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1、运用APOS理论进行概念教学的实践研究 平面直角坐标系的教学 上海市徐汇区教师进修学院 徐晓燕一、 有关APOS理论的概述数学概念的获得有两种重要方式：概念形成和概念同化概念形成规定学生由具体事实概括出新概念，运用学生在实际经验中大量的生动具体事例，以归纳的方式概括出一类事物的本质属性，初步形成一种新概念。而概念同化则直接向学生展示定义，运用原有认知构造中有关知识理解新概念，比较强调数学知识间的逻辑构造。而从课堂教学来看，有时存在重结论轻、重灌输轻引导，学生在概念过程的体验不够充足的状况下，就进行大量的概念巩固练习；有时又存在“情境过度”使得概念停留在具体、直观、视觉化的阶段，没有进行逐级升华
2、和抽象，学生无法建立和构造有关新概念的结识构造，无法直达概念本质。近年来，美国数学家杜宾斯基等人提出一种建构主义学说APOS理论。它将数学概念的获得分为“活动过程一对象一图式”四个阶段：(1) 活动阶段(Action)：亲身体验感受概念的直观背景和概念间的关系，通过操作活动理解概念的意义；(2) 过程阶段（Process）：对“操作”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，在头脑中进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质；(3) 对象阶段（Object）：结识概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一种具体的对象；(4) 图式阶段（Scheme）：不仅反映概念的定义及符号，还要建立
3、与其他概念、规则、图形的联系，形成综合的心理图式。它强调在数学概念学习中，一方面解决的数学问题要有社会现实背景，并规定学生开展多种各样的数学活动，在活动中学生在已有的知识和经验基本上，通过思维运算和反省抽象，对概念具有的直观背景和形式定义进行必要的综合，从而达到建构数学概念的目的。APOS理论真实地反映了学习数学概念的思维过程，它不仅指出学生的概念学习是建构的过程，还指明了建构的层次；既强调了概念形成对过程的体验，还强调了概念建构的最后成果-在脑海里建立综合的心理图式；既注重学生的概念学习的特点，又关注了概念之间的逻辑体系。APOS理论解释了数学概念学习的本质，是具有数学学科特色的学习理论。
4、二、运用“APOS理论”进行课例研究与实践上海教育出版社七年级第一学期平面直角坐标系：在众多的初中数学概念中，平面直角坐标系具有典型意义，它是沟通数与形的平台，同步从数学知识的逻辑构造上来说，它是数轴从一维到二维的延伸。它是一种比较抽象的规定性的概念，对于规定性定义要讲清两点：一是规定的必要性，即为什么要规定（平面上的点的表述）：二是规定的合理性（和有序是数对一一相应），即这样规定的道理，要体现这个概念在现实世界中的具体模型，沟通数学和生活间的联系。结合初一学生特点，运用APOS理论的指引，进行了如下教学尝试：5有志自万事4书天者勤贵3标宝奋可来2敏里成才大1的竞打库想ABCDEn 活动阶段：
5、创设问题情景，在活动中思考问题大部分数学概念的形成都要经历一种反省和抽象的过程，而反省的基本，就是活动，我们通过学生熟悉而感爱好的对象提供外部刺激，让学生进行感知转换和反省。（1）我当破译小高手（如图）1、请破译下列密码：A5 B5 C4 E5 B1 C2 （有智者事竟成）2、请编制密码：天才来自勤奋(B4 D2 E3 C5 D4 C3)（2）我做影院服务生 1、你会在电影院内找到电影票上所指的位置，对号入座吗？ 2、在电影票上，“4排3号”与“3排4号”是同一种座位吗，为什么？（3）我帮教师解决问题 开家长会时，你能向家长简介你的座位在教室中的位置吗（以门为参照）？ 【设计意图】一方面通过三
