贝塞尔函数（ＰＰＴ）

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1、数学物理方法数学物理方法贝塞尔函数(Bessel Function)一、贝塞尔函数的引出一、贝塞尔函数的引出 在在柱坐标系下，对拉普拉斯（柱坐标系下，对拉普拉斯（Laplace）方程或亥姆霍兹（）方程或亥姆霍兹（Helmholtz）方程进行分离变量，将导出方程进行分离变量，将导出 n 阶阶 Bessel 方程。方程。柱坐标系中用分离变量法解拉普拉斯柱坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程问题时方程问题时,以以 (,)()()()uzRZ z 代入代入 Lplace 方程方程2222211()0uuuz 如果圆柱上、下两底的边界条件不是齐次的，而圆柱的侧面的边界条件是如果圆柱上、下两底的边界条件不是

2、齐次的，而圆柱的侧面的边界条件是齐次的，就得出齐次的，就得出22222()()0d yd yxxxny xd xd x 一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表示，从而就导入了一一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表示，从而就导入了一类特殊函数类特殊函数贝塞尔函数。贝塞尔函数。0)()(cossin)(2222222121RndRddRdeBeBzZnAnAzz引入新的自变量引入新的自变量 ,上面最后一个方程可改写为上面最后一个方程可改写为x 其中其中,n 为任意实数或复数为任意实数或复数,本章中本章中 n 只限与实数只限与实数.二、贝塞尔方程的解二、贝塞尔方程的解这就是贝塞尔方程这就是

3、贝塞尔方程.22222()()0d yd yxxxny xd xd x贝塞尔方程贝塞尔方程 设上述贝塞尔方程有一个级数解，其形式为设上述贝塞尔方程有一个级数解，其形式为 0)(002210axaxaxaxaaxykckkkkc 其中其中,常数常数 和和 可以通过把可以通过把 和它的导数和它的导数 、代入上式代入上式 来确定。来确定。c)2,1,0(kakyyy 到此，我们可以得到一个特解到此，我们可以得到一个特解)0()1(!2)1(2201nmnmxymnmnmm用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴

4、上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为 n 阶第一类贝塞尔函数，记阶第一类贝塞尔函数，记作作)0()1(!2)1()(220nmnmxxJmnmnmmn贝塞尔方程的一个特解贝塞尔方程的一个特解当当 n 为正整数或零时，为正整数或零时，故有，故有)!()1(mnmn.)2,1,0()2()!(!)1()(20nxmnmxJmnmmn),2,1,0()!(!2)1()(220nmnmxxJmnmnmmn或或nxJnxJxYnnnsin)(cos)()()()()(xYixJxHnnnn 阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数n 阶纽曼函数阶纽曼函数 (第二类第二类n 阶贝

5、塞尔函数阶贝塞尔函数)n 阶汉克尔函数阶汉克尔函数 (第三类第三类n 阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数)(n 整数整数)贝塞尔函数的图象x()nJx诺伊曼函数的图象x()nJx 三、当三、当n为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解 取哪一个特解取哪一个特解?一般情况下认为选取第二类贝塞尔函数比较方便一般情况下认为选取第二类贝塞尔函数比较方便.不过不过,当当 n 为整数时为整数时nxJnxJxYnnnsin)(cos)()(上式右端无意义上式右端无意义!为此为此,要想写出整数阶贝塞尔方程的通解要想写出整数阶贝塞尔方程的通解 必须要修改第二类贝塞尔函数的定义必须要修改第二类贝塞尔函数的定义.在在

6、 n 为整数的情况下为整数的情况下,我们定义第二类我们定义第二类贝塞尔函数为贝塞尔函数为)()()(xBYxAJxynnnxJnxJxYnnnansin)(cos)(lim)(由于当由于当 n 为整数时为整数时,所以上式右端的极限所以上式右端的极限是是 形式的不定型的极限形式的不定型的极限,依据洛必达法则并经过冗长的推导依据洛必达法则并经过冗长的推导,最后得到最后得到)(cos)()1()(xJnxJxJnnnn00,11)!()2()1(2)2)(ln(2)(1002200mkmmmkmxcxxJxY),3,2,1()1111()!(!)2()1(1)2()!()!1(1)2)(ln(2)(

7、10100221020nkkmnmxxmmncxxJxYmkmnkmmnmmnnmn,5772.0)ln131211(limnncn其中其中,称为欧拉常数称为欧拉常数.依据重新定义的函数依据重新定义的函数,它的确是贝塞尔方程的解它的确是贝塞尔方程的解,而且与而且与 是线性无是线性无关的关的(因为当因为当 时时,为有限值为有限值,而而 为无穷大为无穷大.)(xJn0 x)(xJn)(xYn综上所述综上所述,贝塞尔方程贝塞尔方程22222()()0d yd yxxxny xd xd x.)()(xYBxJAynn的通解为的通解为其中其中 A,B 为任意常数为任意常数,n 为任意实数为任意实数.四、

8、贝塞尔函数的生成函数四、贝塞尔函数的生成函数函数函数nnttxtxJe)()1(2 称为整数阶第一类贝塞尔函数的生成函数称为整数阶第一类贝塞尔函数的生成函数.它对于得到它对于得到 n 取整数值的第一类取整数值的第一类贝塞尔函数的诸多性质是非常有用的贝塞尔函数的诸多性质是非常有用的,然后常可证明这些性质对所有的然后常可证明这些性质对所有的 n 也也成立成立.五、贝塞尔函数的递推公式五、贝塞尔函数的递推公式 不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的,而是有一定的联系而是有一定的联系,这种联这种联系系建立在递推公式上建立在递推公式上.首先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的

