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1、上海应用技术学院课题名称：曲面积分求解金蛋问题系（院）：专业：班级：学生姓名：学号：指导教师：开课时间：目录一、问题提出31.1问题产生背景31.2问题描述3二、问题分析三、数学模型及公式推导3数值积分方法五、问题求解错误！未定义书签。六、结果比较与分析七、参考文献附录一、问题提出1.1问题产生背景在俄国沙皇的宫廷宝藏中,有许多复活节蛋,它们大都以金银制作,装饰着或者内藏各种钻石.而一只外表光滑的金蛋，仅凭外观我们很难判定其是否由纯金制作。1.2问题描述在俄国沙皇的宫廷宝藏中,有许多复活节蛋,它们大都以金银制作,装饰着或者内藏各种钻石.其中有一只较大的金蛋,蛋壳的外层表面是一个椭球面,其半长轴
2、，半短轴和半立轴分别为8cm,5.2cm,5cm蛋壳的厚度为0.24cm,重量是1680g.试问:这只复活节蛋的壳是否用纯金制作的?（金的密度为19.2g/T、）（1）写出复活节蛋表面积的积分表达式。（2）利用数值积分方法（simpson法）通过自己编程计算复活节蛋表面积和实际所需的黄金量。（3）利用MATLAB中自带的积分命令直接计算并和（2）的结果进行比较。二、问题分析问题中要求运用数值积分法和MATLAB里面自带的积分命令分别进行计算,并将结果进行比较：（1）运用数值积分法解决问题主要是通过大学数学知识写出椭圆表面积公式,然后计算实际所需的黄金量。（2）运用MATLAB里面自带的积分命令
3、对上述积分求解,然后再求出表面积和实际所需的黄金量（对于二重积分,可以在将区域划分为小块后,通过在每个区域上对被积函数作近似简化求积,然后将所得的值进行求和得到.）。三、数学模型及公式推导取球面中心为坐标原点,半椭圆的上侧为z轴的正方向建立直角坐标系,又三轴椭球面方程可表示为:3-1)x2y2z2+=1a2b2c2则为了计算的方便，计算过程采用如下的球坐标参数方程：工=acosc?casA;uy=6cos护sinA；Lt=csin弟(32)三轴椭球面的面积S是关于其3个半轴对称的，故可以先计算第一卦限的表面积,然后累加即可得到椭球体的面积,曲面面积的积分公式：其中：33)34)35)36)通过
4、式(4)(6)分别计算后得到:37)38)G=cos2亨A+azsinzX)39)则有：310)将式(10)代入式(3)得到带根号的积分式：这是一个难以计算的带根号的积分形式311)F=(口一力+6)cosAcossinsin这样便可求得在D上的积分I的近似值(4-1)sti和j(4-2)(4-3)(4-4)(4-5)(4-6)(4-7)四、数值积分方法考虑矩形区域D:0-s-c,0-1-d上的二重积分I=Kf(s,t)dsdtDs-s-s,t-t-t将D划分作mn个相等的小矩形IijTj，其st分别是和方向的分点，则：I=Jtj申(t)dtijti若对这两个单积分都用梯形法，就有：kCP(t
5、)=Jf(s,t)+f(s,t)i2iI而khIij显Nf(Si-1，tj-1)+f(Si。1)+f4)+f(Si，tj)乞iiji=1j=1那么对I=Jtj+1dtJsi+1f(s,t)dsijtj-1si-1j-1i-1(i=0,1,2,2m一1;j=0,1,2,2n一1)的两次积分都用Simpson法，就得到kJ吋(s,t)=_f(s,t)+4f(s,t)+f(s,t)s3i-1ii+1i-1t=V1一r2则：S二abf”fl:;2+R2（112）（竺辻+出）dtd0ooa2b2（4_8）接下来就可以用数值积分的方法把二重积分的积分区域05时，m取值越大，函数值越趋近于5.4818则可近
6、似得出体积V=表面积S*厚度d=5.4818*83.2*0.24=109.4605824进而得出近似质量：M=V*p=2101.64318208与题目所述的复活节金蛋质量为1680g不符，由此可知，该复活节金蛋并非纯金。六、结果比较与分析通过Simpson法（见附录1）计算得到的（表5-1）可知：当m5时，m取值越大，函数值越趋近于5.4818；而利用matlab中自带的积分命令计算得到的函数值为5.4818（见附录2）。由此可知，Simpson法与利用matlab中自带的积分命令计算所得到的结果及其近似。因此，我们可以确定无论是通过Simpson法还是利用matlab中自带的积分命令对该函数
7、进行计算都是可行的。七、参考文献定积分教堂顶部上海应用技术学院出版敬照亮主编MATLAB教程与应用清华大学出版社刘保柱主编MATLAB7.0入门人民邮电出版社张磊、郭莲英主编MATLAB使用教程电子工业出版社朱元泽、李贤彬主编MATLAB实用教程江苏大学出版社纪兵、边少锋编著三轴椭球表面积的计算海军工程大学出版附录由题可知：f(0,t)=t2+52(112)(cos2+sinf825.221、通过Simpson法的问题计算：在matlab中，定义函数：functiony=ty(s,t)a=8;b=5.2;c=5;y=sqrt(t”2+c2*(1-t”2)*(cos(s厂2/a2+sin(s厂2
8、/b2);%M文件m=2;k=pi/m;h=1/(2*m);sum=0;fori=1:2:(2*m-1)forj=1:2:(2*m-1)sum=sum+(k*h/9)*(ty(i-1)*k,(j-1)*h)+ty(i+1)*k,(j-1)*h)+ty(i-1)*k,(j+1)*h)+ty(i+1)*k,(j+1)*h)+4*(ty(i*k,(j-1)*h)+ty(i-1)*k,j*h)+ty(i+1)*k,j*h)+ty(i*k,(j+1)*h)+16*ty(i*k,j*h);endend2、利用matlab中自带的积分命令的问题计算：functiony=ty(s,t)a=8;b=5.2;c=5;y=sqrt(t2+c.2.*(1-12).*(cos(s).“2./a.“2+sin(s).2./b.“2);%M文件dblquad(ty,0,2*pi,0,1)ans=5.4818
复活节金蛋表面积计算实习报告
