哈工大版理论力学课件.ppt

,理论力学,理论力学,中南大学土木建筑学院,1,绪,论,一、理论力学的研究对象和内容,理论力学,中南大学土木建筑学院,2,理论力学：是研究物体机械运动一般规律的学科。 机械运动：是物体在空间的位置随时间的变化。 理论力学的内容： 静力学：研究物体在力系作用下的平衡规律，同时也研究 力的一般性质和力系的简化方法等。 运动学：研究物体运动的几何性质，而不研究引起物体运 动的原因。 动力学：研究受力物体的运动与作用力之间的关系。,1、理论力学是一门理论性较强的技术基础课,专 业 课,技 术 基 础 课,基 础 课,二、理论力学的任务,理论力学,中南大学土木建筑学院,3,2、理论力学是很多专业课程的重要基础 例如：材料力学、机械原理、机械零件、结构力学、 弹性力学 、流体力学 、机械振动等一系列后续课程的重 要基础。,观察和实验,分析、归纳和总结,力学最基本规律,抽象、推理和数学演绎,理论体系,用于实际,力学模型,刚体、质点、质点系、弹簧质点、弹性体等,理论力学,中南大学土木建筑学院,4,三、理论力学的研究方法,引 言,理论力学,中南大学土木建筑学院,5,静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学。,静力学主要研究：1、物体的受力分析； 2、力系的等效替换（简化）； 3、力系的平衡条件及其应用。 平衡力系：使物体处于平衡的力系。,力 平,系：是指作用在物体上的一群力。 衡：是指物体相对于惯性参考系（地面） 保持静止或作匀速直线运动的状态。,理论力学,中南大学土木建筑学院,6,力的单位： 国际单位制：牛顿(N) 、千牛顿(kN),一、力的概念 1、定义：力是物体间的相互机械作用，这种作用可以改变 物体的运动状态。 2、力的效应：运动效应(外效应理论力学研究) 变形效应(内效应材料力学研究) 3、力的三要素：大小，方向，作用点,静力学基本概念,F,A,理论力学,中南大学土木建筑学院,7,力是矢量，其表示方法,二、刚 体,刚体就是在力的作用下，大小和形状都不变的物体。 绝对刚体不存在，但研究力的外效应时可将变形体 看成刚体。研究力的内效应前也将物体看成刚体。 刚体内部任意两点间的距离始终不变。 不同,物体,刚体,一些基本公理和定理只对刚体成立，对可变形的物体不成立。,理论力学,中南大学土木建筑学院,8,理论力学,中南大学土木建筑学院,9,A,F1,1-1 静力学公理,公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的 实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。 公理1 力的平行四边形法则,作用于物体上同一点的两个力可合成 为一个合力，此合力也作用于该点，合力 的大小和方向由这两个力为邻边所构成的 平行四边形的对角线来确定。,FR F1 F2,F2 FR,即：合力为原两力的矢量和。,FR,F1,F2,力三角形,A,F2,F1,F,R,A,理论力学,中南大学土木建筑学院,10,公理2 二力平衡条件,作用于同一刚体上的两个力，使刚体保持平衡的 必要与充分条件是： 这两个力,大小相等 | F1 | = | F2 | 方向相反 F1 =F2 (矢量) 且在同一直线上。,对多刚体不成立,刚体,F1,F2 说明：对刚体来说，上面的条件是充要的； 对变形体来说，上面的条件只是必要条件。,绳子,F2 F1,平衡 绳子,F2,F1,不平衡,F2,F,1,不平衡,理论力学,中南大学土木建筑学院,11,二力构件：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力构件。,注意：二力构件是不计自重的。 公理3 加减平衡力系原理 在已知的任意力系上加上或减去任意一个平衡力系， 并不改变原力系对刚体的作用。,二力杆,F1,F2,F1,F2,二力构件,理论力学,中南大学土木建筑学院,12,等效,B,F,推论1：力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一,点，而不改变该力对刚体的作用效应。,因此，对刚体来说，力作用三要素为：大小，方向，作用线,推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作 用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。(特殊情况 下，力在无穷远处汇交平行且共面。),F2,F1,A,B,C,O,F3,等效,A F B A F F B F,A F F,理论力学,中南大学土木建筑学院,13,公理4 作用和反作用定律（牛顿第三定律） 两物体相互间的作用力总是同时存在，且等值、反向、 共线，分别作用在两个物体上。,证 F1，F2，F3,为平衡力系，, F12 ，F3也为平衡力系。 又 二力平衡必等值、反向、共线， 三力F1，F2，F3 必汇交，且共面。,F12,F1,B,A C,O,F3,F2,理论力学,中南大学土木建筑学院,14,公理5 刚化原理,变形体在某一力系作用下处于平衡，若将此变形体变成 刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。,公理5告诉我们：处于平衡 状态的变形体，可用刚体静 力学的平衡理论。