全等三角形判定经典

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1、11.2三角形全等的判定（1） 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。表示方法：如图所示，在ABC和DEF中， ABCDEF（SSS）。例1. 如图所示，ABCD，ACDB。求证：ABCDCB。分析：由已知可得ABCD，ACDB，又因为BC是两个三角形的公共边，所以根据SSS可得出ABCDCB。证明：在ABC和DCB中，ABCDCB（SSS）评析：证明格式：点明要证明的两个三角形；列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；条件按照“SSS”顺序排序；得出结论，并把判断的依据注在后面。（2） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，

2、简写成“角边角”或“ASA”。表示方法：如图所示，在ABC和DEF中， ABCDEF（ASA）。例2. 如图所示，ABCD，AFDE，BECF，求证：ABCD。分析：要证明ABCD，由于AB、CD分别是ABF和DCE的边，可尝试证明ABFDCE，由已知易证：BC，AFBDEC，下面只需证明有一边对应相等即可。事实上，由BECF可证得BFCE，由ASA即可证明两三角形全等。证明：ABCD，BC（两直线平行，内错角相等）又AFDE，AFCDEB（同上）AFBCED（等角的补角相等）又BECF，BEEFCFEF，即BFCE在ABF和DCE中，ABFDCE（ASA）ABCD（全等三角形对应边相等）（3

3、） 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。表示方法：如图所示，在ABC和DEF中，ABCDEF（AAS）。例3. 如图所示，RtABC中，ACB90，ACBC，ADCD于D，BFCD于F，AB交CD于E，求证：ADBFDF。分析：要证ADBFDF，观察图形可得CFCDDF，只需证明CFAD，CDBF即可，也就是要证明CFBADC。由已知BCAC，CFBADC90，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BFCD，ACB90，易证得CBFACD，问题便得到证明。 证明：ACB90，BFCDACDBCD90，CBFBCD90CBFACD（同角的余角相等）又AD

4、CD，CFBADC90在CFB和ADC中，（已知）CFBADC（AAS）CFAD，BFCD（全等三角形的对应边相等）又CFCDDFADBFDF 评析：由条件ACBC和垂直关系可得，AC、BC为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用AAS证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。（4） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。表示方法：如图所示，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）。例4. 已知：如图所示，ABDE，BDEF，BECF。求证：ACDF。分析：欲证ACDF，可通过证明ACBF，由平行线的判定定理即可得证。而ACB与F分别是ABC

5、和DEF的内角，所以应先证明ABCDEF。由BECF易得BCEF，再结合已知条件ABDE，BDEF即可达到目的。证明：BECF，BEECCFEC，即BCEF。在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）。ACBF。ACDF。评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。这里大括号中的条件按照“SAS”顺序排列（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。表示方法：如图所示，在RtABC和RtDEF中，ABDE， BCEF，RtABCRtDEF（HL）。注意：三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。两边及其中一边的

6、对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在ABC和ABD中，ABAB，ACAD，BB，显然它们不全等。三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。 例5. 如图所示，RtABC中，C90，AC10cm，BC5cm，一条线段PQAB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动。问点P运动到AC上什么位置时，ABC才能和PQA全等？分析：要使ABC与PQA全等，由于CPAQ90，PQAB，则只需APCB或APCA，由HL即可知道它们全等，从而容易确定P点的位置。解：由题意可知，CPAQ90，又ABPQ，要使ABCPQA，则只需APCB或APCA即可，从而当点

7、P运动至AP5cm，即AC中点时，ABCQPA；或点P与点C重合时，即APCA10cm时，ABCPQA。评析：要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。例6. 如图，ABC和EBD都是等腰直角三角形，A、B、D三点在同一直线上，连结CD、AE，并延长AE交CD于F。（1） 求证：ABECBD。 （2）直线AE与CD互相垂直吗？请证明你的结论。 分析：根据已知条件易得ABBC，BEBD，ABCCBD90正好是A

8、BE和CBD全等的条件。对于AE与CD垂直关系的证明需要推证出CFA90。证明：（1）ABC和EBD都是等腰直角三角形，ABCB，BEBD，ABCCBD90ABECBD（SSA）（2）AECD，在ABE和CEF中，EABECF，AEBCEF，且ABE90，ECFCEFEABAEBECFCEF180（EABAEB）即AFCABE90AECD。评析：利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，逐步分析解决问题，把握解题思路。拓展提高1.(07北京中考)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边

9、形的图形的名称；（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论1. 解： （1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可. （2）与A相等的角是BOD（或COE） 四边形DBCE是等对边四边形. （3）此时存在等对边四边形DBCE. 证明1：如图，作CGBE于G点，作BFCD交CD的延长线于F点. DCB=EBC=A，BC为公共边 BGCCFB BF=CG BDF=ABC+DCB=ABE+EBC+DCB=ABE+A GEC=AB

10、E+A BDFCEG BD=CE 故四边形DBCE是等对边四边形。 证明2：如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF. 易证BCDCBF，故BD=CF，FCB=DBC. CFE=FCB+CBF=DBC+CBF=ABE+2CBF=ABE+A CEF=ABE+A CF=CE BF=CE 故四边形DBCE是等对边四边形.2.(09宣武一模)已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时， DMN也随之整体移动）（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？

11、请写出结论，并说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由 AEFDBNCM （第23题图1） （第23题图2） （第23题图3）2解：（1）判断： EN=MF，点F在直线NE上证明：如答图1,连结DE、DF、EFABC是等边三角形， AB=AC=BC又D、E、F是三边的中点， DE、DF、EF为ABC的中位线DE=DF=EF，FDE=DFE60DMN是

