数值积分的计算方法论

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1、数值积分本文应用插值积分法和逼近论的思想，简单重述了推导Newton-Cotes公式和Gauss-Legendre求积公式的过程，以及这两个公式的系数、精度等问题。并以这两种数值积分的求解方法为基础，应用quad、guass函数编写具体Matlab程序，通过计算机软件计算出所给题目的近似数值积分。对二者所得的结果进行比较，从而研究了用Newton-Cotes和Gauss-Legendre公式求积分的方法和二者的精确度问题。得知，这两种求积公式所得的结果在精度上的确存在差异，结合理论部分更加充分地说明了，n相同时Gauss-Legendre公式比Newton-Cotes公式具有更高的代数精度，但

2、当代数精度相同时，二者计算的结果仍存在细微的差异。 理论依据逼近论构造一个简单函数p(x)近似表示f(x),然后对 p(x)求积分得到 f(x)的积分的近似值。基于插值原理，推导出数值积分的基本公式。1插值求积公式为了用数值方法求，对被积函数f(x)在给定的n+1个节点上作Lagrange插值，用插值函数Pn(x)代替f(x)，就可用I（Pn(x)）构造求积公式，近似地计算定积分I(f(x)。2NewtonCotes公式2.1NewtonCotes公式的推导当1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到NewtonCotes公式。将区间a,bn等分，n+1个节点为xk=a+kh (k=0,

3、1,n)在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：用Pn(x)代替f(x)构造求积公式：记，(k=0,1,n)作代换x=a+th带入上式，变为：其中： (k=0,1,n) （1-1）这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间a,b无关。只要确定n就能计算出系数。于是得到称为NewtonCotes公式的求积公式： （1-2）其中称为NewtonCotes系数。如表1所示。表1 NewtonCotes系数n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28825/9625/14425/14425/9019/28

4、8641/8409/359/28034/1059/2809/3541/8402.2NewtonCotes公式误差和稳定性在积分公式中用插值多项式Pn(x)代替f(x)的插值误差是因此，NewtonCotes公式的截断误差是 （1-3）讨论舍入误差对计算结果产生的影响，设（1-2）式近似计算其中计算函数值f(xn)有误差值（k=0,1,2, ,n）。在（1-2）式中令设计算无误差，舍入误差也忽略，则，由（1-2）式计算时引式的误差为如果皆为正，并设，则，故有界，即引起的误差受控制，不超过倍。保证了数值计算的稳定性。但当n8时，将出现负数，这时，数值计算的稳定性不能保证，所以节点超过8时Newto

5、nCotes公式不能用。当n为偶数时，NewtonCotes积分公式具有n+1次代数精度。2.3经典NewtonCotes公式当n=4,5点公式称为经典NewtonCotes公式其中 (k=0,1,4)，它具有5次代数精度。3 Gauss-Legendre求积公式在积分区间a,b内对积分节点不作限制，不取等距，积分节点和求积系数都作为待定未知量。通过适当选择节点和求积系数，能构造更有效的高精度求积公式。3.1计算n阶求积公式若有m次代数精度，对(k=0,1,)应有而。3.2 Gauss求积公式的基本原理更一般形式： （2-1）为权函数，设0，且在a,b上可积，构造n阶求积公式： （2-2）积分

6、点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss点，（2-2）式称为Gauss求积公式。3.3 Gauss-Legendre求积公式求积分，权数=1，其中（i=0，1，n）是n+1阶Legendre多项式的零点，求积系数为：（i=0，1，n）具体Gauss-Legendre公式的插值节点和系数见表2（其中n为插值节点个数，为积分点，为对应积分点的系数）。表二Gauss-Legendre公式的插值节点和系数对一般区间a,b上的积分，通过代换： 将转换到。再用Gauss-Legendre求积公式：进行积分求解第1章 问题描述用NewtonCotes公式、Gauss-Legendre

7、求下列积公式计算积分，并比较结果： 第2章 问题分析题目给出的是用NewtonCotes公式、Gauss-Legendre求积分的问题，为了实现题目要求，应编写Matlab程序，实现计算被积函数在积分区间0,1的积分，得到最终结果。最后将二者得到的结果进行比较，得出关与NewtonCotes公式、Gauss-Legendre求积公式精确度的结论。第3章 求解计算1NewtonCotes公式求解的Matlab程序1.1方法1：（1）在Matlab工作窗口中：fn=inline(2/(1+x.2);y1=quad8(fn,0,1)运行结果为：y1=1.5078（2）在Matlab工作窗口中：fn=

8、inline(1-1/2*(sin(x).2).(1/2);y2=quad8(fn,0,pi/2)运行结果为：y2 = 1.35061.2方法2：（1）建立M文件：function f=fn(x)f=2./(1+x.2)在Matlab工作窗口中调用函数：y1=quad8(fn,0,1)运行结果为y1=1.5078（2）建立M文件：function f=fn(x)f=(1-1/2*(sin(x).2).(1/2)在Matlab工作窗口中调用函数：y2=quad8(fn,0,pi/2)运行结果为：y2 = 1.35062 Gauss-Legendre求积公式求解的Matlab程序2.1Gauss-

9、Legendre方法的一些准备Gauss-Legendre：具有2n+1次代数精度。当n=2时，3阶Gauss-Legendre公式在-1，1上有三个零点：x0=0.7745967 x1=0 x2=-0.7745967即为高斯点发，对应的Gauss求积系数为： 对于任意区间（有界区间）a,b,将转换到。再用Gauss-Legendre求积公式： 进行积分求解2.2 n=2的Gauss-Legendre方法（1）先建立M文件：function g=gauss2(fun,a,b)h=(b-a)/2;c=(a+b)/2;x=h*(-0.7745967)+c,c,h*0.7745967+c;g=h*(

10、0.55555556*(gaussf(x(1)+gaussf(x(3)+0.88888889*gaussf(x(2);function y=gaussf(x);y=2./(1+x.2);在Matlab工作窗口中调用函数：y1=gauss2(gaussf,0,1)运行结果为：y1=1.5705（2）先建立M文件：function g=gauss2(fun,a,b)h=(b-a)/2;c=(a+b)/2;x=h*(-0.7745967)+c,c,h*0.7745967+c;g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)+gaussf(x(3)+0.88888889*gaussf(x(2)

11、;function y=gaussf(x);y=(1-1/2*(sin(x).2).(1/2);在Matlab工作窗口中调用函数：y2=gauss2(gaussf,0,pi/2)运行结果为：y2= 1.3508第4章 结论通过以上变成和计算，得到所求的两组积分： 应用NewtonCotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，NewtonCotes积分公式和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同时， Gauss -Legendre积分公式比NewtonCotes积分公式具有更高的代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度，NewtonCotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在微小的差异，结果都比较准确。