对《数学课程标准》实验稿与修改稿的对比解读

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1、对数学课程标准实验稿与修改稿的对比解读及教学现状的思考主讲：翔宇教育集团宝应县实验小学 王兆正各位老师：上午好！根据县教研室的安排，今天我交流的主题是“对课程标准实验版与修订版的对比解读及教学现状的思考”。“课程标准”是一个我们熟悉而又陌生的名词。熟悉是因为我们教学中的任何环节都必须提及课程标准，无论是我们写教学总结、职称说课、上公开课等等，谁敢离开课程标准而言它呢？如果搞一个小学教师教育常用语，它可以名列前茅，上排行榜的。但为什么又说它是一个陌生的名词？我们不妨做一个调查，在座的有多少人有课程标准这本书？我想不会超过5%。那么，在座的有多少人读过课程标准这本书呢？看一眼不算，我想不会超过10

2、%。如此，今天讲课程标准实验稿与修改稿的对比，可能有的人心里在想，会不会枯燥，大段大段的读条文？会不会脱离实际，说一些不着边际的话？所以，今天的讲座我这样思考：讲事情，介绍课程标准的变革过程。讲背景，介绍条文变化背后的意图。讲案例，结合教学说说课程标准变化给教学带来的影响和一线教学实践对课程改革的反作用。但因为个人的水平，不会达到我的理想境界，所以大家在听的过程感觉到劳累甚至厌烦的时候，希望大家在不影响他人情绪和我的情绪下放松自我。一、课程标准的变革背景本次我们自2002年开始经历的数学课程改革是建国以来的第8次改革，而推出的数学课程标准（以前叫做教学大纲）也相应的是第8套。7年来，我们身处其

3、中，亲身感受从喧闹归于平静，从浮躁走向理性，从一味推行到自我反思、调整、修正。这都需要我们自己也去反思7年间发生了什么？1. 从教学大纲到课程标准。2002年课程改革开始的时候，我们简单地把传统教学同落后教学画上了等号。看看我们当时对于数学传统教学是怎样描述的？繁难偏旧的教学内容。典型代表是乘和乘以的读法，大数目计算（三位数乘三位数等）。脱离生活实际的数学问题。甲乙进水管为代表的应用题等，统统成为课程改革的革命对象。专制封闭的教学方法。于是，数学课程标准（实验稿）中提出了一些新的价值理念，期待课堂出现一些变化：引入更为现代的数学研究成果，改革传统内容。比如统计和概率，空间与图形中平移旋转、解决

4、问题的策略等等内容被引进。降低计算难度。改变教学方式和学习方式。讲数学内容生活化，引入生活情境。提倡算法多样化。提倡合作学习。改革评价体系。强调过程性，强调知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三维目标的达成。这些理念已经成为我们耳熟能详的名词了。2. 课改实践的探索情况。在课改的前两年，课堂上确实出现了积极的变化，对于数学教学本身的审视多了，投向学生的关注多了，教师专业发展的积极性也空前高涨。但也有许多教师有这样的感觉，新课程所阐释的基本理念确实很先进，自己也能够接受，但就是到了课堂上不知道如何落实。许多教师感到茫然和困惑，甚至不知道该怎样上课了。教学中也出现了一些问题。现在回过头来看看当年

5、的探索，也许可笑，但给我们的思考和启示却是无限的。著名特级教师徐斌和钱守旺两位老师就总结了一些现状：问题一：小组合作路在何方？在几乎所有的数学课堂上，我们都可以看到小组合作学习的形式：把几张桌子合在一起，然后一起围着谈一会话。那个时候的公开课没有人敢不把桌子合起来，除非你不想要一等奖了。但我也敢说，当时80%的老师在日常教学中没有把桌子合起来。这说明了什么？说明小组合作学习只是一种形式，缺乏实质性的合作。问题二：情境离主题有多远？每一个上过公开课的老师都会有这样的感受，那些年为了创设情境可谓是“冥思苦想”。好像数学课脱离了情境，就脱离了儿童的生活，就不是新课程理念下的数学课。我特别记得一位老师