,绳子,F2,F1,平衡,刚体,F,2,F,1,平衡,理论力学,中南大学土木建筑学院,15,1-2 约束和约束力,理论力学,中南大学土木建筑学院,16,一、概 念 自由体：位移不受限制的物体叫自由体。 非自由体：位移受限制的物体叫非自由体。 工程中的绝大多数物体为非自由体。其位移受到周围物 体的限制。我们称起限制作用的周围物体为约束体。 约 束：由约束体构成，对非自由体的某些位移起限制作用 的条件。工程中的约束总是以接触的方式构成的。 约束力：约束给被约束物体的力叫约束力。（也称约束反力）,约束力的特点：,P,解除约束，按约束 性质代之以约束力。,FN2,FN2,P 对单个对象，为了简化 FN1 FN1,约 束 力,大小待定 方向与该约束所能阻碍的位移方向相反,作用点接触处 F F,理论力学,中南大学土木建筑学院,17,1、光滑接触面的约束：光滑约束,(光滑指摩擦不计),二、约束类型和确定约束力方向的方法,FN,A,约束力作用在接触点处，方向沿接触面的公法线并指 向受力物体，也称为法向约束力，通常用FN表示。 F B P,P,FN1,FN2,FNB,理论力学,中南大学土木建筑学院,18,理论力学,中南大学土木建筑学院,19,理论力学,中南大学土木建筑学院,20,理论力学,中南大学土木建筑学院,21,理论力学,中南大学土木建筑学院,22,理论力学,中南大学土木建筑学院,23,节圆,理论力学,中南大学土木建筑学院,24,压力角,2、由柔软的绳索、链条或皮带构成的约束：柔性约束,理论力学,中南大学土木建筑学院,25,不能称为二力构件,P,P,FT2,理论力学,中南大学土木建筑学院,26,FT FT1,柔性体只能受拉，所以它们的约束力是作用在接触点，,方向沿柔性体轴线而背离物体。通常用FT表示。,理论力学,中南大学土木建筑学院,27,3、光滑铰链约束（向心轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等）,（1）向心轴承（径向轴承）,轴,理论力学,中南大学土木建筑学院,28,接触点 约束特点： 轴在轴承孔内，轴为非自由体、 轴承孔为约束 约束力：当不计摩擦时，轴与孔在接触处为光滑接 触约束法向约束力，约束力作用在接触处，沿径向 指向轴心。,F,Fx 轴承,Fy,理论力学,中南大学土木建筑学院,29,（2）光滑圆柱铰链 约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成。,理论力学,中南大学土木建筑学院,30,理论力学,中南大学土木建筑学院,31,理论力学,中南大学土木建筑学院,32,FAy,A,销钉 A,铰链放大 FA FA 销钉,FAx,A,其它主动力未画出,A,光滑圆柱铰链约束力： 亦为孔与轴的配合问题，与轴承一 样，可用两个正交分力表示。,约束力指向未定,理论力学,中南大学土木建筑学院,33,铰链约束力可用两个正交分力表示。,其中有作用反作用关系,FCx, FCx ，FCy FCy,一般不必单独分析销钉受力，当要 分析时，必须把销钉单独取出。,理论力学,中南大学土木建筑学院,34,理论力学,中南大学土木建筑学院,35,理论力学,中南大学土木建筑学院,36,（3）固定铰链支座（其中一个构件固定在地面）,A,FAx,FAy,A,A,A,简化图,理论力学,中南大学土木建筑学院,37,理论力学,中南大学土木建筑学院,38,理论力学,中南大学土木建筑学院,39,4、其它类型约束 （1）滚动支座(活动铰支座、辊轴支座) 约束特点：在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光 滑辊轴而成。 约束力：构件受到垂直于光滑面的约束力。,理论力学,中南大学土木建筑学院,40,（滚动）活动铰支座（辊轴支座）,F的实际方向也可 以向下,A,A,简化图,A,FA,理论力学,中南大学土木建筑学院,41,A,理论力学,中南大学土木建筑学院,42,理论力学,中南大学土木建筑学院,43,滑槽与销钉,注意其它构件和销钉连接有不同的约束形式,属于双面光滑约束,（双面约束） 二力构件做为一种 约束，其约束力沿 两点连线方向。,理论力学,中南大学土木建筑学院,44,O,B,A,C,P,二力杆,O,B,A,C,P,二力构件,O,B,A,C,P,二力构件,O,B,C,P,FOx,FOy,FB 二力杆的约束力,理论力学,中南大学土木建筑学院,45,固定铰的约束力,(2) 球铰链,A,FAx 约束特点：通过球与球壳将构件连接，构件可以绕球心任 意转动，但构件与球心不能有任何移动。 约束力：当忽略摩擦时，球与球座亦是光滑约束问题。约 束力通过接触点，并指向球心，是一个不能预先确定的空 间力，可用三个正交分力表示。,FAy,FAz,理论力学,中南大学土木建筑学院,46,理论力学,中南大学土木建筑学院,47,（3）止推轴承（圆锥轴承）,约束特点：止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制。 约束力：比径向轴承多一个轴向的约束力，亦有三个正 交分力FAx， FAy ，FAz 。,A,FAx,F,Ay,FAz,理论力学,中南大学土木建筑学院,48,理论力学,中南大学土木建筑学院,49,1-3 物体的受力分析和受力图,理论力学,中南大学土木建筑学院,50,一、受力分析 解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物 体，即选择研究对象，然后根据已知条件，约束类型 并结合基本概念和公理分析它的受力情况，这个过程 称为物体的受力分析。 