高三数学第一轮复习讲义直线与平面垂直

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1、高三数学第一轮复习讲义 直线与平面垂直高考要求 1理解直线和平面垂直的概念 掌握直线和平面垂直的判定定理；2掌握三垂线定理及其逆定理3掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理 4通过例题的讲解给学生总结归纳证明线面垂直的常见方法：（1）证直线与平面内的两条相交直线都垂直；（2）证与该线平行的直线与已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性质定理；（4）同一法； 知识点归纳 1 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a2直线与平面垂直的判定、

2、性质定理：判定方法OPaA图形符号语言三垂线定理如果平面内的一条直线垂直于一条斜线在平面内的射影，那么这条直线垂直于斜线。OPaAaPOPO=OPA=AaaAO如果平面内的一条直线垂直于平面的一条斜线，那么这条直线垂直于斜线在平面内的射影。aAOPO=OPA=AaaPO直线与平面垂直定义：如果一条直线垂直于平面内的任意一条直线，那么，这条直线就垂直于这一平面。baaabb为内任一在线如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线就垂直于这个平面。abOcb、cbc=Oabaca13、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

3、（2）范围：；（3）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。【基础训练】（1）.“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l”的A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件（2）下列命题中，正确的是 、若直线平行于平面内的一条直线b , 则 / 、若直线垂直于平面的斜线b在平面内的射影，则b、若直线垂直于平面,直线b是平面的斜线，则与b是异面直线、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥；（3）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且

4、总保持APBD1，则动点P的轨迹是_（4）如果命题“若z，则”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_；（5）已知a，b，c是直线，、是平面，下列条件中能得出直线a平面的是 A、ab，其中，B、ab ，C、， D、，；（6）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为_；（7）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是_；（8）是从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，则直线与平面所成角的余弦值为_；（9）若一平面与正方体的十二条棱所在直线

5、都成相等的角，则sin的值为_。（10）.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则（1）A点到CD1的距离为_；（2）A点到BD1的距离为_；（3）A点到面BDD1B1的距离为_；（4）A点到面A1BD的距离为_；（5）AA1与面BB1D1D的距离为_.【典型例题】例1 已知直线a平面，直线b平面，O、A为垂足.求证：ab.例2 已知PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过A点作AEPC于点E，求证：AE平面PBC 证明： 例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1=A1C1，A1BAC1，求证：A1BB1C 例4 如图9-12, 矩形所在平面, 分别是和的中点. (1

6、)求证: 平面 (2)求证: (3)若, 求证:平面 【巩固练习】1.给出下列命题，其中正确的两个命题是直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 直线m平面，直线nm，则n a、b是异面直线，则存在唯一的平面，使它与a、b都平行且与a、b距离相等A. B. C. D.2.在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体SEFG中必有A.SG平面EFG B.SD平面EFGC.FG平面SEFD.

7、GD平面SEF3.ABC的三个顶点A、B、C到平面的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在的同侧，则ABC的重心到平面的距离为_.4.如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD.5.在三棱锥SABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在ABC的AB边的高CD上，点MSC，截面MAB和底面ABC所成的二面角MABC等于NSC，求证：SC截面MAB.6.如下图，在ABC中，ACB=90，AB=8，BAC=60，PC平面ABC，PC=4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值.7.如下图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，

8、ABC=90，AEPB于E，AFPC于F，求证：（1）BC平面PAB；（2）AE平面PBC；（3）PC平面AEF.8.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA底面ABCD.（1）当a为何值时，BD平面PAC?试证明你的结论.（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PMDM.（3）若在BC边上至少存在一点M，使PMDM，求a的取值范围.分析：本题第（1）问是寻求BD平面PAC的条件，即BD垂直平面PAC内两相交直线，易知BDPA，问题归结为a为何值时，BDAC，从而知ABCD为正方形.（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BDAC.又PA底面ABCD，

9、BD平面ABCD，BDPA.BD平面PAC.故当a=2时，BD平面PAC.（2）证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN.ABMN和DCMN都是正方形，AMD=AMN+DMN=45+45=90，即DMAM.又PA底面ABCD，由三垂线定理得，PMDM，故当a=4时，BC边的中点M使PMDM.（3）解：设M是BC边上符合题设的点M，PA底面ABCD，DMAM.因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD2AB，即a4为所求.评述：本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识.因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用.事实上，立体几何问题最终是

10、在一个或几个平面中得以解决的.9.正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将AED及DCF折起（如下图），使A、C点重合于A点.（1）证明：ADEF；（2）当F为BC的中点时，求AD与平面DEF所成的角；（3）当BF=BC时，求三棱锥AEFD的体积.（1）证明：ADAE，ADAF，AD平面AEF.ADEF.（2）解：取EF的中点G，连结AG、DG.BE=BF=1，EBF=90，EF=.又AE=AF=1，EAF=90，AGEF，得AG=.AGEF，ADEF，AGAD=A，EF平面ADG.平面DEF平面ADG.作AHDG于H，得AH平面DEF，ADG为AD与平面DEF所成的