6、个情境问题，让学生从自己切身的生活实际和经验中“感悟”坐标思想的存在，从“密码”游戏中初步感悟一种点的位置在一定的规则下需要两个要素来表达；再通过“影院座位”问题感悟点的位置在一定的规则下相应两个有序实数. 最后通过“学生的座位”问题进一步感悟点的位置描述需要有一种参照物或者“基准点”.n 过程阶段：体验抽象直角坐标系概念的过程 通过前面的活动，学生从中不断反思，在大脑内部形成一种稳定的心理建构，学生结识到对平面上的点的表达需要在一种规则下描述方向和大小两个要素，但是还是需要一定的刺激，来进一步激发学生进行思维内化和压缩，在头脑中进行描述和反思，于是我们进一步设计了一下问题：（4）若教师站在教
7、师第三排的走廊中间（如图的五星位置），先请四位同窗（图2中红色线上的四个圆点）用自己的语言表达自己的位置在教师的什么位置？相对位置的同窗该怎么说清晰？（5）再请两位同窗（图2中的此外两个圆点）用自己的语言表达自己的位置在教师的什么位置？相对位置的同窗该怎么说清晰？（6）回忆之前学过的有关数轴的内容数轴的三要素以及数轴上的每一种点都相应着一种实数值，那么如何表达平面上一种点呢？ 【设计意图】通过三个问题的设计，让学生从一条直线上的点的描述到进一步思讲究竟如何用数学的方式体现平方面中的一种点？（4）让学生体验在同始终线上的点的描述需要考虑方向和大小两方面，启发学生在脑海里联想到数轴。同步逐渐把“座
8、位问题”以门为基准点，改为以教师为基准点，同步所有同窗的位置都是对称的，有助于学生思考其中的区别和联系。（5）通过对数轴的回忆搭脚手架， 结合先前活动的经验(有关横排、竖列的经验) ，抽象得出平面上的拟定位置的过程也是寻找、设立两条数轴(两个方向)的过程。而两条互相垂直的数轴也是其中的一种过程，而这一过程也就是形成平面直角坐标系的过程。将平面指教坐标系这一概念的形成过程归结为两条数轴的浮现过程，这是一种全新的视角，通过操作过程和这个阶段的思维，学生头脑处在愤悱状态，平面直角坐标系的概念呼之欲出。 这样的目的是结合学生的生活经验，发明学生展开思考的环境，予以学生充足体现自己见解的机会，让她们在自
9、主思考、自由交流中，在与同窗观点交锋中，撞击出思维的火花。n 对象阶段：对平面直角坐标系形式化、工具性的定义通过前面的体验，表达平面上的一种点，需要在一定的规则下（规定基准点），用两个有序的实数对进行体现，因此提出把将平面直角坐标系作为一种新的对象来结识，对其进行形式化、工具性地体现，这是对象阶段应当达到的目的。运用直角坐标系的性质来解决这一问题，可以达到逐渐结识新概念的目的。因此，这一阶段教师可以继续引导学生探讨平面直角坐标系的特点、存在乎义 (平面内的每一种点与两个数相相应，即一种数对)，和表做规定的合理性等 。 例1：（口答）（1）点A的横坐标为3，纵坐标为2，那么A点的位置可以表达为（
10、 ， ）(2)点B的纵坐标为-4，横坐标为1，那么B点的位置可以表达为（ ， ）练习1：下列四个图形中，建立直角坐标平面对的的是（ ）例2：（1）下列坐标分别相应右图中的哪个点：（0，3）；（0，-3）；（-2，0）；（4，0）（2）在同始终角坐标系内，根据下列各点的坐标画出各点：（3，-3）；（ -2，-3 ）；（-3，3）；（3，3）；练习2：写出如图所示直角坐标平面内各点的坐标：练习3：在平面直角坐标系中找出点（0，3）；（ 0，-2）；（-2，0）；（4，0），观测点的特性和并描述坐标轴上点的特性；思考：（1）已知点 A（0，2）、B （-2，0）、C （2，2），联结可得到ABC，求
11、此三角形的面积。（2）已知点 A（0，2）、B （-2，0）、在x轴上找出点C，联结后使得ABC为等腰三角形，写出点C的坐标.【设计意图】：例1和练习1用于加固平面直角坐标系的概念；例2和练习2通过点和有序实数对互译，体会数形间相应关系；练习3让学生体会平面直角坐标系和数轴之间的关系教师引导学生思考平面直角坐标系与数轴的关系，对学生拓宽思考问题的方式大有好处，明确此事物和它事物的区别与联系，也是结识事物的一种方式；思考题解决坐标描点，外尝试让学生数形结合解决面积问题。而这一切都将学生的动手尝试放在教师解说之前，也是考虑到知识内容自身的难易程序和学生已有的知识背景的。 n 建立综合心理图式（图式