作用在物体上的力有两类： 一类是主动力，如重力，风力，气体压力等。 主动力通常称为载荷。 二类是被动力，即约束力。,载荷的分类,载,集中载荷：载荷的作用范围很小，可忽略不计。,荷 分布载荷：载荷作用在整个物体或某一部分上。 分 体载荷：载荷作用在整个体积上。 布 载 荷,线载荷：载荷作用在整个长度上。,分 面载荷：载荷作用在整个面积上。 载荷集度,布,物体单位体积、单位面积、单位长度上所承受的载荷。,V A,L,dS dL, dFR,q dFR ，q dFR ，q,q1,理论力学,中南大学土木建筑学院,51,M,dV 均布载荷 q,集中载荷 F,力偶,三角形载荷,画物体受力图主要步骤为：选研究对象；取分离体；,画上主动力；画出约束力。,二、受力图,例,P,A,B,O,C,D,FNC,C,FND D O P,FT FN C,FAy,FAx,A,C,B,理论力学,中南大学土木建筑学院,52,F1,F2,D,B,A,F,B,FAy,FAx,FCy,FCx,F,B,O,F,C,C,B,F2,FB,C,B,F1,理论力学,中南大学土木建筑学院,53,F2,D,B,A,C,例如图所示结构，画AD、BC的受力图。,C处固定铰的约束力通 过三力平衡汇交定理确 定其方位后，用一个力 表示。也可用互相垂直 的两个分力表示。一般 用后者表示较好。,例 画出下列各构件的受力图,P,A,B,D,E,E,FEy,FEx,P,FT,E,FEx,FEy,FB,A,FAy,FAx,B,F,T,F,B,FAy,F,理论力学,中南大学土木建筑学院,54,Ax,F,FAx,FAy,FED,FCx,FCy,FDE,FB,FCx,F,Cy,B,C,D,C,A,E,D,E,FED,FDE,C为单铰受载荷作 用，载荷随销钉作用在 与之联系的任意一个构 件上。但二力构件除外！,C,A,E,F,Ay,FED FAx,FC1x,F,C1y,B,C,D,F,FC1x,FC1y,FDE,FB,注意铰链C约束 力的含义不同！,F,A,C,B,D,E,例画出如图所示结构的受力图,理论力学,中南大学土木建筑学院,55,例 画出下列各构件的受力图,C为复铰链,A,B,D,E,P,C,O,P,FT,O,FT,FOy,FT FOx,FT,FCy,FT FCx,C,B,E,C,FT,F,理论力学,中南大学土木建筑学院,56,Cx,C为单铰受载荷作用 FCy,D A,A,C,D,FT,F,Cx,FCy,FA,C为单铰受载荷作用,B,E,C,FT,F,Cx,FCy,D A,F,C1x,FC1y FD,FC1y,F,C1x C,E,B,FBy,FE FBx,FCx,FCy,C,FC1x FC2x,FC1y FC2y,理论力学,中南大学土木建筑学院,57,F1,F2,F,3,A,B,E,G,例 画出下列各构件的受力图 D,F1,A,B,C,FAx,FBx,FBy,FB,E,F2,F3,G,B,FBx,FBy,F,E,FAy FE,D FD,FCy,FCy,FAx C,FAy,FD,FCx,FC FCx,理论力学,中南大学土木建筑学院,58,P1,F,A,C,例 画出下列各构件的受力图 D,E B,G,H,K,P1,G,H,C,D,FDC,F,CD,F,K,G,P2,A,B,C,E,FHx,FHy,FGy,FGx,E,D,H,FHx,FHy,FGy,FT,F,T,P2 FGx FCD K,FDC,FK,FK,F,Ay,FAx,F,Ex,FEy,FEx,FEy,F,理论力学,中南大学土木建筑学院,59,B,三、画受力图应注意的问题,理论力学,中南大学土木建筑学院,60,1、不要漏画力 除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触 才有相互机械作用力，要分清研究对象（受 力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触， 接触处必有力，力的方向由约束类型而定。 2、不要多画力 要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对 于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出 它是哪一个施力体施加的。,3、不要画错力的方向 约束力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不能 单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析两 物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力的 方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，不 要把箭头方向画错。 4、受力图上一般不能再画约束。 即受力图是针对研究对象画的，一般在图上不再 画出原约束，但整体受力图例外。,理论力学,中南大学土木建筑学院,61,5、受力图上只画外力，不画内力。 