2022年数学第十五讲二次函数的综合题及应用

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1、第十五讲二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式例 1（2013?牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c 过点 A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使 ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标思路分析：（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，-3）代入）二次函数y=x2+bx+c 中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x-3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据 ABP的面积为10 可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标解：（1）二次

2、函数y=x2+bx+c 过点 A（1，0），C（0，-3），103bcc，解得23bc，二次函数的解析式为y=x2+2x-3；（2）当 y=0 时，x2+2x-3=0，解得：x1=-3，x2=1；A（1，0），B（-3，0），AB=4，设 P（m，n），ABP的面积为10，12AB?|n|=10，解得：n=5，当 n=5 时，m2+2m-3=5，解得：m=-4 或 2，P（-4，5）（2，5）；当 n=-5 时，m2+2m-3=-5，方程无解，故 P（-4，5）（2，5）；精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 33 页点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键

3、是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式对应训练1（2013?湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（-1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标1解：（1）抛物线y=-x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（-1，0）抛物线的解析式为；y=-（x-3）（x+1），即 y=-x2+2x+3，（2）抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，抛物线的顶点坐标为：（1，4）考点二：二次函数与x 轴的交点问题例 2（2013?苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m

4、=0 的两实数根是（）Ax1=1，x2=-1 Bx1=1，x2=2 Cx1=1，x2=0 D x1=1，x2=3 思路分析：关于 x 的一元二次方程x2-3x+m=0 的两实数根就是二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标解：二次函数的解析式是y=x2-3x+m（m为常数），该抛物线的对称轴是：x=32又二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（2，0），关于 x 的一元二次方程x2-3x+m=0 的两实数根分别是：x1=1，x2=2故选 B点评：本题考查了抛物线与x 轴

5、的交点解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0 的两实数根对应训练2（2013?株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A-8 B8 C 8 D6 2B 考点三：二次函数的实际应用例 3 （2013?营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20 元，市场调查发现，该精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 33 页产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80 设这种产品每天的销售利润

6、为 w元（1）求 w与 x 之间的函数关系式（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28 元，该农户想要每天获得150 元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？思路分析：（1）根据销售额=销售量销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；（3）把 y=150 代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据 x 的取值范围求x 的值解：（1）由题意得出：w=（x-20）?y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120 x-1600，故 w与 x 的函数

7、关系式为：w=-2x2+120 x-1600；（2）w=-2x2+120 x-1600=-2（x-30）2+200，-2 0，当 x=30 时，w有最大值 w最大值为 200答：该产品销售价定为每千克30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润200 元（3）当 w=150时，可得方程-2（x-30）2+200=150解得x=25，x2=353528，x2=35 不符合题意，应舍去答：该农户想要每天获得150 元的销售利润，销售价应定为每千克25 元点评：本题考查了二次函数的运用关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题对应训练3（2013?武汉）科幻小说实验室的故事中，有这样一个

8、情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度 x/-4-2 0 2 4 4.5 植物每天高度增长量y/mm 41 49 49 41 25 19.75 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度 x 的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写

9、出结果3解：（1）选择二次函数，设y=ax2+bx+c（a0），x=-2 时，y=49，x=0 时，y=49，x=2 时，y=41，4249494241abccabc，精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 33 页解得1249abc，所以，y 关于 x 的函数关系式为y=-x2-2x+49；不选另外两个函数的理由：点（0，49）不可能在反比例函数图象上，y 不是 x 的反比例函数，点（-4，41）（-2，49）（2，41）不在同一直线上，y 不是 x 的一次函数；（2）由（1）得，y=-x2-2x+49=-（x+1）2+50，a=-1 0，当 x=-1 时，y 有最大值为50，即当温度

10、为-1 时，这种作物每天高度增长量最大；（3）10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，平均每天该植物高度增长量超过25mm，当 y=25 时，-x2-2x+49=25，整理得，x2+2x-24=0，解得 x1=-6，x2=4，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在-6 x4考点四：二次函数综合性题目例 4（2013?自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a0）与 x 轴交于 A、B两点，与y 轴交于 C点，直线 BD交抛物线于点D，并且 D（2，3），tan DBA=12（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M为抛物线上一动点，且在第三象

