与的夹角为120，故不正确；中|0.故也不正确答案9(1)证明因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是PBD的中位线，所以MNBD.又因为MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)解连接AC交BD于O.以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示在菱形ABCD中，BAD120，得ACAB2，BDAB6.又因为PA平面ABCD，所以PAAC.在直角三角形PAC中，AC2，PA2，A

8、QPC，得QC2，PQ4.由此知各点坐标如下，A(，0,0)，B(0，3,0)，C(，0,0)，D(0,3,0)，P(，0,2)，M，学科王N，Q.设m(x，y，z)为平面AMN的法向量由，知，取z1，得m(2，0，1)学科王设n(x，y，z)为平面QMN的法向量由，知，学科王取z5，得n(2，0,5)学科王于是cosm，n.学科王所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为.10(1)证明侧面ABB1A1是菱形，且A1AB60，A1BB1为正三角形，又点M为A1B1的中点，BMA1B1，ABA1B1，BMAB，由已知MBAC，MB平面ABC.(2)解如图建立空间直角坐标系，设菱形ABB1A1边长为2

9、，得B1(0，1，)，A(0,2,0)，C(，1,0)，A1(0,1，)则(0,1，)，(0,2,0)，(0，1，)，(，1,0)设面ABB1A1的法向量n1(x1，y1，z1)，学科王由n1，n1得，令x11，得n1(1,0,0)设面BB1C1C的法向量n2(x2，y2，z2)，由n2，n2得令y2，得n2(1，1)，得cosn1，n2.又二面角A1BB1C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.11(1)证明PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，AB2，ADCD1，ACBC，AC2BC2AB2，ACBC，又BCPCC，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC.(2)解如图，以C为原点，、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)设P(0,0，a)(a0)，则E，(1,1,0)，(0,0，a)，学科王取m(1，1,0)，则mm0，m为面PAC的法向量设n(x，y，z)为面EAC的法向量，则nn0，即取xa，ya，z2，则n(a，a，2)，依题意，|cosm，n|，则a2.于是n(2，2，2)，(1,1，2)设直线PA与平面EAC所成角为，则sin |cos，n|，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.