6、上课，实在找不到问题情境了，怎么办呢？他就说题目是孙悟空出的，还特地做了一个孙悟空的头像，戴在面前。这样的情境有什么价值？那些年，还有一个感受：一个情境往往要花费10多分钟才能进入教学主题。而我们知道，教学的黄金时间就是课堂前15-20分钟，再往下学生就很难找到最好的状态了。徐斌老师到宝应讲学时举过这样一个事例：前不久听了一节认识乘法，执教者在上课一开始创设了一个生动的情境，出示了一个像动画片一样的精彩画面“动物园的一角”。老师让学生观察画面并提出“你发现了什么？”学生经过观察后踊跃发言：生1：我发现这儿真好玩！有小动物，有房子、大树、白云、河流、小桥。生2：我发现小河的水还在不停地流动呢！生

7、3：我发现小河里还有鱼儿在游呢！生4：我发现小兔们在开心地跳动着。生5：我发现小鸡的头还在一动一动的，它们在啄米呢还是在啄虫子？生6：我发现小桥上有两只小白兔，它们是要到桥这边来呢还是要过桥去？生7：那两座房子是小鸡家的还是小兔家的？生8：远处的白云在飘动着，好象在欢迎我们小朋友呢！生9：我发现那座大房子门前有路通向小桥，而小房子门前却没有路。至此，十多分钟过去了，学生不断有新的发现，老师在肯定中不断提问“你还发现了什么？”于是，学生不断又有新的发现。听到这儿，笔者不禁要问：情境创设到底为哪般？这样的情境创设，是在上数学课还是在上看图说话课？虽然气氛之热烈是空前的，可课的性质却变了。其实，在出

8、示情景图后教师只要提问：图上有几种动物？（两种，即鸡和兔）它们是怎样站立的？（兔是每2只站在一起，鸡是每3只一堆）接着引导学生2只2只地数小兔，3只3只地数小鸡，然后让学生想办法求小兔和小鸡各有多少只。这样，学生在问题情境中初步感知了“几个几”的生活现象，为接下来学习乘法的含义作了必要的准备。 数学课上的情境创设应该为学生学习数学服务，应该让学生用数学的眼光关注情境，应该为数学知识和技能的学习提供支撑，为数学思维的发展提供土壤。事实说明，有些教师辛辛苦苦创设的情境，并没有起到应有的作用。问题三：算法多样化要有多少种才好？钱守旺老师举过一个例子：一位教师在教学“9加几”一课时，在得出两种计算方法

9、后，用了将近3分钟时间，非要引导学生说出数数的方法。等到学生做练习时，又硬性规定必须用“凑十法”。问那位老师：书上的方法没有出现，算不算教学不完整？潜台词就是，书上有的，就要出现。无独有偶，徐斌老师也介绍过一个例子：曾经听过一节一年级两位数减一位数的退位减法（例题是238），在课堂上经过老师的精心“引导”，出现了多样化的算法，老师花了将近半课的时间进行了展示（还分别用动画式课件进行演示）：（1） 231111111115（2） 23320，20515（3） 231013，13215（4） 1385，10515（5） 1082，13215（6） 231310，10515（7） 23518，183

10、15课后与上课老师进行了交流，老师竟然说“现在计算教学一定要算法多样化，算法越多越能体现课改精神。” 又询问了课堂上想出第一种算法的学生“你真是这样算的吗？”学生说“我才不愿意用这种笨方法呢！是老师课前吩咐我这么说的。”笔者连续问了好几个学生，竟没有一个学生用这种逐个减1的方法。那么后面的几种算法（特别是第6、7种）真是学生自己想出来的吗？问题四：生活味是全部吗？如今的数学课，“生活味”渐渐浓了起来，有时甚至超过了“数学味”。一位老师上三年级找规律一课（国标版实验教材），为了让学生在生活中学习数学，在生活中寻找搭配的规律，进行了如下的组织：引入周一的菜谱（肉丸子、白菜、冬瓜）让孩子们按一荤一素

11、搭配起来，使学生能初步理解搭配的意义。 展开周三的菜谱（排骨、鱼、青菜、豆腐、油菜）让孩子们按一荤一素自由地搭配，在搭配的过程中体验有序搭配的必要性与价值，从而使学生产生有序搭配的内在心理要求。 巩固周五的菜谱（肉丸子、虾、白菜、豆腐、冬瓜）让孩子们说一说，按一荤一素有哪几种搭配方法，并想一想怎样搭配不容易重复和遗漏。应用超市购物（出示超市食品柜台，让自由选一瓶饮料、两样主食、三样副食）在听课中发现，学生为了在纸上写出这些菜名，老师为了把学生的搭配结果一一板书在黑板上，费了很多时间（其实在教学时完全可以用符号来替代菜名）；而当学生汇报时，很容易把荤菜和素菜搞混淆，学生看到或听到这些菜名时都先要