11、限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA 面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA 面积最大的条件下，过点M作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以 Q点为圆心，OQ 为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由思路分析：（1）如答图1 所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1 所示，首先求出四边形BMCA 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解如答图2 所示，首先求出直线AC与直线 x=2 的交点 F 的坐标，从而确定了RtAGF的各个边长；

12、然后证明 Rt AGF RtQEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标解：（1）如答图1 所示，过点D作 DE x 轴于点 E，则 DE=3，OE=2 精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 33 页tan DBA=DEBE=12，BE=6，OB=BE-OE=4，B（-4，0）点 B（-4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx-2（a0）上，164204223abab，解得1232ab，抛物线的解析式为：y=12x2+32x-2（2）抛物线的解析式为：y=12x2+32x-2，令 x=0，得 y=-2，C（0，-2），令 y=0，得 x=-4 或 1，A（1，0）设点 M

13、坐标为（m，n）（m 0，n0），如答图 1 所示，过点M作 MF x 轴于点 F，则 MF=-n，OF=-m，BF=4+m S四边形 BMCA=SBMF+S梯形 MFOC+SAOC=12BF?MF+12（MF+OC）?OF+12OA?OC=12（4+m）（-n）+12（-n+2）（-m）+1212=-2n-m+1 精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 33 页点 M（m，n）在抛物线y=12x2+32x-2 上，n=12m2+32m-2，代入上式得：S四边形 BMCA=-m2-4m+5=-（m+2）2+9，当 m=-2 时，四边形BMCA 面积有最大值，最大值为9（3）假设存在这样的

14、Q 如答图 2 所示，设直线x=-2 与 x 轴交于点G，与直线AC交于点 F设直线 AC的解析式为y=kx+b，将 A（1，0）、C（0，-2）代入得：02kbb，解得：k=2，b=-2，直线 AC解析式为：y=2x-2，令 x=-2，得 y=-6，F（-2，-6），GF=6 在 RtAGF中，由勾股定理得：AF=22AGGF=22363 5设 Q（-2，n），则在RtAGF中，由勾股定理得：OQ=22OGQF=24n设 Q与直线 AC相切于点E，则 QE=OQ=24n在 RtAGF与 RtQEF中，AGF=QEF=90，AFG=QFE，RtAGF RtQEF，AFAGQFQE，即3 56n

15、=234n，化简得：n2-3n-4=0，解得 n=4 或 n=-1 存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（-2，4）或（-2，-1）点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 33 页定的难度第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标对应训练4（2013?张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c

16、（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在 x 轴正半轴上，且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点 C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQ CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段 QE上的动点，点F 是线段 OD上的动点，问：在P点和 F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由4解：（1）C（0，1），OD=OC，D点坐标为（1，0）设直线 CD的解析式为y=kx+b（k0），将 C（0，1），D（1，0）代入得：10bkb，解得：b=1，k=-1，直线 C

17、D的解析式为：y=-x+1（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，将 C（0，1）代入得：1=a（-2）2+3，解得 a=-12y=-12（x-2）2+3=-12x2+2x+1（3）证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且 OC OD，OCD 为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CE x 轴，则点 C、E关于对称轴（直线x=2）对称，点 E的坐标为（4，1）如答图所示，设对称轴（直线x=2）与 CE交于点 F，则 F（2，1），精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 33 页ME=CM=QM=2，QME 与 QMC 均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45 又

18、OCD 为等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=ODC=OCD=45，CEQ CDO（4）存在如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于 x 轴的对称点C，连接CC，交OD于点 F，交 QE于点 P，则 PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段 CC的长度（证明如下：不妨在线段OD 上取异于点F的任一点 F，在线段 QE上取异于点P的任一点 P，连接 FC，FP，PC由轴对称的性质可知，PCF 的周长=FC+FP+PC；而 FC+FP+PC是点C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF 的周长大于P

19、CE的周长）如答图所示，连接CE，C，C关于直线QE对称，QCE为等腰直角三角形，QC E 为等腰直角三角形，CEC 为等腰直角三角形，点 C的坐标为（4，5）；C，C关于x 轴对称，点C的坐标为（-1，0）过点 C作 CN y 轴于点 N，则 NC=4，NC=4+1+1=6，在 RtCNC 中，由勾股定理得：CC=2222462 13NCNC综上所述，在P点和 F 点移动过程中，PCF的周长存在最小值，最小值为213精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 33 页【聚焦山东中考】1（2013?淄博）如图，Rt OAB 的顶点 A（-2，4）在抛物线 y=ax2上，将 RtOAB绕点 O