一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有 可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分 内力，就成为新研究对象的外力。 6、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相 互协调，不能相互矛盾。 对于某一处的约束力的方向一旦设定，在整体、局部 或单个物体的受力图上要与之保持一致。 7、正确判断二力构件。,理论力学,中南大学土木建筑学院,62,理论力学,中南大学土木建筑学院,63,理论力学,中南大学土木建筑学院,1,力系按作用线分布分为：平面力系、空间力系 平面力系：作用线分布在同一平面内的力系。 空间力系：作用线分布在不同平面内的力系。 力系按作用线汇交情况分为 汇交力系 平行力系(力偶系是其中的特殊情况 ) 一般力系(任意力系),理论力学,中南大学土木建筑学院,2,F F 2 F 2 2F F cos R 1 2 1 2,F1 FR,sin,sin(180 ),合力方向由正弦定理：,由余弦定理：,由力的平行四边形法则作图（左），也可用力的三角形来作图（右）。,2-1,平面汇交力系,A,F1,F2,FR,一、平面汇交力系合成的几何法 1、两个共点力的合成 FR,A,F2,F1 力三角形,0,180 -,理论力学,中南大学土木建筑学院,3,F3,F2,F1,F4,A,F2,理论力学,中南大学土木建筑学院,4,F3,F,R,a,b F1,c,d F4 e,a,b,c,d,F,1,F,2,F4 e,F3,FR,各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。 用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。 力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。,2、任意个共点力的合成,力多边形:各分力矢首尾相连， 组成一个不封闭的力多边形。,封闭边表示合力的大小和方向。,理论力学,中南大学土木建筑学院,5,结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等 于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。 用 矢量式表示为： FR F1 F2 Fn Fi 3、平面汇交力系平衡的几何法 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的合力等于零。 FR F1 F2 Fn Fi 0 上述方程的几何表达为：该力系的力多边形自行封闭。 用几何方法求平面汇交力系平衡时，要做出自行封 闭的力多边形，一般只适合三个力的平衡问题。,理论力学,中南大学土木建筑学院,6,例图示是汽车制动机构的一部分。司 机踩到制动蹬上的力F=212 N，方向与,水平面成 =450角。当平衡时，DA铅 直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。 已知EA=24cm， DE=6cm点E在铅直 线DA上 ，又B ，C ，D都是光滑铰链， 机构的自重不计。,F,24cm,6cm,A,C,B,D,O,E,解：取制动蹬ABD作为研究对象，并画出受力图。,A,D,O,F,FB,FD,B E,FB,F ,FD ,作出相应的力多边形。 OE EA 24 cm,tan DE 6 OE 24 arctan 1 140 4,理论力学,中南大学土木建筑学院,7,B,sin 180 F F 750N sin ,由力三角形图可得,r2 (r h)2,tan 0.577,r h,又由几何关系：,解： 选碾子为研究对象 取分离体画受力图,当碾子刚离地面时FA=0,拉力F最大,这时 拉力F和自重P及约束力FB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故,F P tan,B,P,cos,F ,F=11.5kN， FB=23.1kN,所以,例已知压路机碾子重P=20kN，r =60cm，欲拉过h=8cm的障碍 物。求在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。,O,P,A,B,h,F r,F,A,FB,P,理论力学,中南大学土木建筑学院,8,F,F,B,由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 几何法解题步骤：选研究对象；作出受力图； 作力多边形； 用几何方法求出未知数。 几何法解题不足： 一般只适合三个力时的平衡；做出的 封闭多边形为三角形，可用三角形的 正弦和余弦定理求解； 不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。,理论力学,中南大学土木建筑学院,9,反之，已知投影可求 力的大小和方向,二、平面汇交力系合成的解析法 1、力的投影,已知力可求投影 Fx=Fcos Fy=FcosFsin,F,y,投影：Fx,F,分力：F,x,x,y,O,Fy A,2,2,F Fx Fy,力的大小,cos Fx ， cos Fy F F,理论力学,中南大学土木建筑学院,10,方向余弦,表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：,若以 Fx,，Fy,F Fxi Fy j,所以： 2、合力投影定理 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。