12、想一想是荤菜还是素菜，更不用说学生看到这些美味所引起的条件反射了。“数学味”要大于“生活味”，应避免虚幻和幼稚化倾向。问题五：过程比结果重要吗？如果说传统的数学教学只重结果，忽视过程，那么新课程改革后能否就应该只重过程，忽视结果呢？在一些老师看来，过程似乎比结果更重要。在这种教学思想指导下，有些教师出现了课上不完的现象，然后在反思时，总是认为是我给学生的过程比较充分，所以我才教不完。这实际是对课程标准理念的曲解。时间与收获不一定成正比，低效的过程，在浪费孩子的生命。3. 课改方向的激烈辩论。而针对这些问题，当时普遍的一种说法，是中国的师资水平不够。换句话说，实验如果不成功，不是我的理论有问题，

13、而是执行者水平不行。当时我记得有好多专家讲座中都提到：某某国家小学师资本科化，大学本科毕业后还要上专门的师范学院两年。让我很不舒服。在一线教师潜滋暗长新课程不如老做法的想法时，数学课程改革的学术领头人也出现了分歧。当时领头搞数学课程标准指定的是留学欧美的刘兼教授等人。他们的一些做法引起了以数学家张奠宙、姜伯驹为代表的一些人的不满。华东师范大学数学系张奠宙教授写了一篇文章：对九年义务教育数学课程标准理念部分的意见，提了10条具体的意见。他针对当前的新课改列举了一则寓言。一个非洲民族， 一向居住在一种草木屋内，晚上燃火照明。后来，“文明人”来了，让所有的草屋都装了电灯。可是一年之后，所有的草木屋都

14、轰然倒塌。原因何在？原来每天燃火时会冒烟，烟把各种昆虫赶出屋外。现在使用电灯，没有烟薰，昆虫大量繁殖。屋顶被昆虫蛀坏，木屋终于倒塌。寓言告诉我们，那个非洲民族的原来生活方式，尽管原始，却是十分和谐的。电灯当然更为先进、文明。但是先进的技术引进来，必须和原来的环境相适应。要用好电灯，则必须采取防虫、除虫措施。不然，好事会办成坏事。中国科学院院士，曾任北京大学数学科学学院院长的姜伯驹教授在2005年的全国“两会”上，提交了一份提案，指出正在实行的全日制义务教育数学课程标准（实验稿），也就是我们常说的“数学新课标”，存在比较严重的问题。并接受了光明日报的专访，直指“这个新课标改革的方向有重大偏差，课

15、程体系完全另起炉灶，在实践中已引起教学上的混乱。”这个举动意味着把学术争论公开化，一线教师的反应也得到了重视。个人认为，这是一个标志性事件，是第八次新课程改革的拐点。新课程好像发高烧的病人终于退热了，开始冷静的思考问题了。一个比较好的现象是：课程改革推动者们不得不开始反思自身的设计问题，而不是一味的责怪一线教师了。后来的事实是老数学家们占了上风，刘兼等原先一批制定数学课程标准的人被搁置了，而担任数学课程标准修订工作组组长的是东北师范大学校长史宁中教授。也就有了后来的修改稿。但要说明的是，至今我了解是网络版，还没有看到纸质文本。二、条目变化对比及阐述那么课改经过阵痛后数学课程标准做出了哪些重要的

16、变化呢？下面我们就两套版本进行条文的对比，并阐述这样变化背后的意味。需要说明的是：实验稿为前，在此基础上修订的叫修改稿，在后。限于时间，不可事无巨细的完全列举，我们只谈比较重要的几个方面。（一）基本理念的修订：1. 关于数学的诠释。实验稿：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。修改稿：数学是研究数量关系和空间形式的科学。阐述：标准实验稿一开始就定义式地给出断语：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”。 把数学说成是一种过程，未免牵强。数学是一种认识，一种科学，一种思想体系。在上述断言中

17、，除了“定量刻画”一词和数学有关之外，其他都和数学无关。这句断语开头的两个字“数学”，换成“物理”、“化学”也说得通。因此这样描述数学，是不准确的。比如我们要定义长方形，我说长方形是四边形，没错，可梯形也是四边形啊。“数量关系和空间形式”，是数学研究的对象，至今依然是界定数学的关键词，不可随便绕开。2. 关于数学教育的价值。实验稿：20世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手