20、顺时针旋转90，得到 OCD，边 CD与该抛物线交于点P，则点 P的坐标为（）A（2，2）B（2，2）C（2，2）D（2，2）1C 2（2013?滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为 180cm，高为 20cm请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）2解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为1802-x=（90-x）cm由题意得：y=x（90-x）20=-20（x2-90 x）=-20（x-45）2+40500 当 x=45 时，y 有最大值，最大值为40500答：当抽屉底面宽为45cm时

21、，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm33（2013?日照）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100 辆公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：x 3O00 3200 3500 4000 y 100 96 90 80（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150 元，未租出的车每辆每月需要维护费50 元用含 x（x3000）的代数式填表：租出的车辆数未租出的车辆数租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费（3）若你是该公司的经理，

22、你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元3解：（1）由表格数据可知y 与 x 是一次函数关系，设其解析式为y=kx+b由题：3000100320096kbkb，解之得：150160kb，y 与 x 间的函数关系是y=-150 x+160精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 33 页（2）如下表：租出的车辆数-150 x+160 未租出的车辆数150 x-60 租出的车每辆的月收益x-150 所有未租出的车辆每月的维护费x-3000（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：W=（-150 x+160）（x-150）-（x-3000）=

23、（-150 x2+163x-24000）-（x-3000）=-150 x2+162x-21000=-150（x-4050）2+30705 当 x=4050 时，Wmax=307050，即：当每辆车的月租金为4050 元时，公司获得最大月收益307050 元故答案为：-150 x+160，150 x-60 4（2013?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C（0，-3）点，点P是直线 BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接 PO、PC，并把 POC沿 CO

24、翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC的最大面积4解：（1）将 B、C两点的坐标代入得930-3bcc，解得：-2-3bc；所以二次函数的表达式为：y=x2-2x-3。（2）存在点P，使四边形POP C 为菱形；精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 33 页如图，设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP 交 CO于 E 若四边形POP C 是菱形，则有PC=PO；连接 PP，则 PE CO于 E，OE=E

25、C=32，y=-32；x2-2x-3=-32解得 x1=2102，x2=2102（不合题意，舍去）P点的坐标为（2102，-32）。（3）过点 P作 y 轴的平行线与BC交于点 Q，与 OB交于点 F，设 P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3 则 Q点的坐标为（x，x-3）；S四边形 ABPC=SABC+SBPQ+S CPQ=12AB?OC+12QP?BF+12QP?OF=1243+12(-x2+3x)3=-32(x-32)2+758。当x=32时，四边形ABPC 的面积最大此时 P点的坐标为(32，-154)，四边形 ABPC的面积的最大值为758精选学习资料 -名师

26、归纳总结-第 11 页，共 33 页5（2013?潍坊）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在RtABC内修建矩形水池DEFG，使定点 D，E在斜边 AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=243米，BAC=60，设EF=x米，DE=y米（1）求 y 与 x 之间的函数解析式；（2）当 x 为何值时，矩形DEFG 的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x 为何值时，矩形DEFG 的面积及等于两弯新月面

27、积的13？5解：（1）在 RtABC中，ACB=90，AB=243米，BAC=60，AC=12AB=123米，BC=3AC=36米，ABC=30，AD=tan60DG=33x，BE=tan30EF=3x，AD+DE+BE=AB，33x+y+3x=243，y=243-33x-3x=243-4 33x，即 y 与 x 之间的函数解析式为y=243-4 33x（0 x18）；（2）y=243-4 33x，矩形DEFG 的面积=xy=x（243-4 33x）=-4 33x2+243x=-4 33（x-9）2+1083，当 x=9 米时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是1083平方米；精选学习资料 -

28、名师归纳总结-第 12 页，共 33 页（3）记 AC、BC、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则 S1=18AC2，S2=18BC2，S3=18AB2，AC2+BC2=AB2，S1+S2=S3，S1+S2-S=S3-SABC，S=SABC，两弯新月的面积S=12AC?BC=1212336=2163（平方米）如果矩形DEFG 的面积及等于两弯新月面积的13，那么-4 33（x-9）2+1083=132163，化简整理，得（x-9）2=27，解得 x=933，符合题意所以当 x 为（933）米时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的136（2013?烟台）如图，在平

