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1、2010考研数学（三）真题及试题分析一、 选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.（1）若，则等于（A） 0 （B） 1 （C）2 （D） 3答：应选（C）.解析：对任何常数可得从而有（2）设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则（A） （B）（C） （D）答：应选（A）.解析：由是该方程的解得又是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，所以 即 .同理由是该方程对应的齐次方程的解可得 即 故 （3）设函数具有二阶导数，且 若是的极值，则在取极大值的一个
2、充分条件是（A） （B）（C） （D）答：应选（B）.解析：利用二阶可导函数在点处取得极大值的一个充分条件是且来解决本题.设，由题设知二阶可导，且因为，即与反号，从而当时就有且，即是的一个极大值点.（4）设，则当充分大时有（A） （B）（C） （D） 答：应选（C）解析：求解本题的依据是：由极限的不等式性质可得,若函数，且，则存在使得当时成立，即当充分大时必有成立.当时函数都是正函数，且由此即知当充分大时与同时成立，故.（5）设向量组 可由向量组线性表示.下列命题正确的是（A） 若向量组线性无关，则 （B）若向量组线性相关，则（C） 若向量组线性无关，则 （D）若向量组线性相关，则答：应选（A
3、）.解析：因为向量组 可由向量组线性表示，所以若向量组线性无关，则，则.其余选项结论均不能得出，可以举简单的反例说明其不正确.（6）设A为4阶实对称矩阵，且，若A的秩为3，则A相似于 （A） （B） （C） （D） 答：应选（D）.解析：由知 那么对于有，因此矩阵A的特征值只能是-1或0.又因A是实对称矩阵，A可以相似对角化（即），而的对角线上的元素既是矩阵A的特征值，再由相似矩阵有相同的秩，可知 (7) 设随机变量的分布函数，则 （A） 0 （） （C） （D）答：应选（C）.解析：由概率值与分布函数的定义知：(8) 设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满
4、足（A） （B） （C） (D) 答：应选（A）.由题意知：因为是概率密度函数，所以，即：.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设可导函数由方程确定，则解析：题设方程可改写为，把它看成关于变量的恒等式，两端分别对求导数可得.当时，将代入上式可得：. 所以（10）设位于曲线下方，轴上方的误解区域为G，则G绕轴旋转一周所得空间区域的体积为解析：所求旋转体的体积令作换元，则，且，代入得（11）设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中为价格，且，解析：按收益弹性的定义可知，从而收益函数应是微分方程满足的特解. 分离变量可得两端积分可得通解，把时代入可确定常
5、数. 从而所求特解为 .由此可得收益函数 （12）若曲线有拐点，则解析：计算可得 因为是拐点，于是由此可得（13）设为3阶矩阵，且，则解析：利用单位矩阵恒等变形有可见 （14）设是来自总体的简单随机样本.记统计量，则解析：根据简单随机样本的性质，相互独立且与总体同分布，即，于是因此三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）(本题满分10分)求极限解析：设，则，则由洛必达法则可得由于，于是当时有. 代入上式即得 故所求极限（16）(本题满分10分) 计算二重积分，其中由曲线与直线及围成.解析：由题设知积分区域的上边界是直线
6、，下边界是直线，它们相交于坐标原点，而的右边界则是双曲线的右支.注意积分区域关于轴对称，记为在半平面的部分区域，则，于是所求二重积分由于关于是偶函数，而关于是奇函数，所以（17）(本题满分10分) 求函数在约束条件下的最大值和最小值.解析：本题是条件极值问题，可用拉格朗日乘数法求解.为此引入拉格朗日函数为求的驻点，应解如下方程组从前三个式中消去可得驻点应满足代入第四个式子即可求得四个驻点代入计算得从而知在与两点处取得最小值，在与两点处取得最大值.即函数在约束条件下的最大值是，最小值是.（18）(本题满分10分)（）比较与的大小，说明理由；（）设 求极限.解析：（）先比较0,1区间上的被积函数.
7、易知，对任意有，则.又 若记，可补充定义则在连续且因此 即 . （）易求得由题（）有：由夹逼定理知（19）（本题满分10分）设函数在上连续，在内存在二阶导数，且（）证明存在，使（）证明存在，使解析：（）因函数在上连续，且，由定积分中值定理知存在，使得，即（）由题设可知，当时必有，当时由闭区间上连续函数的性质可知，使得这样一来，在闭区间上总有不相同的两点与使得分别在区间与上对应用罗尔定理知与使得由于在区间上满足罗尔定理的全部条件，从而对在区间上应用罗尔定理即知，使得（20）(本题满分11分)设. 已知线性方程组存在2个不同的解，（）求；（）求方程组的通解.解析：（）因为线性方程组存在2个不同的解
8、，所以由 知当时，必有.此时线性方程组无解.而当时，若，则，方程组有无穷多解.故，.（）当，时，所以方程组的通解为，其中是任意常数.（21）(本题满分11分)设，正交矩阵使得为对角矩阵. 若的第一列为，求.解析：因为是正交矩阵，所以，即. 的对角线上的元素是的特征值，是的特征向量.按已知条件，是矩阵的特征向量，设特征值是，那么由 知矩阵的特征值是： .对，由，得基础解系对，由，得基础解系因为是实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，故只需把单位化，有那么令，则（22）(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为，求常数A及条件概率密度.解析：利用泊松分布可得又 于是有 （23）(本题满分11分) 箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别是1，2，3个，现从箱中随机地取出2个球，记为取出的红球个数，为取出的白球个数.（）求随机变量的概率分布；（）求.解析：（）是二维离散型随机变量，只能取0和1，而可以取0，1，2各值，由于 于是得的联合概率分布（表中最右一列与最下一行分别为关于和关于的边缘概率分布）：Y01203/156/151/152/313/152/1501/36/158/151/15（）根据的联合概率分布表可以计算出于是有
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