18、段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。修改稿：数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，另一方面要发挥数学在培养人的逻辑推理和创新思维方面的不可替代的作用。阐述：实验稿的那段论述，描写了信息时代的数学。实际上，数学的价值还有关于数学文明的价值、数学对自然科学和社会科学的推动、数学计算的科学作用、数学对一个国家繁荣的贡献等等。修改稿不仅概述了数学的价值，而且指明了数学教育的价值：一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，另一方面要发挥数学在培养

19、人的逻辑推理和创新思维方面的不可替代的作用。数学是思维的体操，我们不能偏离这根本的价值取向。但注意不要把数学思维看作万能的和完美的。南京大学哲学系郑毓信教授指出我们的教学着眼点，不只是学会数学的思维，更重要的是通过数学学会思维。数学思维只是思维的一个方面，数学中线性思维往往会阻碍人们的直觉和想象。转化（应聘消防员）。这样的思维方式可以帮助我们解决很多的问题。但有时也会阻碍我们创造新的途径和方法。（爱迪生或谁，大洞、小洞问题）。3. 关于“数学课程”应该强调什么。实验稿：义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。修改稿：课

20、程设计要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。阐述：从强调到重视，要求显然不同。我们知道，数学的来源，一是来自数学外部现实社会的发展需要；二是来自数学内部的矛盾，即数学本身发展的需要。众所周知，人不能事事都直接经验。用接受性学习方法获得大量的间接知识，乃是普遍的认识规律。因此，创设情景，模拟实际，甚至利用抽象的模式，都可以进行数学学习，包括数学建模。总之，片面强调“学生的已有生活经验”，并不妥当，应该注意和杜威的实用主义教育思想保持距离。这个改变提示我们对数学问题生活化要适度。4. 关于“面向全体

21、学生”。实验稿：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。修改稿：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。阐述：前两句，首先，数学内容的价值可以有大有小，但是都有其存在的价值。难道只有标准列举的数学才算有价值，其他的数学都没有价值？能够举出没有价值的数学吗？第二句话，说的是人人获得必需的数学， 但是“必需”是因人、因时、因地而异的， 怎能说人人都能获得？义务教育数学课程的特征在于“基础性”，即让未来公民获得所需要的基本数学素养。5. 关于接受学习。实验稿：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学

22、的重要方式。修改稿：除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是学习数学的重要方式。阐述：实验稿的论述曾经让我们的数学课堂不敢讲解。数学课程标准（修订稿）经过课程改革的实践与反思，将传统学习方式与现代学习方式并重，明确提出“除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是学习数学的重要方式。”从学习心理学角度看，根据学习的深度分为有意义学习与机械学习，根据学习的方式分为发现学习与接受学习。两种分类相互独立，成为正交（见下图）。有意义学习 有意义的接受学习 有意义的发现学习 机械学习 机械的接受学习 机械的发现学习 接受学习 发现学习 心理学家奥苏伯尔认为，接受性学习不等于被动学习。只要处理得当

23、，接受性学习也能成为有意义的学习。在数学教学中，有意义的接受性学习是学生学习数学的一种常用而有效的方式。传统的接受学习不等于机械学习，相反，教师指令下的动手实践、自主探索与合作交流也可能是机械的。所以我们要破除“教师讲就是差的，学生发现就是好的”的观念。有人说：记忆力是智力的标志。一个人的记忆力高不等于智力好，但治理好的人一定记忆力高。我们提倡的做法是：记忆模仿应该通向理解，在记忆模仿的基础上，提倡让学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，进而发现。6. 关于教师的作用。实验稿：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者修改稿：有效的数学教学活动是学生学与

24、教师教的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系。阐述：教育是要在很短的时间内，将人类几千年来积累的知识精华传递给后人，效率至关重要。让学生在黑暗中摸索，体验发现创造的历程，只能是少量的。学生的进步必须遵循前人的经验， 在“教师”的肩膀上攀登，绝大多数是有意义地接受性学习，教师必然会起主导作用。让我们大胆的讲授吧。但同时也要，这里的讲授绝不是鼓励满堂灌。7. 关于过程与结果、知识与情感。实验稿：对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的