29、面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2 的正方形，二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点A，B，与 x 轴分别交于点E，F，且点 E的坐标为（-23，0），以 0C为直径作半圆，圆心为D（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是 D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段 CB上的一个动点（点M与点 B，C不重合），过点 M作 MN BE交 x 轴与点 N，连结 PM，PN，设 CM的长为 t，PMN 的面积为S，求 S与 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由6解：（1）由题意，得A（0，2），

30、B（2，2），E的坐标为（-23，0），精选学习资料 -名师归纳总结-第 13 页，共 33 页则224242-093caabc，解得9-8942abc，该二次函数的解析式为：y=-98x2+94x+2；（2）如图 1，过点 D作 DG BE于点 G 由题意，得ED=23+1=53，EC=2+23=83，BC=2，BE=6449=103 BEC=DEG，EGD=ECB=90，EGD ECB，DGDEBCBE，DG=1 D的半径是1，且 DG BE，BE是 D的切线；（3）如图 2，由题意，得E（-23，0），B（2，2）设直线 BE为 y=kx+h（k 0）则22203khh，精选学习资料 -

31、名师归纳总结-第 14 页，共 33 页解得，3412kh，直线 BE为：y=34x+12直线 BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，点 P的纵坐标y=54，即 P（1，54）MN BE，MNC=BEC C=C=90，MNC BEC，CNMCECBC，823CNt，则 CN=43t，DN=54t-1，S PND=12DN?PD=12（43t-1）?54=56t-58S MNC=12CN?CM=1243t?t=23t2S梯形 PDCM=12（PD+CM）?CD=12?（54+t）?1=58+12t S=SPND+S梯形 PDCM-SMNC=-23t2+43t（0t 2）抛物线S=-2

32、3t2+43t（0t2）的开口方向向下，S存在最大值当t=1 时，S最大=237（2013?泰安）如图，抛物线y=12x2+bx+c 与 y 轴交于点C（0，-4），与 x 轴交于点A，B，且 B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点 P是 AB上的一动点，过点P作 PE AC，交 BC于 E，连接 CP，求 PCE面积的最大值（3）若点 D为 OA的中点，点M是线段 AC上一点，且OMD 为等腰三角形，求M点的坐标精选学习资料 -名师归纳总结-第 15 页，共 33 页7解：（1）把点 C（0，-4），B（2，0）分别代入y=12x2+bx+c 中，得2-412202cbc，

33、解得1-4bc。该抛物线的解析式为y=12x2+x-4（2）令 y=0，即12x2+x-4=0，解得 x1=-4，x2=2，A（-4，0），SABC=12AB?OC=12设 P点坐标为（x，0），则 PB=2-xPE AC，BPE=BAC，BEP=BCA，PBE ABC，2PBEABCS()SPBABVV，即2PBES2()126xV，化简得：SPBE=13（2-x）2S PCE=SPCB-SPBE=12PB?OC-SPBE=12（2-x）4-13（2-x）2=-13x2-23x+83=-13（x+1）2+3 当 x=-1 时，SPCE的最大值为3精选学习资料 -名师归纳总结-第 16 页，共

34、 33 页（3）OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当 DM=DO 时，如答图所示DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45，ADM=90，M点的坐标为（-2，-2）；（II）当 MD=MO 时，如答图所示过点 M作 MN OD于点 N，则点 N为 OD的中点，DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又 AMN 为等腰直角三角形，MN=AN=3，M点的坐标为（-1，-3）；（III）当 OD=OM 时，OAC为等腰直角三角形，点 O到 AC的距离为224=22，即 AC上的点与点O之间的最小距离为2222 2，OD=OM 的情况不存在综上所述，点M的坐标为（-2，-2）或（-1，-3）8

35、（2013?威海）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=12x+32与直线 y=x 交于点 A，点 B在直线 y=12x+32上，BOA=90 抛物线y=ax2+bx+c 过点 A，O，B，顶点为点E（1）求点 A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x 与抛物线的对称轴交于点C，直线 BC交抛物线于点D，过点 E作 FE x 轴，交直线AB于精选学习资料 -名师归纳总结-第 17 页，共 33 页点 F，连接 OD，CF，CF交 x 轴于点 M 试判断 OD与 CF是否平行，并说明理由8解：（1）由直线y=12x+32与直线 y=x 交于点 A，得1322yxy