12、等边三角形，MDN60，DM=DNFDENDF=MDN+NDF， MDF=NDE 在DMF和DNE中，DF=DE，MDF=NDE， DM=DN， （第23题答图1）DMFDNE MF=NE设EN与BC交点为P，连结NF由ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得DBF是等边三角形，MDN=BDF60,MDNBDN =BDFBDN，即MDB=NDF.在DMB和DNF中，DM=DN，MDB=NDF，DB=DF，DMBDNF DBM=DFNABC =60，DBM =120，NFD =120. （第23题答图2）NFD+DFE =120+60=180.N、F、E三点共线，F与P重合，F在直线

13、NE上4分（2）成立。证明：如答图2，连结DE、DF、EFABC是等边三角形，AB=AC=BC又D，E，F是三边的中点，DE，DF，EF为ABC的中位线DE=DF=EF，FDE=60又MDF+FDN=60，NDE+FDN=60，MDF=NDE在DMF和DNE中，DF=DE，MDF=NDE， DM=DN，DMFDNE MF=NE 6分 （3） MF=NE仍成立 7分 （第23题答图3.(09崇文一模)在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且, ,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2

14、 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_； 此时_； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=_（用、L表示）3.解：（I）如图1， BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN 此时 （II）猜想：结论仍然成立证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE ,且又是等边三角形，在与中：(SAS) DM=DE, 在与中：(SAS) MN=NE=NC+BM 的周长Q=AM+AN+MN=A

15、M+AN+(NC+BM) =(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB而等边的周长L=3AB. （III）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= 2+ （用、L表示）课堂试题（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 下列条件不能判定两个三角形全等的是（ ）A. 有两边和夹角对应相等B. 有三边分别对应相等C. 有两边和一角对应相等D. 有两角和一边对应相等2. 下列条件能判定两个三角形全等的是（ ）A. 有三个角相等B. 有一条边和一个角相等C. 有一条边和一个角相等D. 有一条边和两个角相等3. 如图所示，已知ABCD，ADBC，那么图中共有全等三角形（ ）

16、A. 1对B. 2对C. 4对D. 8对4. 如图所示，已知AD，12，那么要得到ABCDEF，还应给出的条件是（ ）A. EBB. EDBC C. ABEFD. AFCD5. 如图所示，点E在ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若12，EC，AEAC，则 （ ）A. ABCAFEB. AFEADCC. AFEDFCD. ABCADE6. 我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有（ ）A. 5种B. 4种C. 3种D. 2种7. 如图所示，ABEFCD，ABC90，ABDC，那么图中的全等三角形有 （ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对8. 如图，在ABC中，ABAC，ADB

17、C，垂足为D，且BC6cm，则BD的值（ ）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm9. 如图所示，DEAB，DFAC，AEAF，则下列结论成立的是（ ）A. BDCDB. DEDF C. BCD. ABAC二. 填空题 10. 如图所示，ACBD，ACBD，那么_，理由是_. 11. 已知ABCABC，AB6cm，BC7cm，AC9cm，A70，B80，则AB_，BC_，AC_C_，C_. 12. 如图所示，已知ABAC，在ABD与ACD中，要使ABDACD，还需要再添加一个条件是_. 13. 如图所示，已知ABCDEF，AB4cm，BC6cm，AC5cm，CF2cm，A70，B65

18、，则D_，F_，DE_，BE_. 14. 如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AEAD，要使ABEACD，需添加一个条件是_（只要求写一个条件）. 15. 如图，AC、BD相交于点O，AD，请你再补充一个条件，使得AOBDOC，你补充的条件是_. 三. 解答题16. 已知：如图，12，CD，求证：ACAD. 17. 如图，A、E、B、D在同一直线上，在ABC和DEF中，ABDE，ACDF，ACDF. （1）求证：ABCDEF；（2）你还可以得到的结论是_（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母） 18. 你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意

19、图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直. 当一方着地时，另一方上升到最高点. 问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA、BB有何数量关系？为什么？ 19. MN、PQ是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C等距离的B、E两处，这时他们分别从B、E两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A、D两点，他们的行走路线AB、DE平行吗？请说明你的理由. 20. 有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A、B的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由. 方案一：小明想出了这样一个方法，如图所示，先在AB的垂线BF上取两点

20、C、D，使CDBC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，测得DE的长就是AB的长. 你能说明一下这是为什么吗？方案二：小军想出了这样一个方法，如图所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A、B的点C，连结AC并延长到点D，使CDCA，连结BC并延长到E，使CECB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离. 你能说明一下这是为什么吗？课堂试题答案1. C2. D3. C4. D5. D6. A7. C8. C9. B10. AOCBOD；AAS或ASA11. 6cm 7cm 9cm 30 3012. BDCD或BADCAD13. 70 45 4cm 2cm14. BC

21、、AEBADC、CEOBDO、ABAC、BDCE（任选一个即可）15. AODO或ABDC或BOCO16. 证ACBADB17. （1）证明：ACDF，AD，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）（2）答案不唯一，如：AEDB，CF，BCEF等. 18. 答：AABB，证AAOBBO19. 平行. 理由如下：由已知条件得，ABDE，BCCE，在RtABC和RtDCE中，AB=DE BC=CERtABCRtDCE（HL），ABCDEC，ABDE. 20. 小明的做法有道理， 其理由如下：因为ABBF，DEBF， 所以ABCEDC，又因为A、C、E三点在同一条直线上， 所以ACBECD，且BCDC， 所以ABCEDC（ASA）， 所以ABDE（全等三角形的对应边相等）. 小军的做法有道理， 其理由如下：因为在ABC和DCE中， CDCA，ACBDCE（对顶角相等），CEBC， 所以ABCDEC（SAS）， 所以ABDE（全等三角形的对应边相等）. 16