25、情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。修改稿：评价要关注学生学习的结果，也要关注学习的过程；要关注学生数学学习的水平，也要关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。阐述：用语文的关联词分析，就能体会到，更要，是递进关系，后面的更重要，也要是并列关系，同样重要。一字之差，告诉我们对于过程与结果、知识与情感，不能偏废。8. 关于双基教学。实验稿：没有提及。修改稿：实施建议中数学教学应使学生获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。阐述：数学双基教学是中国数学教育的优良传统，标准应当继承中国数学传统教育的优良传统。除了双基教学，启发式、精讲多练、提炼数学思

26、想方法等，运算速度保持思维效率，重复演练有赖“变式”发展等，也都值得关注。本次修改由双基变为四基，进一步提出基本的数学活动经验和基本数学思想，做到传统与现代兼顾。把隐性的要求显性化。（二）设计思路的修订。1. 内容领域的总体变化。在各学段中，标准安排了四个方面的课程内容：“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”。“图形与几何”原为空间与图形、“综合与实践”原为实践与综合运用。恢复了传统的几何、代数的名称。2. 数与代数方面明确提出发展运算能力。修改稿新增对运算能力的界定是：主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力还有助于学生理解运算的算理，能够寻求合理

27、简洁的运算途径解决问题。3. 图形与几何方面(1)明确提出培养学生的几何直观能力，修改稿新增对几何直观的界定是：几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。小学阶段就有渗透，比如“数形结合”。六年级下册计算+，看算式是看不出结果又什么发展趋势，但转化为图形就很容易看出比1少最后的几分之一。(2) 明确了合情推理与演绎推理的涵义。举例说：今年年收入10万元，明年可能还是10万元或更多一些，这不能说是演绎推理，它凭借的是经验和直

28、觉，应是合情推理。4. 统计与概率方面。增加了数据分析观念，了解随机现象。其中数据分析观念就是原先的统计观念，但更加明确。（三）课程目标和内容的修订。基本内容没有根本变化，只是叙述顺序和叙述方式改变而已。所以不做细致分析。请大家自行根据电子稿比较。（四）编写体例的变化。包括前言、第一部分基本理念与设计思路、第二部分课程目标、第三部分内容标准、第四部分实施建议，包括教学建议、评价建议，教材编写建议。附录：课程目标的术语解释和内容标准及教学建议中的案例。变化的是第四部分，原来分学段制定，但这样很多建议出现了重复，这次修订合起来写，避免出现重复。所有的案例不再穿插中间，而是附在标准最后。三、当前教学

29、现状与思考纵观本次数学课程标准的修订，重在课程理念的修订上。也就是我们要把传统有价值的东西拾起来，要把矫枉过正的东西恢复正常，要把模糊的说法理清晰。也因此，我们对很多问题的理解比课改之初更加透彻和深刻，下面我们聚焦于小学数学的教学现状，梳理出新课程改革以来，小学数学课程实施面临的几个突出问题和目前已有的观念。【问题一：小学生应学什么样的数学】吴正宪老师说，儿童的特性学习的是有趣的，与生活联系的，能听得懂的，不太严格的，经常动手做的，数形结合的数学；同时，还要注重长效，为儿童渗透终身发展的能力。例如在教学认识整万数时，学生掌握四位一级，分级读写。这是最基本的理解。教师可以适时的引发学生思考：这个

30、规定是因何而来？其他国家也是这样的规定吗？我们知道国际通用的规则是三位一级。为什么呢？原来，中国的计数单位是个、十、百、千、万、十万、百万、千万每四位自然形成一个固定的结构。而很多西方国家是三位一节，原因是他们的计数单位中没有“万”这个名称，分别是个、十、百、千、十千（即我国的万，后同）、百千（十万）、密（千千，即百万）、十密、百密这样，三位为一节就比较方便，每节分别表示多少个一、多少个千、多少个密通过这样的认知思辨，学生就比较透彻的理解数级思想，深刻地掌握计数方法。【问题二：数学应该给孩子们留下什么】三维目标的提出，让我思考数学教学不只是留下知识和技能，尤其是作为小学阶段要为后面的学习和生活

31、打下基础，不夸张的说：为人生奠基！那么，数学应该给孩子们留下什么？朱德江老师说：作为学生数学学习初始阶段的小学数学，除了重视数学概念、法则、公式、性质等显性的知识教学，更应该重视数学意识、数学思想方法、数学思维方式等数学素养的培养，使数学学习给学生留下意识、思想、经验、习惯、快乐，为学生的后续学习和可持续发展奠定基础。留下意识。数学意识是指遇到问题能够自觉地从数学的角度进行观察和思考，能用数学去观察、解释、表示事物的数量关系和空间形式，形成一种数学化的思维习惯。举一个例子，一般人看田忌赛马，只会觉得田忌太聪明了。我们从数学的角度分析他，会有什么样的收获呢？看过一个老师的课堂，就巧妙地将田忌赛马

