专题：与圆有关的最值问题

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1、 与圆有关的最值（取值范畴）问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2设tanBOC=m，则m的取值范畴是_引例2：如图，在边长为1的等边OAB中，以边AB为直径作D，以O为圆心OA长为半径作O，C为半圆弧上的一种动点（不与A、B两点重叠），射线AC交O于点E，BC=，AC=，求的最大值.引例3：如图，BAC=60，半径长为1的圆O与BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ). A3 B6 C D一、题目分析： 此题是一种圆中的动点问题，

2、也是圆中的最值问题，重要考察了圆内的基本知识、基本技能和基本思维措施，注重了初、高中知识的衔接1引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同步对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考察，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一种动点，增长为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增长了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一种

3、定点A构成三角形的不变条件（DAE=60），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回忆这三个问题，知识自身的难度并不大，但其难点在于学生不懂得转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想核心位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题方略1直观感觉，画出图形；2特殊位置，比较成果； 3理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.三、中考展望与题型训练例一、斜率运用如图，A点的坐标为（-2，1），以A为圆心的A切x轴于点B，P为A上的一种动点，请分别摸

4、索：的最大值；的最小值；的最大值；的最大值；【拓展延伸】：的范畴；的范畴；例二、圆外一点与圆的近来点、最远点1如图，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，点D是平面内的一种动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范畴是 .2如图，O的直径为4，C为O上一种定点，ABC=30，动点P从A点出发沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点达到B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范畴为 ；（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为 .例三、正弦定理1如图，ABC

5、中，BAC=60，ABC=45，AB=，D是线段BC上的一种动点，以AD为直径作O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为 2. 如图，定长弦CD在以AB为直径的O上滑动（点C、D与点A、B不重叠），M是CD的中点，过点C作CPAB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是 例四、柯西不等式、配措施1如图，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2x4），则当x= 时，PDCD的值最大，且最大值是为 .2如图，线段AB=4，C为线段AB上的一种动点，以A

6、C、BC为边作等边ACD和等边BCE，O外接于CDE，则O半径的最小值为( ).A.4 B. C. D. 23在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画O，P是O上一动点，且P在第一象限内，过点P作O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 .例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是 .2如图，RtABC中，C=90，A=30，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作O，若O与边BC始终有交点（涉及B、C两点），则线段AO的取值

7、范畴是 . 3如图，射线PQ射线MN，PMMN，A为PM的中点，O为射线PQ上的一种动点，ACAB交MN于点C，当以O为圆心，以OB为半径的圆与线段PM有公共点时（涉及P、M两点），则线段OP长度的最小值为 .例五、其她几何知识的运用如图所示，ACAB，AB=6，AC=4，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DECD交直线AB于点E，设DAB=，（090）若要使点E在线段OA上（涉及O、A两点），则的取值范畴为 .【题型训练】1如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在O上存在点Q，使QAC是以AC为底边的等腰三角

8、形，则O的半径r的取值范畴为 .2已知：如图，RtABC中，B=90，A=30，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(t0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EGDE交射线BC于G.（1）若点G在线段BC上，则t的取值范畴是 ；（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范畴是 .3如图，M，N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cmP为M上的任意一点，Q为N上的任意一点，直线PQ与连心线所夹的锐角度数为，当P、Q在两圆上任意运动时，的最大值为( ).(A) (B) (C) (D)4如图，在矩形ABC

9、D中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作D，P为D上的一种动点，连接AP、OP，则AOP面积的最大值为( ). (A)4 (B) (C) (D)5如图，在RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，通过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).A B C5 D6如图，在等腰RtABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重叠），过A、D、E三点作O，O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为 7如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C的圆心的

10、坐标为(-1，0)，半径为1，若D是C上的一种动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是( ). A2 B1 C. D.8如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是C上的一种动点，射线AD与y轴交于点E，则ABE面积的最大值是( ). A3 B C D49如图，等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC=4，C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.410如图BAC60，半径长1的O与BAC的两边相切，P为O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的P交射线AB、A

11、C于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范畴为 .11在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（）是第一象限内一点，且AB=2，则的范畴为 .12在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B是y轴右侧一点，且AB=2，点C上直线y=x+1上一动点，且CBAB于点B，则，则的取值范畴是 .13在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .综合点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观测，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！