36、x，解得，33xy，点 A的坐标是（3，3）BOA=90，OB OA，直线 OB的解析式为y=-x 又点 B在直线 y=12x+32上，1322yxyx，解得，11xy，点 B的坐标是（-1，1）综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）抛物线y=ax2+bx+c 过点 A，O，B，9330-1abcca bc，精选学习资料 -名师归纳总结-第 18 页，共 33 页解得12120abc，该抛物线的解析式为y=12x2-12x，或 y=12（x-12）2-18顶点 E的坐标是（12，-18）；（3）OD与 CF平行理由如

37、下：由（2）知，抛物线的对称轴是x=12直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点C，C（12，12）设直线 BC的表达式为y=kx+b（k0），把 B（-1，1），C（12，12）代入，得-121122kbkb，解得1-323kb，直线 BC的解析式为y=-13x+23直线 BC与抛物线交于点B、D，-13x+23=12x2-12x，解得，x1=43，x2=-1精选学习资料 -名师归纳总结-第 19 页，共 33 页把 x1=43代入 y=-13x+23，得 y1=29，点 D的坐标是（43，29）如图，作DN x 轴于点 N则 tan DON=16DNONFEx 轴，点 E的坐标为（12，-18

38、）点 F 的纵坐标是-18把 y=-18代入 y=12x+32，得 x=-134，点 F 的坐标是（-134，-18），EF=12+134=158CE=12+18=58，tan CFE=16CEEF，CFE=DON 又 FEx 轴，CMN=CFE，CMN=DON，OD CF，即 OD与 CF平行9（2013?潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c 关于直线x=1 对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，32）在抛物线上，直线l 是一次函数y=kx-2（k0）的图象，点O是坐标原点（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值；（3）把抛物线向左平

39、移1 个单位，再向下平移2 个单位，所得抛物线与直线l 交于 M，N两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k 取何值，直线PM与 PN总是关于y 轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由9解：（1）因为抛物线关于直线x=1 对称，AB=4，所以 A（-1，0），B（3，0），精选学习资料 -名师归纳总结-第 20 页，共 33 页设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），点 D（2，32）在抛物线上，32=a3（-1），解得 a=-12，抛物线解析式为：y=-12（x+1）（x-3）=-12x2+x+32（2）抛物线解析式为：y=-12x2+x+32，令 x=0，得

40、y=32，C（0，32），D（2，32），CD OB，直线 CD解析式为y=32直线 l 解析式为y=kx-2，令 y=0，得 x=2k；令 y=32，得 x=72k；如答图 1 所示，设直线l 分别与 OB、CD交于点 E、F，则 E（2k，0），F（72k，32），OE=2k，BE=3-2k，CF=72k，DF=2-72k直线 l 平分四边形OBDC 的面积，S梯形 OEFC=S梯形 FDBE，12（OE+CF）?OC=12（FD+BE）?OC，OE+CF=FD+BE，即：2k+72k=（3-2k）+（2-72k），解方程得：k=115，经检验k=115是原方程的解且符合题意，k=115精

41、选学习资料 -名师归纳总结-第 21 页，共 33 页（3）假设存在符合题意的点P，其坐标为（0，t）抛物线解析式为：y=-12x2+x+32=-12（x-1）2+2，把抛物线向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位，所得抛物线解析式为：y=-12x2依题意画出图形，如答图2所示，过点M作 MD y 轴于点 D，NEy 轴于点 E，设 M（xm，ym），N（xn，yen），则 MD=-xm，PD=t-ym；NE=xn，PE=t-yen直线 PM与 PN关于 y 轴对称，MPD=NPE，又 MDP=NEP=90，RtPMD RtPNE，MDPDNEPE，即mmnnxtyxty，点 M、N在直线

42、y=kx-2 上，ym=kxm-2，yen=kxn-2，代入式化简得：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn把 y=kx-2 代入 y=-12x2，整理得：x2+2kx-4=0，xm+xn=-2k，xmxn=-4，代入式解得：t=2，符合条件所以在 y 轴正半轴上存在一个定点P（0，2），使得不论k 取何值，直线PM与 PN总是关于y 轴对称【备考真题过关】一、选择题1（2013?大庆）已知函数y=x2+2x-3，当 x=m时，y0，则 m的值可能是（）A-4 B0 C2 D 3 1B 2（2013?南昌）若二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），