32、融入了数学的学习之中。那位教师执教的课题是“有趣的搭配”。教者设计了一道开放性的问题：王叔叔有一些领带和一些衬衫，选一条领带和一件衬衫共有12种搭配的方法。王叔叔可能有几条领带、几件衬衫？学生分别答出：一件衬衫、12条领带；2件衬衫、6条领带；3件衬衫、4条领带，4件衬衫、3条领带；6件衬衫、2条领带；12件衬衫、一条领带。其中，说到1件衬衫和12条领带的情况时，有的学生不禁发出了笑声。教师可以及时地追问：你们为什么会发笑？学生说：“生活中很少有人买一件衬衫和12条领带的。”教师顺势引导出搭配方法的合理性有大有小。然后再引入田忌赛马的故事，让学生思考：一般怎样配对比赛，结果怎样？再想一想还有几

33、种配对比赛的方案，要想赢必须怎么样？无非就是搭配问题。留下思想。数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性把握。一般认为，归纳和演绎是两种基本的数学思想，而分类、对应、化归、转化、类比等是更具体化的数学思想。有位国外数学教育研究者举了这样一个典型例子：我们能够确信三角形面积公式一定是重要的吗？想一想我们除了教学生时用过三角形面积公式，还有地方用过？但这个公式中所蕴含的数学思想方法转化，却离不开我们的生活。留下习惯。好的习惯会让人受益终身。我们不说培养学生养成预习、听课、作业、复习、质疑等常规的习惯外，也不说学生条理思考、言出有据、三思而后行、画图分析等体现数学学科特点的习惯。我们

34、只看一个细节：听过黄爱华老师几次公开课，每一次有一个地方时相同的，上课前他让学生拿出本子和笔，并且这个笔是夹在本子里的。这就是一个好习惯。我觉得从这个习惯出发，培养学生凡事认真准备的习惯，可能会受益终生。还有我们听很多报道认为国外学生在课堂上比较随意，有一段时间我们也在想：能不能让他随意？其实，这是一种错误，其实，国外课堂规则最严格的一条：不打扰别人。我们的课堂放开后能做到吗？如果你能让你的学生做到，那就是你给学生一笔最大的财富！留下快乐。童年是快乐的，数学学习生活也应是快乐的。虽然我们现在的压力很大，但有一点我们要做到：你即便对他再失望，你也别把失望放在脸上。【问题三：如何有效地传授数学知识

35、】数学知识不能只是灌输结论，但也不是学生盲目的探究所能得出的。有的课堂听起来很轻松，教师讲的有条理、很深刻。有的课堂让人难以捉摸，越听越糊涂。数学教师的数学眼光决定了学生数学眼光的发展极限。举一些例子。例如数学教学中有很多的规定，怎样讲解呢？仅仅是这是规定，没有为什么来解释吗？肯定不行。例如为什么正数前面的正号可以省略？就是因为生活中正数用的比负数多，规定正号可以省略，可以更方便些。为什么加号写成“”？据说，中世纪的酒商在售出酒后，曾用横线标出酒桶里的存酒，而当桶里的酒又增加时，便用竖线条把原来画的横线划掉，于是出现了表示减少的“”和用来表示增加的“”。为什么厘米用字母“cm”？就是因为厘米的

36、英文单词是centimetrr，取它的缩写就是“cm”，很多单位的字母表示都是源自其英文单词的缩写。为什么时间（时、分、秒）的进率选择了60呢？史学家通过考证认为，这是因为“在100以内的自然数中，60的因数最多”，这样可以使许多有关时间的运算（特别是在古代计算有关历法问题）变得十分简便。数学教学中，很多时候教师在教和学生在学时习惯于“知识就是这样的”知识抽象提炼后的固有形态，很少有人再去反思：“这个知识怎么就成了这样的”，仿佛知识天生如此。其实，数学知识也不是天生就有的，很多数学知识探寻其源头，并不神秘和复杂，相反，却能感受到一种亲切和豁然开朗的感觉：它是数学家们对生活常识的合理迁移和概括。