11、角.在RtADG中，AG=，AD=2，ADG=arctan.（3）解：AD平面AEF，AD是三棱锥DAEF的高.又由BE=1，BF=推出EF=，可得S=，VAEFD=VDAEF=SAD=2=.【例1】 （2020年全国）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别是其所在棱的中点，能得出l平面MNP的图形的序号是_.解析：对，易用三垂线定理证明lMN，lPM，故l平面MNP；对，易知l平面ABC，但点M、N位于该平面的两侧，故平面MNP不平行平面ABC，从而l不垂直平面MNP；同理，也不垂直；对，易证lMN，lMP，故正确；对，易知平面MNP平面ABC，而l平面ABC，故正确

12、.答案：【例2】 （2020年春季上海）如下图，点P为斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1上一点，PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N.（1）求证：CC1MN；（2）在任意DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF22DFEFcosDFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.（1）证明：CC1BB1CC1PM，CC1PN，CC1平面PMNCC1MN.（2）解：在斜三棱柱ABCA1B1C1中，有S=S2+S22SScos，其中为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角.CC1平面PMN，上述的二面角为

13、MNP.在PMN中，PM2=PN2+MN22PNMNcosMNPPM2CC12=PN2CC12+MN2CC122（PNCC1）（MNCC1）cosMNP.由于S=PNCC1，S=MNCC1，S=PMBB1，有S=S2+S22SScos.答案：B（答：D）（答：线段B1C）（答：x、y是直线，z是平面）（答：D）（答：arcsin）（答：）（答：）（答：）答案：（1） （2） （3） （4） （5）证明：以O为原点直线a为z轴，建立空间直角坐标系，i、j、k为坐标向量，直线a、b的向量分别为a、b.设b=（x，y，z），b，bi=x=0，bj=y=0，b=（0，0，z）=zk.bk，ab.评述：

14、因证明两直线平行，也就是证明其方向向量共线，所以，利用两向量共线的充要条件证明两直线平行是新教材基本的数学方法，应做到熟练运用.证明：PA平面ABC，PABC又AB是O的直径，BCAC而PCAC=C，BC平面PAC又AE在平面PAC内，BCAEPCAE，且PCBC=C，AE平面PBC点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a直线b，直线a平面，则直线b平面”证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1B1C1=A1C1，C1D1ABB1A1连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，A1BAC1，A1BAD1取AB的中点D，连结CD

15、、B1D，则B1DAD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影B1DA1B，A1BB1C点评：证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理 分析 仿例1证明(1)(2), 而要证明“线面垂直”,可依据判定定理转化为证“线线垂直”. 证明 (1)取的中点, 连. 由得, 是平行四边形, . 又平面 平面 平面 (2)平面 又 平面又 平面 则 再由得 (3)在等腰RtPAD中, 是的中点, , 由 又由 得平面【巩固练习】解析：错误.如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交.正确.如下图，平面，A，C，D，B且E、F分别为AB、CD的中

16、点，过C作CGAB交平面于G，连结BG、GD.设H是CG的中点，则EHBG，HFGD.EH平面，HF平面.平面EHF平面平面.EF，EF.错误.直线n可能在平面内.正确.如下图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作aa，bb，则a、b确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的.答案：D解析：注意折叠过程中，始终有SG1G1E，SG3G3F，即SGGE，SGGF，所以SG平面EFG.选A.答案：A的重心为G，连结CG交AB于中点E，又设E、G在平面上的射影分别为E、G，则EAB，GCE，EE=（AA+BB）=，CC=4，CGGE=21，在直角梯形

17、EECC中可求得GG=3.答案：3 cm解析：如下图，设A、B、C在平面上的射影分别为A、B、C，ABC证明：连结MO. DBA1A，DBAC，A1AAC=A，DB平面A1ACC1.又A1O平面A1ACC1，A1ODB.在矩形A1ACC1中，tanAA1O=，tanMOC=，AA1O=MOC，则A1OA+MOC=90.A1OOM.OMDB=O，A1O平面MBD.证明：CD是SC在底面ABC上的射影，ABCD，ABSC.连结MD.MDC=NSC，DMSC.ABDM=D，SC截面MAB.解：P是定点，要使PM的值最小，只需使PMAB即可.要使PMAB，由于PC平面ABC，只需使CMAB即可. BAC=60，AB=8，AC=ABcos60=4.CM=ACsin60=4=2.PM=2.PC平面AEF.证明：（1）PA平面ABCBC平面PAB.PABCABBCPAAB=A AE平面PBC.（2）AE平面PAB，由（1）知AEBC AEPB PBBC=B（3）PC平面PBC，由（2）知PCAE PCAF AEAF=A