43、（x2，0），且 x1x2，图象上有一点M（x0，y0）在 x 轴下方，则下列判断正确的是（）Aa0 Bb2-4ac0Cx1x0 x2Da（x0-x1）（x0-x2）0 2D 3（2013?湖州）如图，在1010 的网格中，每个小方格都是边长为1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距精选学习资料 -名师归纳总结-第 22 页，共 33 页离为32，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件

44、且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是（）A16 B15 C14 D 13 3C 二、填空题4（2013?宿迁）若函数y=mx2+2x+1 的图象与x 轴只有一个公共点，则常数m的值是40 或 1 5（2013?贵港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，若动点P在抛物线y=ax2上，P恒过点 F（0，n），且与直线 y=-n 始终保持相切，则n=（用含 a 的代数式表示）514a6（2013?锦州）二次函数y=23x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3An在 y 轴的正半轴上，点 B1，B2，B3Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3Cn在二次函数位于第二象限的图象上

45、，四边形 A0B1A1C1，四边形 A1B2A2C2，四边形 A2B3A3C3四边形An-1BnAnCn都是菱形，A0B1A1=A1B2A1=A2B3A3=An-1BnAn=60，菱形An-1BnAnCn的周长为64n三、解答题精选学习资料 -名师归纳总结-第 23 页，共 33 页7（2013?鞍山）某商场购进一批单价为4 元的日用品若按每件5 元的价格销售，每月能卖出3 万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2 万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多

46、少？7解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：300005200006tbtb，解得：1000080000kb，所以 y 与 x 之间的关系式为：y=-10000 x+80000；（2）设利润为W，则 W=（x-4）（-10000 x+80000）=-10000（x-4）（x-8）=-10000（x2-12x+32）=-10000（x-6）2-4=-10000（x-6）2+40000 所以当 x=6 时，W取得最大值，最大值为40000 元答：当销售价格定为6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000 元8（2013?乌鲁木齐）某公司销售一种

47、进价为20 元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：价格 x（元/个）30 40 50 60 销售量 y（万个）5 4 3 2 同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40 万元（1）观察并分析表中的y 与 x 之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出 y（万个）与x（元/个）的函数解析式（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40 万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价

48、格应定为多少元？8解：（1）根据表格中数据可得出：y 与 x 是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b，则305404abab，解得：1108ab，故函数解析式为：y=-110 x+8；（2）根据题意得出：精选学习资料 -名师归纳总结-第 24 页，共 33 页z=（x-20）y-40=（x-20）（-110 x+8）-40=-110 x2+10 x-200=-110（x2-100 x）-200=-110 （x-50）2-2500-200=-110（x-50）2+50，故销售价格定为50 元/个时净得利润最大，最大值是50 万元（3）当公司要求净得利润为40 万元时，即-110（x-50）2+

49、50=40，解得：x1=40，x2=60如上图，通过观察函数y=-110（x-50）2+50 的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40 万元，则销售价格的取值范围为：40 x60而 y 与 x 的函数关系式为：y=-110 x+8，y 随 x 的增大而减少，9（2013?达州）今年，6 月 12 日为端午节在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2 元的粽子的销售情况请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题（1）小华的问题解答：；（2）小明的问题解答：精选学习资料 -名师归纳总结-第 25 页，共 33 页9解：（1）设定价为x 元，利润为y 元，则销售量为：（500-30.1x

50、10），由题意得，y=（x-2）（500-30.1x10）=-100 x2+1000 x-1600=-100（x-5）2+900，当 y=800 时，-100（x-5）2+900=800，解得：x=4 或 x=6，售价不能超过进价的240%，x2240%，即 x4.8，故 x=4，即小华问题的解答为：当定价为4 元时，能实现每天800 元的销售利润；（2）由（1）得 y=-100（x-5）2+900，-100 0，函数图象开口向下，且对称轴为x=5，x4.8，故当 x=4.8 时函数能取最大值，即 ymax=-100（4.8-5）2+900=896故小明的问题简答为：800 元的销售利润不是最