9、关系首先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系.在下式中在下式中,令令 n=0 及及 n=1),2,1,0()(!2)1()(220nmnmxxJmnmnmmn),2,1,0()!(!2)1()(220nmnmxxJmnmnmmn22266244220)!(2)1()!3(2)!2(221)(kxxxxxJkkk)!1(!2)1(!4!32!3!22!222)(12127755331kkxxxxxxJkkkn=0；m=0：n=1；m=0：22212222221)!1(2)22()1()!1(2)1(kxkkxdxdkkkkkk)!1(!2)1(1212kkxkkk取出第一个级数取出第一个级数 的第

10、的第 k+1 项求导数项求导数,得得0()Jx22212222221)!1(2)22()1()!1(2)1(kxkkxdxdkkkkkk)!1(!2)1(1212kkxkkk)!1()!1(2)1(2)1(2212kkxkkkk)!1)(1(!2)1(2)1(2212kkkxkkkk!)1()!1(kkk!3)13(!4)!13()!1(!2)1(!4!32!3!22!222)(12127755331kkxxxxxxJkkkn=1；m=0：得到关系得到关系10)(JxJxdd )!1(!2)1(!4!32!3!22!222)(12127755331kkxxxxxxJkkk将将 乘以乘以 并求导

11、数并求导数,又得到又得到)(1xJx)!1)(!(2)1(!222)(12123421 kkxxxxddxxJxddkkk 221223)!(2)1(2kxxxkkk)!(2)1(21 22222 kxxxkkk即即)()(01xxJxxJxdd 以上结果以上结果,可以推广可以推广.)()(01xxJxxJxdd 10)(JxJxdd 下列结论对所有的下列结论对所有的 n 都是成立的都是成立的:.)()()6(;)()()5(;)()()()4(;)()()()3(;)()(21)()2(;)()(2)()1(11111111xJxxJxxddxJxxJxxddxnJxxJxxxxJxnJxx

12、xJxJxxJxJxnxJnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnJJJ 六、可变换成贝塞尔方程的方程六、可变换成贝塞尔方程的方程方程方程0)()12(2222 yxyxkyx 其中其中 都是常数都是常数,有通解有通解 ,k )()(21 xYcxJcxyk其中其中 若若 ,方程可视为欧拉或柯西方程方程可视为欧拉或柯西方程,是可解的是可解的.22 k0 七、贝塞尔函数的渐近公式七、贝塞尔函数的渐近公式对于大的对于大的 值值,有下列渐近公式有下列渐近公式:x.)24sin(2)(,)24cos(2)(nxxxYnxxxJnn 八、贝塞尔函数的零点八、贝塞尔函数的零点 在求园盘的温度分布时在求园盘

13、的温度分布时,是通过分离变量法是通过分离变量法,转化为求解贝塞尔方程的转化为求解贝塞尔方程的本征值问题本征值问题:0)(RJn 为了求出上述本征值方程的本征值为了求出上述本征值方程的本征值 ,必须要计算必须要计算 的零点的零点.有没有实的零点有没有实的零点?若存在实的零点若存在实的零点,一共有多少个一共有多少个?关于这些问题关于这些问题,有以下有以下几个结论几个结论.)(xJn)(xJn（1）有无穷多个单重实零点有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在且这无穷多个零点在 x 轴上关于原轴上关于原 点对称分布点对称分布。自然。自然 必有无穷多个正的零点。必有无穷多个正的零点。)(xJn)(xJn

14、（2）的零点与的零点与 的零点彼此相间分布的零点彼此相间分布。)(1xJn)(xJn（3）以）以 表示表示 的非负零点（正的零点）（的非负零点（正的零点）（m=1，2，),则则 当当 时时,其值将无限地接近于其值将无限地接近于,即即 几乎是以几乎是以 2 为周期的周期函数为周期的周期函数.)(xJn)(nm mnmnm)()(1 )(xJnx1()Jx0()Jx 九、贝塞尔函数的正交性九、贝塞尔函数的正交性 在求园盘的温度分布时在求园盘的温度分布时,是通过分离变量法是通过分离变量法,转化为求解贝塞尔方程的转化为求解贝塞尔方程的本征值问题本征值问题:0)(RJn 本征值方程本征值方程 上述本征方

15、程的解为上述本征方程的解为:),2,1()(mRnm 即即2)()()(Rnmnm 本征值本征值与这些本征值相对应的本征函数为与这些本征值相对应的本征函数为:),2,1()()()(mrRJrPnmnm 本征函数本征函数),2,1()()()(mrRJrPnmnm 本征函数本征函数),2,1()()(mrRJnmn 本征函数系本征函数系 的正交性的正交性.rdrRJrRJrnknnmRn)()()()(0 .,)(2)(2,0)(212)(212kmJRJRkmnmnnmn 1)()(mnmnrRJ R,0r 在在 上上,带权重带权重 正交正交.若若 和和 是两个不同的常数是两个不同的常数,可以证明可以证明 2210)()()()()()(nnnnnnJJJJxdxJxJx而而 )()1()(21)(2222102 nnnJnJxdxJx 由第一式我们看到由第一式我们看到,若若 和和 是方程是方程 0)()(xJxSxJRnn的任意两个不同的根的任意两个不同的根(这里这里 R,S 是常数是常数),则则0)()(10 xdxJxJxnn 它表明它表明 和和 在在(0,1)是正交的是正交的.我们也可以说我们也可以说 和和 是关于权函数是关于权函数 正交的正交的.)(xJxn)(xJxn)(xJxn)(xJxn x