,FRx,FRy, Fiy,合力的大小：,方向：,作用点：,R R,FR FR,cos(F ，i ) FRx ，cos(F ，j ) FRy,为该力系的汇交点, Fix FR ,2 2 ( Fix ) ( Fiy ),Fx Fxi，Fy Fy j,而各分力,F Fx Fy,力的分解,理论力学,中南大学土木建筑学院,11,2,Rx,2 Ry,FR F F, 171.3N,cos FRx, 0.7548,FR,FR F cos Ry 0.6556, 40.99 ， 49.01,例已知：图示平面共点力系；求：此力系的合力。 解：用解析法 FRx F ix F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129.3N FRy F iy F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N,y,F,理论力学,中南大学土木建筑学院,12,1,F2,F,3,F4,x,300 450,600 450,FR,3、平面汇交力系的平衡方程,平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。,平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的合力等于零。 F )2 ( F )2 0 R ( Fix iy,理论力学,中南大学土木建筑学院,13, Fix 0 ， Fiy 0,必有,例已知：F=3kN，l=1500mm，h=200mm，忽略自重； 求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力。 解：AB、BC杆为二力杆，取销钉B为对象。, 0,F cos F cos 0 BA BC,Fx 得,F F BA BC,解得,F,理论力学,中南大学土木建筑学院,14,2sin,FBA FBC , 11.35kN,F sin F sin F 0 BA BC,y,F 0,选压块C为对象, 0 F cos F 0 CB Cx,F F cot Fl 11.25kN 2 2h,Cx,Fx 解得,Fy 0,F CBsin FCy 0,解得,FCy, 1.5kN,理论力学,中南大学土木建筑学院,15,例如图所示，重物G=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B 上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以,铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦,A,B,D,30,60,C,G,x,和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。 y,B,30,60,FBA,F2,F1,F,BC,解：取滑轮B为研究对象， 忽略滑轮的大小，画受力图。 列平衡方程,y BC 1 2,30 0,30 F cos 60 0, Fx 0， FBA F1 cos 60 F2 cos,理论力学,中南大学土木建筑学院,16, F 0， F F cos,FBC,解方程得杆AB和BC所受的力: FBA 0.366G 7.321 kN, 1.366G 27.32 kN,当由平衡方程求得 某一未知力的值为 负时，表示原先假 定的该力指向和实 际指向相反。,理论力学,中南大学土木建筑学院,17,2-2 平面力对点之矩平面力偶,一、力对点之矩（力矩）,MO(F),O,h,r,F,A,B,力F与点O位于同一平面内， 称为力矩作用面。点O称为矩心， 点O到力作用线的垂直距离h 称 为力臂。 力对点之矩是一个代数量，它的,绝对值等于力的大小与力臂的乘积， 它的正负可按下法确定：力使物体绕 矩心逆时针转动时为正，反之为负。,移动效应,转动效应,取决于力的大小、方向 取决于力矩的大小、转向,力对物体可以产生,理论力学,中南大学土木建筑学院,18, MO (F )是代数量。 MO (F ) 是影响转动的独立因素。 当F=0或h=0时，MO (F ) =0。 单位Nm或kNm 。 MO (F ) =2AOB=Fh，2倍形面积。,MO (F) F h,力对点之矩,+,MO(F),O,h,r,F,A,B,理论力学,中南大学土木建筑学院,19,F,Fx,Fy,x,y,O,x,y,A,力矩的解析表达式,MO (FR ) (xi Fiy yi Fix ),MO (F ) xFsin yF cos xFy yFx 合力对坐标原点之矩,理论力学,中南大学土木建筑学院,20,二、合力矩定理与力矩的解析表达式 合力对某点之矩，等于所有各分力对同一点之矩的代数和。 n MO (FR ) MO (Fi ) MO (Fi ) i1 按力系等效概念，上式必然成立，且适用于任何有合力存在的力系。,r, h,O,例已知Fn=1400N,齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r =60mm， 压力角 =200，求力Fn对O点的矩。