51、多，当定价为4.8 元是，每天的销售利润最大故答案为：当定价为4 元时，能实现每天800 元的销售利润；800 元的销售利润不是最多，当定价为4.8元是，每天的销售利润最大10（2013?黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：y1=1590(02)5130(26)xxxx，若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为y2=100(02)5110(26)ttt。（1）用 x 的代数式表示t 为：t=；当 0 x4 时，

52、y2与 x 的函数关系为：y2=；当时，y2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出 x 的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？10解：（1）由题意，得x+t=6，t=6-x；y2=100(02)5110(26)ttt，当 0 x4 时，26-x 6，即 2t 6，精选学习资料 -名师归纳总结-第 26 页，共 33 页此时 y2与 x 的函数关系为：y2=-5（6-x）+110=5x+80；当 4x 6时，06-x 2，即 0t 2，此时 y2=100故答案为6-x；

53、5x+80；4，6；（2）分三种情况：当 0 x2 时，w=（15x+90）x+（5x+80）（6-x）=10 x2+40 x+480；当 2x4 时，w=（-5x+130）x+（5x+80）（6-x）=-10 x2+80 x+480；当 4x 6 时，w=（-5x+130）x+100（6-x）=-5x2+30 x+600；综上可知，w=2221040480(02)1080480(24)530600(46)xxxxxxxxx；（3）当 0 x2 时，w=10 x2+40 x+480=10（x+2）2+440，此时 x=2 时，w最大=600；当 2x4 时，w=-10 x2+80 x+480=

54、-10（x-4）2+640，此时 x=4 时，w最大=640；当 4x 6时，w=-5x2+30 x+600=-5（x-3）2+645，4 x6 时，w640；x=4 时，w最大=640故该公司每年国内、国外的销售量各为4 千件、2 千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64 万元11.（2013?湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y 轴于 A点，交 x 轴于 B、C两点（点B在点 C的左侧），已知A点坐标为（0，-5）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点 B作线段 AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴 l 与 C有什么位

55、置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使 ACP是以 AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由11解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x-3）2+4，将 A（0，-5）代入求得：a=-1，抛物线解析式为y=-（x-3）2+4=-x2+6x-5 精选学习资料 -名师归纳总结-第 27 页，共 33 页（2）抛物线的对称轴l 与 C相离证明：令 y=0，即-x2+6x-5=0，得 x=1 或 x=5，B（1，0），C（5，0）如答图所示，设切点为E，连接 CE，由题意易证RtABO Rt BCE，ABOBBCCE，即225114CE，求得 C的半径 CE

56、=426；而点 C到对称轴x=3 的距离为2，2426，抛物线的对称轴l 与 C相离（3）存在理由如下：有两种情况：（I）如答图所示，点P在 x 轴上方A（0，-5），C（5，0），AOC 为等腰直角三角形，OCA=45；PC AC，PCO=45 过点 P作 PF x 轴于点 F，则 PCF为等腰直角三角形精选学习资料 -名师归纳总结-第 28 页，共 33 页设点 P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，OC=OF+CF=m+n=5 又点 P在抛物线上，n=-m2+6m-5 联立式，解得：m=2或 m=5 当 m=5时，点 F 与点 C重合，故舍去，m=2，n=3，点 P坐标为（2

57、，3）；（II）如答图所示，点P在 x 轴下方A（0，-5），C（5，0），AOC 为等腰直角三角形，OAC=45；过点 P作 PF x 轴于点 F，PA AC，PAF=45，即PAF为等腰直角三角形设点 P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=-n=OA+AF=5+m，m+n=-5 又点 P在抛物线上，n=-m2+6m-5 联立式，解得：m=0或 m=7 当 m=0时，点 F 与原点重合，故舍去，m=7，n=-12，点 P坐标为（7，-12）综上所述，存在点P，使 ACP是以 AC为直角边的直角三角形点P的坐标为（2，3）或（7，-12）12（2013?曲靖）如图，在平面直角坐标系xO

58、y 中，直线y=x+4 与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=-x2+bx+c点 D为线段 AB上一动点，过点D作 CD x 轴于点 C，交抛物线于点E（1）求抛物线的解析式（2）当 DE=4时，求四边形CAEB 的面积（3）连接 BE，是否存在点D，使得 DBE和 DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由精选学习资料 -名师归纳总结-第 29 页，共 33 页12解：（1）在直线解析式y=x+4 中，令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=-4，A（-4，0），B（0，4）点 A（-4，0），B（0，4）在抛物线y=-x2+bx+c 上，-16-404bcc，