12、阶段）通过以上三个阶段的教学，学生在头脑中应当建立如下的心理图式：现实生活中直角坐标系思想的应用 (例如进电影院找座位等) 、直角坐标系的作用(刻画平面上点的位置) 、平面直角坐标系规定的合理性（生活中的位置描述：参照物、两个纬度的方向以及距离分别相应于原点、两条数轴的正方向以及单位长度），在直角坐标系中拟定点的过程及其与数轴的区别和联系等等。在课后小结阶段，运用核心性的几种问题协助学生进一步的反思，形成概念图：为什么要引入平面直角坐标系？它是如何规定的？这样规定的合理性何在？它和此前所学的数轴有什么关系？规定了后来对我们解决问题的思路有什么变化？在现实生活中的应用又如何？最后指出，平面直角坐
13、标系的引入，沟通的几何和代数，在数学史上，有着非常重要的意义。三、反思与探讨 真正的抱负的数学概念学习，数学概念学习应上升到抽象层面，使概念的形成的“活动、过程”向对象阶段转化，从而达到“图式”阶段，才干掌握数学知识的本质与内在。在理解和运用APOS理论时，有几种需要注意的问题和人们探讨：（1）努力创设适合学生概念发展的现实情境 形成概念，需要寻找它生存的现实土壤，需要活动让学生亲身感知问题，也需要学生积极展开思考、从现实情境中去发现数学；同步概念教学也不能仅仅停留于活动层面，对活动阶段(Action)花大力气和许多时间，而对其她阶段草草收场，这是不符合APOS理论的，甚至于是舍本逐末的。因此
14、情境问题的设计要注意如下几种方面 ：揭示数学概念的现实背景和形成过程；适合学生的学习平台，使学习活动能顺利展开；合适的问题数量，使学生能进行充足的活动体验；注意趣味性，引起全体学生的学习爱好。（2）“过程阶段”在概念建立中的价值及把握杜宾斯基觉得,建立概念不能跨越“过程阶段”. 对“过程”,我们可以有三种理解: 将数学概念从现实生活中抽象出来自身需要一段过程; 将思考的成果,再以“过程”的形式呈现,这就有助于学生分析问题、解决问题; APOS理论最大的创新在于过程阶段，对“操作”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，在头脑中进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质.这样可以使学生对数学概念也有一种
15、新的结识,从而变化对整个数学的见解.同步也正好是这一种阶段最难掌控和把握，如何设计“本原性问题”驱动学生从操作上升到对象，以及如何有效地组织学生讨论思考互动，使学生处在“愤悱状态”，使得下定义“水到渠成”，对教师教材的理解能力、问题设计能力、教学掌控能力都提出了很高的规定，在本节课中，把“座位问题”的参照物改为教室中间的教师，以及恰当时机的复习数轴都是精心设计的，在整个过程中起到了“承上启下”的作用，是整节课的“核心性事件”.（3）对象 、图式阶段是教学中循环上升的揭示概念后，对象阶段是由概念衍生开来的性质摸索、运算、证明等，图式阶段是对前面三个阶段的一种总体把握，但这并不等同于说一定在历经前
16、所有阶段之后，才进入图式阶段。对象阶段与图式阶段可以往复序进、循环上升的。在教学过程中，这两个阶段交替进行，在学生进行概念结识、解决的同步，教师可以引导学生尝试评价概念。从这个角度来看，体验对象阶段和图式阶段是可以同步存在于一种时期的。 （4）值得探讨的问题 APOS 理论是基于建构主义理论而提出的,那么是不是所有的概念都需要建构？所有的概念教学都经历如此四个过程？对于这种理论和“本土化”的概念教学四个阶段“情境创设、概念形成、概念获得、建立概念简联系”之间有何区别和练习？尚有对于“过程阶段”的理解似乎连杜宾斯基本人在华师大讲座时都无法说清，那么我们能否通过一定量的案例研究进行清晰论述，并进行文本编码？或者通过案例解释？对于一种新的理论，我们抱着学习、认同的态度去接纳它,一定会汲取到其中营养，优化概念教学设计，把握概念教学过程，真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和发明，达到结识数学思想和本质的目的 参照文献：1顾伶沅主编 数学学习的心理基本与过程 上海教育出版社 2丁杭缨 基于APOS理论下的概念教学模式研究 福建教育 .7.A 3. 王兄 汤服成 概念图及其在数学学习中的现实意义 数学教育学报， .34. 李晓云 概念教学中的“动场”建构刍议 中国数学教育 .7
运用APOS理论进行概念教学的实践研究