,MO (Fn ) Fn h Fn r cos 78.93 Nm,按力矩的定义得,根据合力矩定理，将力Fn分 解为圆周力Ft 和径向力Fr ,r,O,Fn Fr,Ft,MO (Fn ) MO (Fr ) MO (Ft ), MO (Ft ) Fn cos r,理论力学,中南大学土木建筑学院,21,理论力学,中南大学土木建筑学院,22,理论力学,中南大学土木建筑学院,23,理论力学,中南大学土木建筑学院,24,三、平面力偶及其性质 由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成 的力系，称为力偶，记为(F, F)。力偶的两力之间的垂 直距离d 称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。,理论力学,中南大学土木建筑学院,25,大小：FR=F1+F2 方向：平行于 F1、F2且指向一致 作用点：C处 确定C点，由合力距定理 MB (FR ) MB (F1) FR F1 F2 FR CB F1 AB,AB AC CB 代入,1,AC F2, CB F,性质1：力偶没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。,两个同向平行力的合力,F,2,F1,F,F,F,R1,F,R2,FR,理论力学,中南大学土木建筑学院,26,A C B,力偶无合力 FR=FF=0,CB F CA F 1,CB CA,CA F2,CB F1,两个反向平行力的合力 大小：FR=F1F2,方向：平行两力且与较大的相同,作用点：C处,F2,F1,A B,F,R,C,A,B,C,F,理论力学,中南大学土木建筑学院,27,F 若CB=CA=CB+d 成立，且d0，必有CB 即合力作用点在无穷远处，不存在合力。,说明： M是代数量，有+、； F、 d 都不独立，只有力偶矩 M=Fd 是独立量； M的值M=2ABC ； 单位：N m,MO (F ) MO (F ) F (x d ) F x Fd 由于O点是任取的,M F d,+,性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。,A,B,O,d,C,x,F,F,理论力学,中南大学土木建筑学院,28,性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等， 转向相同，则该两个力偶彼此等效。,=,=,理论力学,中南大学土木建筑学院,29,=,由上述证明可得下列两个推论： 力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的 作用效应。 只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中 力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作 用效应。,=,=,=,=,理论力学,中南大学土木建筑学院,30,同平面内力偶等效定理证明,理论力学,中南大学土木建筑学院,31,d,F,力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有 力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示 的符号表示力偶。M为力偶的矩。 F,=,M,=,M,理论力学,中南大学土木建筑学院,32,理论力学,中南大学土木建筑学院,33,M1 F1d1 F3d,M2 F2d2 F4d,M1(F1，F1)， M2(F2，F2),F F3 F4,F F3 F4,M Fd (F3 F4 )d F3d F4d M1 M2 在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶 矩等于各个力偶矩的代数和。,四、平面力偶系的合成和平衡,F2,F2,d2,F,1,F1,d1,F,3,F 3,F 4,F 4,d,F,F,理论力学,中南大学土木建筑学院,34,d,平面力偶系平衡的充要条件是: 所有各力偶矩的代数和等于零。(力偶只能和力偶平衡),n,i1,M M1 M2 ,Mn Mi Mi,即:,Mi 0,即,A,B,D,M,45,l,A,B,M,FB,FA,理论力学,中南大学土木建筑学院,35,FB 0.2 m1 m2 m3 m4 0,0.2,B, F 60 300N,FA FB 300 N,根据平面力偶系平衡方程有:,例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直,径的孔,每个钻头的力偶矩为,求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平约束力? 解: 各力偶的合力偶矩为 M m1 m2 m3 m4 4(15)60Nm 由力偶只能与力偶平衡的性质， 力FA与力FB组成一力偶。,m1 m2 m3 m4 15Nm,理论力学,中南大学土木建筑学院,36,例图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束力。