59、解得：b=-3，c=4，抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4（2）设点 C坐标为（m，0）（m 0），则 OC=-m，AC=4+m OA=OB=4，BAC=45，ACD为等腰直角三角形，CD=AC=4+m，CE=CD+DE=4+m+4=8+m，点 E坐标为（m，8+m）点 E在抛物线y=-x2-3x+4 上，8+m=-m2-3m+4，解得 m=-2C（-2，0），AC=OC=2，CE=6，S四边形 CAEB=SACE+S梯形 OCEB-SBCO=1226+12（6+4）2-1224=12（3）设点 C坐标为（m，0）（m 0），则 OC=-m，CD=AC=4+m，BD=2OC=-2m，则 D

60、（m，4+m）ACD为等腰直角三角形，DBE和 DAC相似 DBE必为等腰直角三角形i）若 BED=90，则BE=DE，BE=OC=-m，DE=BE=-m，CE=4+m-m=4，E（m，4）点 E在抛物线y=-x2-3x+4 上，4=-m2-3m+4，解得 m=0（不合题意，舍去）或m=-3，D（-3，1）；ii）若 EBD=90，则BE=BD=-2m，精选学习资料 -名师归纳总结-第 30 页，共 33 页在等腰直角三角形EBD中，DE=2BD=-2m，CE=4+m-2m=4-m，E（m，4-m）点 E在抛物线y=-x2-3x+4 上，4-m=-m2-3m+4，解得 m=0（不合题意，舍去）

61、或m=-2，D（-2，2）综上所述，存在点D，使得 DBE和 DAC相似，点 D的坐标为（-3，1）或（-2，2）13（2013?钦州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=12x2+2x 与 x 轴相交于O、B，顶点为 A，连接 OA（1）求点 A的坐标和 AOB的度数；（2）若将抛物线y=12x2+2x 向右平移4 个单位，再向下平移2 个单位，得到抛物线m，其顶点为点C连接 OC和 AC，把 AOC 沿 OA翻折得到四边形ACOC 试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点C是否在抛物线y=12x2+2x 上，请说明理由；（4）若点 P为 x 轴上的一个动点，试

62、探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由13解：（1）由 y=12x2+2x 得，y=12（x-2）2-2，抛物线的顶点A的坐标为（-2，-2），令12x2+2x=0，解得 x1=0，x2=-4，点 B的坐标为（-4，0），如图 1，过点 A作 AD x 轴，垂足为D，ADO=90，点 A的坐标为（-2，-2），点 D的坐标为（-2，0），OD=AD=2，AOB=45；精选学习资料 -名师归纳总结-第 31 页，共 33 页（2）四边形ACOC 为菱形由题意可知抛物线m的二次项系数

63、为12，且过顶点C的坐标是（2，-4），抛物线的解析式为：y=12（x-2）2-4，即 y=12x2-2x-2，过点 C作 CE x 轴，垂足为E；过点 A作 AF CE，垂足为F，与 y 轴交与点H，OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE-EF=2，OC=2222242 5OEEC，同理，AC=25，OC=AC，由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC=AC，故四边形ACOC 为菱形（3）如图 1，点 C不在抛物线y=12x2+2x 上理由如下：过点 C作 CG x 轴，垂足为G，OC和 OC 关于 OA对称，AOB=AOH=45，COH=COG，CE OH，OCE=COG，又 CEO=CGO=90，OC=OC，CEO CGO，OG=4，CG=2，点 C的坐标为（-4，2），把 x=-4 代入抛物线y=12x2+2x 得 y=0，点 C不在抛物线y=12x2+2x 上；精选学习资料 -名师归纳总结-第 32 页，共 33 页（4）存在符合条件的点Q点 P为 x 轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，设 Q（a，12（a-2）2-4），OC为该四边形的一条边，OP为对角线，21(2)44202a，解得 x1=6，x2=4，P（6，4）或（-2，4）（舍去），点 Q的坐标为（6，4）精选学习资料 -名师归纳总结-第 33 页，共 33 页