2022年正余弦定理及三角函数的综合应用个性化辅导讲义

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1、精品资料欢迎下载课题正、余弦定理及三角函数的综合应用教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题3、会运用三角公式进行简单三角函数式化简、求值和恒等式证明与解决有关实际问题4、会运用三角方法、袋鼠方法和解析方法求三角函数的最值，会由已知三件函数值求角重点、难点1、三角函数值域及最值的求法2、三角函数与向量、函数、不等式的综合问题及生产生活中的实际问题考点及考试要求高考对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角转化。三角形形状的判断、三角形内角的三角函数求值及三角恒等式的证明、立体几何中的空间角及

2、解析几何中有关角等问题。今后的命题中仍会以正余弦定理为框架，以三角形为主要依托，来综合考查三角形知识，题型一般是选择题和填空题，也有可能是中档难度的解答题，关注利用正余弦定理解决实际问题三角函数的综合应用在高考中地位显著，可以综合考查对三角函数知识的掌握情况。分析近几年高考，主要有以下几种类型：1、可转化为)sin(xAy的形式，然后研究性质2、可转化为cxbxaysinsin2的形式，然后借助于二次函数求闭区间上的最值3、与向量、三角形知识结合的综合题4、用三角函数知识解决生产生活中的实际问题教学内容知识框架1正弦定理、余弦定理设 ABC 的三个内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，R 是

3、 ABC 的外接圆半径(1)正弦定理：asinAbsinBcsinC2R.(2)正弦定理的变式：a2RsinA，b2RsinB，c 2RsinC.sinAa2R，sinBb2R，sinCc2R.a:b:csinA:sinB:sinC.(3)余弦定理 a2b2c22bc cosA，b2 c2 a22ca cosB，c2a2b2 2ab cosC.(4)余弦定理的变式精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载cosAb2c2a22bc；cosBc2a2b22ca；cosCa2b2c22ab.2解斜三角形的类型(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一

4、边的对角，求另一边的对角，进而求得其他边、角；(3)已知三边，求三个角；(4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角在 ABC 中，已知a、b 和 A 时，解的情况如下：考点一：利用正、余弦定理解三角形典型例题在 ABC 中，(1)若 b2，c1，B45，求 a 及 C 的值；(2)若 A60，a 7，b5，求边 c.知识概括、方法总结与易错点分析1已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断2应熟练掌握余弦定理及其推论解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷3三角形中

5、常见的结论(1)A BC.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载针对性练习在 ABC 中，已知a7，b3，c5，求最大角和sinC.考点二：利用正、余弦定理判断三角形形状典型例题ABC 中，已知acosAbcosB，则 ABC 为()A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形知识概括、方法总结与易错点分析依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状

6、；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论针对性练习：已知 ABC 中，sinCsinAsinBcosAcosB，试判断 ABC 的形状考点三：三角形面积公式的应用典型例题已知 ABC 中，cosA63，a，b，c 分别是角A、B、C 的对边(1)求 tan2A；(2)若 sin(2B)2 23，c22，求 ABC 的面积知识概括、方法总结与易错点分析1三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，或三角形的哪个角的正弦值可求2在解决三角形问题中，面积公式S12absinC12bcsin

7、A12acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来针对性练习：在 ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边，且满足(2ac)cosBbcosC.(1)求角 B 的大小；(2)若 b7，ac4，求 ABC 的面积考点四：正、余弦定理的综合应用典型例题：精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载在 ABC 中，A、B 为锐角，角A、B、C 所对的分别为a、b、c，且 cos2A35，sinB1010.(1)求 AB 的值；(2)若 ab21，求 a、b、c 的值知识概括、方法总结与易错点分析(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解

8、题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理针对性练习：1、在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足cosA22 55，AB AC3.(1)求 ABC 的面积；(2)若 bc6，求 a 的值2、设ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且 sin2Asin(3B)sin(3B)sin2B.(1)求角A的值；(2)若ABAC 12，a 27，求b，c(其中bc)巩固作业精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载1 在 ABC 中，若 b 1，c3，C23

9、，则 a_.2已知 a，b，c 分别是 ABC 的三个内角A，B，C 所对的边若a1，b3，A C2B，则 sinC_.3(江苏高考)在锐角 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，若baab6cosC，则tanCtanAtanCtanB的值是 _4在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，已知：b2，c4，cosA34.(1)求边 a 的值；(2)求 cos(AB)的值5)在 ABC 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求 A 的大小；(2)若 sinBsinC1，试判断 ABC 的形状6)在 A

10、BC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 cos2C14.(1)求 sinC 的值；(2)当 a2,2sinA sinC 时，求 b 及 c 的长7某人在山顶观察A、B 两个目标，测得A 在南偏西60 距山底 1000 米处，B 在南偏东60 距山底 800 米处，求A、B 之间的距离8)如右图，为了计算渭河岸边两景点B 与 C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两个测量点，现测得AD CD，AD100 m，AB140 m，BDA 60，BCD135，求两景点 B 与 C 之间的距离(假设 A，B，C，D 在同一平面内，测量结果保留整数；参数数据：2 1.414，31.732，52.236)精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载12)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度 H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h4 m，仰角 ABE ，ADE.(1)该小组已测得一组、的值，tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使 与 之差较大，可以提高测量精度若电视塔实际高度为125 m，试问 d 为多少时，最大？精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 6 页