,MAC M 0, Mi 0,FC 3137 N,2 2,理论力学,中南大学土木建筑学院,37,AC,C,M FC d FC,2 12 F 2 24 18,2FC (Ncm) 0.255FC (N m),解：注意到CB为二力构件，画受力图,解：1、 AD为二力杆。 2、研究对象： 整体,l,FA FC, M,例图示杆系，已知M，l，求A、B处约束力。,A,B,D,l l,l,FA,F,C,C,D,M C M作用在AD杆上又如何？ l l,M,BC为二力杆,B A F,A l,FC,0,理论力学,中南大学土木建筑学院,38,M,2M,l sin 45,l,FA FC ,60o,A 60o,B C,D,M1,M2,例不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶,矩为M1与M2的力偶作用 ，转向如图。问M1与M2的比值为多,B,C,M1,A FA,理论力学,中南大学土木建筑学院,39,F,C,大，结构才能平衡? 解:取杆AB为研究对象画受力图。 杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为 光滑面约束，则A处约束力的方位可定。,AC = a,FA = FC = F, Mi = 0,Fa- M1 = 0,M1 = Fa,(1), Mi = 0,-0.5aF + M2 = 0,(2),M2 = 0.5 Fa 联立(1)(2)两式得:M1/M2=2,FD = FC = F,取杆CD为研究对象。因C点约束力方位已定 , 则D点约束力 方位亦可确定，画受力图。,FD,FC,60o,A 60o,D,B C M2,理论力学,中南大学土木建筑学院,40,理论力学,中南大学土木建筑学院,41,作用在刚体上的力可以平行移到同一刚体内任意一 点，但必须同时附加一个力偶。附加力偶的力偶矩 等于原来的力对新作用点的矩。,证 力F,力F 力偶（F，F）,力系 F, F , F ,一、力线平移定理,力线 平移 定理,2-3 平面任意力系的简化,A,B,M,A,B,F,F,F,F,A,B,F ,理论力学,中南大学土木建筑学院,42,说明： 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶 ； （例如一个力功丝时容易功坏螺纹或折断丝锥） 力线平移的条件是附加一个力偶M，且M=Fd ； 一个力和一个力偶也可合成为一个力，即力线平移定理的 反定理同样成立：力 +力偶 力； 力线平移定理是力系简化的理论基础。,理论力学,中南大学土木建筑学院,43,理论力学,中南大学土木建筑学院,44,x,y,i,j O,O,x,y,F2,Fn,F1,F2,Fn,M2,M1,FR MO,F1 F1,F2 F2,Fn Fn,1,M1 MO (F ),M 2 MO (F2 ),Mn MO (Fn ),二、平面任意力系向一点的简化 F1,O,理论力学,中南大学土木建筑学院,45,任选O点为 简化中心,平面任意力系,平面汇交力系+平面力偶系,向一点简化,其中平面汇交力系的合力为 FR = F1+ F2+ Fn = F1 + F2 + Fn = Fi 平面力偶系的合力偶为 MO M1 M 2 Mn MO (F1 ) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi ) 平面汇交力系的合力FR，不是原来任意力系的合力。 平面力偶系的合力偶MO 也不是原来任意力系的合力偶。,理论力学,中南大学土木建筑学院,46,原力系各力的矢量和，称为原力系的主矢。(不是原力系的合力),原力系各力对简化中心的矩，称为原力系对简化中心的主矩。,主矢与简化中心位置无关 (因主矢等于各力的矢量和),2 2 FRx FRy, ( F )2 ( F )2 ix iy,R,R,cos(F,FR,FR, Fiy, Fix,j ) ,，i ) ，cos(F ，,移动 效应,主,矢 FR,大小：FR ,方向：,MO M1 M 2 M3 MO (F1 ) MO (F2 ) , MO (Fi ),主矩,主矢,FR = F1+ F2+ Fn = F1 F2 + Fn = Fi,理论力学,中南大学土木建筑学院,47,MO MO (Fi ),大小：,转向： 转向规定 +,转动 效应 主矩MO,雨 搭,主矩一般与简化中心有关 （因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和） 固定端（插入端）约束,车 刀,理论力学,中南大学土木建筑学院,48,理论力学,中南大学土木建筑学院,49,A,A,一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束 称为固定端约束。（与固定铰不同）,A,MA,FAy,FAx,FA,理论力学,中南大学土木建筑学院,50,A MA,FAx 、 FAy 、 MA为固定端的约束力; FAx 、 FAy限制物体移动, MA限制物体转动。,理论力学,中南大学土木建筑学院,51,理论力学,中南大学土木建筑学院,52,理论力学,中南大学土木建筑学院,53,平面任意力系向作用面内一点简化得一力和一力偶，该 力等于原力系的主矢，力偶矩等原力系对简化中心的主矩。 下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。,力系对简化中心的主矩MO，此时主矩与简化中心的位置无关。