37、【问题四：怎样有效地经历探索的过程？】过程与结果，谁重要现在大家都知道。没有结果，我们是无的放矢。没有过程，我们是无本之木，无源之水。问题是：当学生一口说出结果时，我们怎么办？总有很多孩子不讲就知道答案。作为教师，学生知道了该怎么办？前一段我们还讨论过这个话题。我们必须澄清一个概念：知道事实不等于真理解。面对学生已经知道“答案”时，我们需要追问：有多少学生知道答案？有多少学生真正理解要学习的内容？例如，对于“长方体的体积=长宽高”，如果学生通过背诵记住这一公式，那么他获得的知识仅仅是“事实性知识”。你出示模仿习题他也会。理解了吗？说不准。如果学生通过拼摆单位小正方体而得到“大长方体”的体积就是

38、单位小正方体的个数，即数小正方体的个数就能求出长方体的体积，但是“数”比较麻烦，再进一步发现大长方体的体积是“长宽高”，这时他对长方体体积公式的理解就达到“概念性水平”。计算体积就是计算有多少个单位体积。如果学生能进一步深入分析，就会发现长方体的体积与长方体的一个面的面积以及对应这个面的高有关。在教师的引导下，学生综合应用所学知识，得出长方体的体积还可以通过“一个面的面积乘以这个面所对应的高”来求出，这时学生对该公式的理解就达到了“方法性水平”，因为这个公式不仅仅适用于长方体而且适用于一切柱体。学生不但了解了公式产生的来龙去脉，并且能在所涉及的概念与概念之间，以及概念与已有的经验之间建立起联系

39、，并能根据不同的条件灵活选择公式解决问题。在此基础上，学生还能进一步解释“长方体的体积等于一个面的面积乘以这个面上的高”吗？在教学中，有个学生这样回答：我把长方体看成是“底面”这样的小薄片一片一片垒起来的，那么长方体的体积不就是这个“小薄片”的面积乘以垒的“高度”吗？这名学生所获得的知识就已经达到了“主体性水平”，他所获得的这一知识，是通过反思“创造”出来的。学生学习数学时，往往停留在“事实性水平”的理解上。在教学中，我们必须辨别出学生的理解所达到的程度，设计恰当活动促进学生对知识的高水平理解。这就是经历过程的价值，也是过程所应追求的价值取向。【问题五：学习方式的本质是什么？】提起新课程提倡的

40、三大学习方式，老师们耳熟能详，但有没有人曾经追问：我们为什么提倡这些学习方式，或者说，何时使用是效益最大化？如果我们都去反思一下学习方式背后的教育学和心理学的原理和意义，可能我们对学习方式的把握更透彻，对教材蕴藏的学习方式实施起来更为顺畅，就会避免很多不必要的实施误区。（1）动手实践：意义：用外显的动作来驱动内在的思维活动，并把外显的操作过程抽象成数学的表达，从中感悟并理解新的知识的形成和发展，体会学习数学的方法与过程，获得数学活动的经验。可以分析出，动手实践的目的在于为学生的数学思维提供起点和中介。比如在计算教学（尤其是低年级）中，通常会让学生先摆小棒，再说算理，但往往会有个别学生举手说，老

41、师，我会了，不用摆小棒。教师还是要让学生摆一摆，因为觉得教材有了就要做。如果学生已经到达符号操作的水平（个别学生的达到与全体学生的达到、学生的直觉与熟练的符号操作应有所区别），为什么一定让学生动手实践，回返到动作操作层次上呢？（2）自主探索：意义：数学学习不应是单纯的知识接受，而应当是学生主动的应用已有的知识和经验研究、探索新问题的过程。学生在这一过程中从数学的角度发现问题、解决问题，完成自己有意义的认知建构，并发展探索和创新的知识。（3）合作交流：合作，至少有三种：力量不够时大家“通力合作”； 人手不够时需要“分工合作”；以及不同思考之后的“交流合作”。数学学习大量需要的是交流合作。因此，意

42、义：学生各自的思维方式、智力水平是不一样的，让学生尽可能的经历合作和交流，感受不同的思维方式和思维过程，可以在互动的过程中学到数学知识与经验、思想与方法，获得自己反思和修正的机会与体验。作为数学学科的标准， 应该指出数学教学中合作学习的特点。数学合作主要是独立思考基础上的“交流”。“独立思考”需要时间，交流合作需要平台。师生之间也可以合作，课堂讨论也是合作，彼此纠错、想法互补、经验共享，都是合作。而不在于形式“前后桌编成小组”。特级教师魏洁谈到她在美国听的一节小学六年级的方程课：上课开始，教师在黑板上写出：x，未作任何暗示，只给学生们提供一些方格纸、小方块和白纸，让孩子们解答。有的孩子左边摆3

