一元二次方程复习提纲

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1、一元二次方程复习提纲一，知识结构梳理（1）含有 个未知数。（2）未知数的最高次数是 1、概念（3）是 方程。 （4）一元二次方程的一般形式是 。（1） 法，适用于能化为 的一元二次方程。一元二次方程（2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a，b 为两个因式）, 则a=0或 （3） 法 （4） 法，其中求根公式是 （5） 法当 时，方程有两个不相等的实数根。（6） 当 时，方程有两个相等的实数根。当 时，方程有没有的实数根。可用于解某些求值题 （1） 一元二次方程的应用（2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4） （5） （6） 二，知识点归类（一）建立一元二次方程模型1，

2、一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？；（3）；（4）；（5）答案：（2），（4）2， 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系

3、数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。例：(2012广安中考试题第8题，3分)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）Aa2Ba2Ca2且a1Da-2思路导引：一元二次方程有两个不相等的实数根，由于二次项系数是字母的代数式形式，注意两点，一是二次项系数不等于0，二是根的判别式大于0解析：=44(a1)1=84a0，所以a2，结果选 C。点评：含有字母二次项系数的一元二次方程根的判别问题，不可忽视二次项系数不为0 这一条件，以免得出不和题意的答案3， 一元二次方程的解 使方

4、程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。例（2012贵州安顺）已知1是关于x的一元二次方程（m1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A1B1C0D无法确定考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。解：根据题意，将x = 1 代人到方程中得：（m1）+1+1 =0，解得：m =1故选B4， 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。例：（2012山东省青岛市，12

5、，3）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为 .【解析】由题意得（22-x）(17-x)=300. 【答案】（22-x）(17-x)=300 【点评】本题主要考查列方程的能力.把所修的两条道路分别 平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植园地是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程（二） 因式分解法、直接开平方法1， 因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。用因式

6、分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例（2012铜仁）一元二次方程的解是 考点：解一元二次方程-因式分解法。解：原方程可化为：（x3）（x+1）=0，x1=3，x2=12， 直接开平方法解一元二次方程若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。（1）的解是；（2）的解是；（3）的

7、解是。例： （2011山东淄博14，4分）方程x22=0的根是 分析：这个式子先移项，变成x2=2，从而把问题转化为求2的平方根，直接得出答案即可解：移项得x2=2，x=故答案为：点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a0）的形式，利用数的开方直接求解3， 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。例（2011，台湾省，29,5分）若方程式（3xc）260=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（ ）A、1B、8C、16D、6

8、1分析：利用平方根观念求出x，再根据一元二次方程的两根都为正数，求出c的最小值即可解： （3xc）260=0 （3xc）2=603xc= 3x=c x=又两根均为正数，且7所以整数c的最小值为8故选B点评：本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，要根据方程的特点选择适当的方法4， 用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。例 （2011浙江衢州，11，4分）方程x22x=0的解为 分析：把方程的左边分解因式得x（x2）=0，得到x=0或 x2=0，

9、求出方程的解即可解： x22x=0，x（x2）=0，x=0或 x2=0，x1=0 或x2=2注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。5.十字相乘法： 对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。 例5. （2011泰安，21，3分）方程2x25x30的解是_分析：先把方程两边同时除以2，化为（x3）（x）0的形式，再求出x的值即可解：原方程可化为：（x3）（x）0，故x13，x2故答案为：，（三）配方法1， 配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在

10、一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。例. （2012湖北荆门）用配方法解关于x的一元二次方程x22x3=0，配方后的方程可以是（）A（x1）2=4B（x+1）2=4 C（x1）2=16D（x+1）2=16解：把方程x22x3=0的常数项移到等号的右边，得到x22x = 3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x22x + 1 = 3 + 1，配方得（x1）2=4故选A2， 用配方法解二次项系数

11、为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；（2） 把原方程变为的形式。（3） 若，用直接开平方法求出的值，若n0，原方程无解。例：（2011辽宁本溪，4，3分）一元二次方程的根（ ）ABCD分析：运用配方法，将原方程左边写出完全平方式即可解：原方程左边配方，得，故选D点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数3， 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步

12、骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。例：用配方法解方程： 分析：用配方法的关键在于：先把二次项系数化为1，再移常数项；两边同时加上一次项系数一半的平方。解：化二次项系数为1得： ，两边同时加上一次项系数一半的平方得：配方得：开方得：移项得：2 ， 。（四）公式法1， 一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则