,1、若F 0, M R O, 0 ，则力系合成为合力偶，合力偶矩等于原,三、平面任意力系简化结果分析,，合力 通过简化中心O点。（合力与简,化中心位置有关，换个简化中心，主矩不为零）,2、若 F 0, M R O 原力系的合力矢, 0，则力系合成为一个合力，主矢 F 等于 R,FR,FR,理论力学,中南大学土木建筑学院,54,力系的主矢。作用点不在简化中心。,3、若 F 0, M R O, 0，则力系仍合成为一个合力，合力等于原,o,o,R,F ,MO,o,o,FR,FR,R,F ,d,o,o,FR,d,=,=,FR,d MO,MO (FR ) FR d MO MO (Fi ),合力矩定理,R,O,4、若F 0, M, 0 , 则该力系平衡，下节专门讨论。,理论力学,中南大学土木建筑学院,55,0,l,l,xq(x)dx,d MO,FR, 0, q(x)dx,d,x,A,q(x),l,x,dx,MO O,l,FR 0 q(x)dx,主矢：,l,MO 0 xq(x)dx,主矩：,力系可进一步简化为一合力，其作用线距O点的距离为：,四、平行分布载荷的简化 取O点为简化中心，将力系向O点简化。 dFR q(x)dx,dFR,R,F ,FR,理论力学,中南大学土木建筑学院,56,1、均布荷载,F ql,l/2 l/2,q,F,2,F 1 ql,F,3,2l,3,l,q,2、三角形荷载 3、梯形荷载,l,理论力学,中南大学土木建筑学院,57,q2,q,1,可以看作一个三角形荷载和一 个均布荷载的叠加 结论： 合力的大小等于线荷载所组成几何 图形的面积。 合力的方向与线荷载的方向相同。 合力的作用线通过荷载图的形心。,平行分布载荷简化的特例,F3,A,B,x,F4 30,F2 60,例在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个 力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上 四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后,合成结果。 y,解：求向O点简化结果 1.求主矢 FR ，建立如图坐标系Oxy。,FRx, Fx F2 cos 60 F3 F4 cos30 0.598 kN FRy = Fy F1 F2 sin 60 F4 sin 30 0.768 kN,所以，主矢的大小,F F2 F2 0.794 kN R Rx Ry,理论力学,中南大学土木建筑学院,58,最后合成结果 由于主矢和主矩都不为零，所以最后合 成结果是一个合力FR。如右图所示。,主矢的方向：, ,R,R x,F,= 0.614,FR,cos F, i =,R,F , i 52.1,R,R,R y,F,= 0.789,F,cos F, j =, ,R, F, j 37.9,2. 求主矩MO MO MO F , 2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kNm,合力FR到O点的距离,FR FR,R,MO,d 0.51 m F,C,y,x,A,B,MO O,R,F ,F R,理论力学,中南大学土木建筑学院,59,例重力坝受力如图所示。 设G1=450kN，G2=200kN，,F1=300 kN，F2=70 kN。 求力系的合力FR的大小 和方向余弦,合力与基线 OA的交点到O点的距离x， 以及合力作用线方程。,9m,3m,1.5m,5.7m,3m,x,y,B,C,O,90,F,1,G1 3.9m,G2 A,F,2,解： 1、 求力系的合力FR的大小和方向余弦。,将力系向O点简化，,主矢的投影,AB, ACB arctan, 16.7 CB,R x,理论力学,中南大学土木建筑学院,60,F,Fx F1 F2 cos 232.9 kN,FR y, Fy G1 G2 F2 sin 670.1 kN,A,O,C,FRx,FR,FRy,MO,所以力系合力FR的大小,2 2 FR FR (Fx ) (Fy ) 709.4 kN,则有,方向 余弦, ,R,R,F, 0.328, 0.945,FR, Fx, Fy,cosFR , i ,cos F , j , F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kNm,理论力学,中南大学土木建筑学院,61,FR ,i 70.84 FR , j 180 19.16 力系对O点的主矩为 MO MO F ,A,O,C,FR,7700.8844,FRx,x FRy,A,O,C,MO,FRx,R,F,FRy,70.84o,2、求合力与基线OA的交点到O点的距离 x。 由合力矩定理得,O,O,R x O R y,M M (FR ) MO,(F ) M (F ) 其中,MO (FR x ) 0,解得,FR y,理论力学,中南大学土木建筑学院,62,x MO, 3.514 m,故 MO MO (FR y ) FR y x,设合力作用线上任一点的坐标为（x，y)， 将合力作用于此点，则,3、求合力作用线方程。,A,O,70.84,FR,FRy,FRx,x,x,y,C MO MO FR xFR y yFR x x Fx y Fy 可得合力作用线方程 2355kNm 670.1 kN x 232.9 kN y,理论力学,中南大学土木建筑学院,63,即 670.1 kN x 23