43、个方块、右边摆5个方块，然后从5个方块中挪出3个，找到了答案“”。有的孩子借助方格纸，先画5个方格，再圈掉其中的3个，找到了答案。有的孩子直接在等式的“5”上写了“3”并做了一个删除的记号，虽然没有规范的格式，但是他也愉快地找到了答案。还有一类孩子，想不到任何方法，就伸长了脖子看周围的同伴在忙什么，看看用方格的，好像不能理解，于是就选择了一个用方块的作为学习对象。人家怎么做，他就怎么做。等到孩子们全部完成后，老师组织全班学生进行了交流。接着，没有任何的解释和总结，写出第二题：-，让孩子们自己做。有意思的是，第四类孩子这时也跟着他的学习对象改用方格来帮助解决问题了。更有意思的是，课后魏老师采访了

44、这个孩子，问他：“会了吗？”孩子高兴地回答：“会了！”再问：“过两天还记得吗？”孩子回答：“肯定忘了。”追问：“那你怎么办？”孩子很爽快地指指小组的伙伴：“有他！”让我难以忘记的是：孩子的回答：“有他！”这才是合作学习的真义。曾经记得我们很多前喜欢把学生组成学习小组，好学生给学习困难的学生讲解题目，真的很实在，比很多合作学习都要有效。但新课改后，我们往往忘记了我们的一些传统做法。【问题六：如何处理算法多样化与优化？】我只举一个例子。例如教学“分数除以分数计算”时，教师创设问题情境，引出计算： ,学生尝试后主要得出四种解法：=0.525,=0.875，0.5250.875=0.6=；217=3，

45、408=5，35=；原题=（40）（40）=2135=；原题=（）（）=。数学方法无所谓好坏。教师在评价时，要把通法（一般方法）放在第一位，而把其它方法的适用范围帮助学生厘清，让学生科学、全面地思考问题，而不是你喜欢不喜欢的问题。【问题七：如何应对学科知识的新挑战？】新课程第一次将平移、旋转、中位数、众数、可能性等内容纳入小学数学课程，这些知识我们在师范里都没有相关的储备。教学因自身本体性知识的缺乏而带来的教学问题也不少见。举几个例子：例如教学轴对称时，不少学生认为一般的平行四边形（除菱形）也是轴对称的，因为它看上去十分“对称”。有的学生还进一步执著地阐述道：“虽然对折起来两边图形不重合，但一

46、转就重合了”。面对学生的这种想法，很多教师只能回避它或者简单否定，不能说出道理来。只是了解对称的有关的知识，教师可以告诉学生一般平行四边形是另外一种对称图形，同时分析轴对称和中心对称运动方式的不同。再如教学找规律时，有一个问题：学校栽了10棵树，每两棵之间的距离是6米。10棵树之间的距离一共是多少米？学生这样解答：10棵树有9个间隔，每个间隔6米，一共是69=54米。这时一个学生说：“不对，10棵树之间的距离不只是54米，因为每棵树都有一定的宽度，我们少算了这些树的宽度。”其实，我们是将每棵树看做一个点，这样树的宽度是忽略不计的。还有教学“折线统计图”时，中国的金牌数，从洛杉矶（1984）到北

47、京（2008），一直增长，题目要求根据前面的数据预测伦敦奥运会的金牌数会是多少枚呢？学生判断：伦敦奥运会的金牌数一定比以往更多。把“预测的结果”当成“绝对正确的结论”。其实，根据统计数据作出趋势分析，只是一种合情推理。为此，我们必须多阅读相关的杂志书籍，多反思教学中出现的问题。总之，数学教学的各种理念层出不穷，变化多端，但作为一个有思想的数学教师，必须始终牢记数学教学的本质目标：促进学生的数学思考。以不变应万变，才能让我们不为课改所累！ 参考文献：1. 教育部全日制义务教育数学课程标准（实验稿）2. 教育部全日制义务教育数学课程标准（修改稿）3. 钱守旺走出课程改革的误区4. 徐斌当前小学数学课堂教学误区及对策5. 张奠宙 对九年义务教育数学课程标准理念部分的意见6. 中国教育报专题文章新课程改革，小学数学教学如何应对7. 蔡宏圣你给了学生什么样的学科感受11