13、把及的值代人求根公式，求出。例. （2011湖北武汉，17，6分）解方程：x2+3x+1=0分析：根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便解：a=1，b=3，c=1且 = 50x=（五） 选择适合的方法解一元二次方程 直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。例：选择适当

14、的方法解下列方程：（1）； （2）（3）； （4）分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。解： （六） 一元二次方程根的判别式1,一元二次方程根的判别式 =运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1） =0方程有两个不相等的实数根；（2） =0方程有两个相等的实数根；（3） =0方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式；确定的值；计算的值；根据的符号判定方程根的情况。例 （2012南昌）已知关于x的一元二次方程x2+2xa=0有两

15、个相等的实数根，则a的值是（）A1B1CD分析：根据关于x的一元二次方程x2+2xa=0有两个相等的实数根可知=0，求出a的取值即可解：关于x的一元二次方程x2+2xa=0有两个相等的实数根，=22+4a=0，解得a=1故选B点评：本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根2, 根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根0（2）方程有两个相等的实数根=0（3）方程没有实数根0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但

16、不能忽略二次项系数不为0这一条件。例1（2012上海）如果关于x的一元二次方程x26x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 解：关于x的一元二次方程x26x+c=0（c是常数）没有实根，=（6）24c0，即 364c0，c9故答案为c9例2.（2012常德）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 （ ） A. B. C. D.分析：一元二次方程有实数解，则0，然后再解不等式。答案：B点评：此题是一元二次方程判别式的逆用（即根据方程根的情况去列不等式解决方程 中字母的取值范围）(七) 一元二次方程的根与系数的关系若是一元二次方程的两个根，则有， 根据一元二次方程的根与系数的关系求值

17、常用的转化关系：（1） （2）（3）；（4）=例 1， （2012武汉）若x1，x2是一元二次方程x23x+2=0的两根，则x1+x2的值是（ ）A2B2C3D1解：由一元二次方程x23x+2=0，x1+x2=3，故选C例 2，（2012张家界）已知m和n是方程2x25x3=0的两根，则 = 解：m和n是方程2x25x3=0的两根，m+n = = = ，mn= = ， + = = = 故答案为（八）一元二次方程的应用知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。关键点：找出题中的等量关系。知识点二 用一元二次方程解与

18、增长率（或降低率）有关得到问题增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为；（2）若基数为a，降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为。例1（2012成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都 是 ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A B C D 解：设平均每次提价的百分率为x，根据题意得：，故选C例2（2012黑龙江省绥化市，9，3分）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20；乙超市一次性降价40；丙超市第一次降价30，第二次降价10，此时顾

19、客要购买这种商品，最划算的超市是 【解析】 解：在甲家超市购买需付：m(1-20)2=0.64m元；在乙家超市购买需付：m(1-40) =0.6m元；在丙家超市购买需付：m(1-30) (1-10)=0.63m元而实际问题m0，故0.64m0.63m0.6m，所以顾客在乙家超市购买最划算【答案】 乙【点评】 本题主要考查了日常生活中常见的方案选择比较问题，解此类题型的关键是读懂题意，根据题目意思将实际问题转化为数学问题解决，再由数学结果判断出实际问题的结果选择难度中等知识点三 用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有

20、：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价进货价）进货价100%；（3）销售额=售价销售量例（2012山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？解答：（1）解：设每千克核桃应降价x元 1分 根据题意，得 （60x40）（100+20）=2240 4分 化简，得 x210x+24=0

21、 解，得x1=4，x2=66分答：每千克核桃应降价4元或6元 7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元 8分 此时，售价为：606=54（元）， 9分答：该店应按原售价的九折出售 10分知识点四 用一元二次方程解与面积的问题例：（2012襄阳）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且

22、每段小道均为平行四边形） *知识点五 一元二次方程与二次函数的关系一元二次方程也可以用二次函数来表示，一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y=0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了.*例（成都）有七张正面分别标有数字，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则使关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且以为自变量的二次函数 的图象不经过点(1，O)的概率是_考点：二次函数图象上点的坐标特征；根的判别式；概率公式。解：x22（a1）x+a（a3）=0有两个不相等的实数根，0，2（a1）24a（a3）0，a1，将（1，O）代入y=x2（a2+1）xa+2得，a2+a2=0，解得（a1）（a+2）=0，a1=1，a2=2可见，符合要求的点为0，2，3P=故答案为12