《姿态的欧拉角表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《姿态的欧拉角表示（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、题目：比较分析，找出一种适合乒乓球机器人的末端姿态的欧拉角措施姿态的欧拉角表达任何旋转矩阵都可以通过三个欧拉角进行参数化，一般来说，绕三个坐标轴的顺次旋转可以达到任意的姿态，由于旋转矩阵的乘法是非互换的，因此旋转的顺序是很重要的。按照旋转所绕轴的顺序的不同，共有12 种不同的欧拉角。六种非对称型欧拉角: XYZ，XZY，YXZ，YZX，ZXY 和ZYX; 六种对称型欧拉角: XYX，XZX，YXY，YZY，ZXZ 和ZYZ。记绕三个坐标轴的基本旋转矩阵为:1、非对称型欧拉角表达当三个旋转所绕的坐标轴互相不同步，称为非对称型欧拉角表达。以XYZ 欧拉角为例，假定起始时物体坐标系与惯性坐标系重叠，
2、一方面刚体绕物体坐标系的x-轴旋转 角，接着绕y-轴旋转 角，最后绕z-轴旋转角，则刚体最后的姿态矩阵为:上式给出了XYZ 欧拉角参数的正运动学方程，反解该式可求得其逆运动学方程，给定姿态矩阵R=【rij】33时，可求得其逆运动学方程为:从上式可以看出，当 = 2时，逆运动学存在奇异。其她五种非对称型欧拉角表达的姿态矩阵计算成果列于表1。这些表达均在 = 2时存在奇异。对称型欧拉角表达当三个旋转所绕的坐标轴第一种和第三个相似时，称为对称型欧拉角表达，以ZYZ欧拉角为例，一方面绕物体坐标系的z-轴旋转角，接着绕y-轴旋转角，最后绕x-轴旋转角，则刚体最后的姿态矩阵为:此外尚有五种对称型欧拉角表达
3、的姿态矩阵列于表2。这些表达均在 = 0 时存在奇异。欧拉角表达与RPY 角表达的对偶性姿态的三参数描述尚有一种称为RPY 角参数的措施。 1 和 2 中所描述的欧拉角参数的运动过程都是在物体坐标系中进行的，因此其姿态矩阵是按照矩阵的右乘规则得到的。而RPY 角参数的运动过程则是在惯性坐标系中完毕的，其姿态矩阵是按照矩阵的左乘规则得到。这样，与12 种欧拉角参数相相应的就有12 种RPY 角参数。以ZYXRPY角参数为例，其运动过程是: 假定起始时物体坐标系与惯性坐标系重叠，刚体一方面绕惯性坐标系的z-轴旋转 角，接着绕惯性坐标系的轴旋转角，最后绕惯性坐标系的轴旋转角。最后刚体的姿态矩阵为:
4、RZYX = R( x，) R( y，) R( z，) = RXYZ。因此，ZYXRPY 角参数与XYZ 欧拉角参数具有对偶关系。同样的措施可以求得其她的11 种欧拉角参数与相应的11 种RPY 角参数之间的对偶关系。欧拉角参数表达的一阶运动旋转矩阵R 满足正交矩阵的条件，即RRT = 1，对这个式子两边求导数，可得R RT + ( R RT ) T，因此是一种反对称矩阵。我们定义 =R RT 为刚体的瞬时空间角速度矩阵，它是在惯性坐标系中描述的。下面我们运用公式求刚体的瞬时空间角速度和欧拉角参数空间角速度之间的关系。设R =ABC，其中A、B 和C 是三种基本旋转矩阵。计算R = ABC 的
5、角速度矩阵，有:写成向量形式有:此处称为XYZ 型欧拉角参数表达的雅克比矩阵，由detJXYZ = cos 可知，JXYZ在 = /2 时浮现奇异，这就是XYZ 型欧拉角参数的一阶运动奇异位形。其她欧拉角参数表达的雅可比矩阵列于表3和表4。从表3 可以看出，非对称型欧拉角表达的雅可比矩阵都在=/2时浮现奇异，因此它们存在大角度的一阶运动奇异;从表4可以看出，对称型欧拉角表达的雅可比矩阵都在=0时浮现奇异，因此它们存在小角度的一阶运动奇异。欧拉角参数表达的二阶运动对式( 4) 继续求导，可以得到刚体的瞬时空间角加速度，它也是在惯性坐标系中描述的。计算的成果如下，其她欧拉角参数表达的矩阵列于表5 和表6。从表5 可以看出，非对称欧拉角表达在 = /2时浮现二阶运动奇异，因此在这些点上存在大角度的二阶运动奇异; 从表6 可以看出，对称欧拉角表达都在 = 0 时浮现二阶运动奇异，因此在这些点上存在小角度二阶运动奇异。
姿态的欧拉角表示
