北航电磁场与电磁波课程习题答案

.44-2 由于，所以，若已知则可求。该结论是否正确？若已知，能否求出？解：该结论是错误的 ，因为电场反映了电位函数在空间的变化情况，故只有知道电位在空间的变化函数时，才可求出电场。而只知道某点处的电位值，是无法求出电位在空间的变化情况的。正如我们在数学中学到的，如果求函数在某点的导数值，应先对该函数求导，后将坐标值代入。即：4-3 由，能否根据分布求出分布？为什么？解：根据分布，求分布时，还应注意电位参考点的问题。由于静电场是保守场，所以，由，可求出某两点间的电位差为： 若选择点为零电位参考点，即：，则空间任一点相对于点的电位分布为 4-4 已知，求解： 4-5 已知在面上有三个点电荷，求：解：根据点电荷电位公式和场的叠加原理 4-6 为何要引入参考电位？若不引入参考电位会有什么后果？答：引入参考电位就是为了在系统内引入一个最基本的电位标准点，整个系统内任何一点的电位都是以此为基准的，是相对于此点的电位。如果没有这样一个参考电位，则整个系统无标准可循，电位分布没有唯一解。4-7 对于图4-6所示的线电荷环，在下列两种情况下，求其轴线上的电位和电场分布：（1） （常数） (2) 解：系统示意图如图4-7-1所示。这是一个已知空间电荷分布，求电位与电场的问题。由于电荷是分布在空间有限域内，所以，我们可以用 来求解。首先看第一种情况（1） 可求得 下面我们来求电场，我们已经讲过，用电位求电场时必须在知道电位的空间表达式时，由求得的电场才是正确的。下面我们分析一下，此时，能否用由求。由对称性，我们可以知道， 的圆环在z轴上产生的电场只有z方向上的分量。而上面求得的又正好给出了电位在z轴上随z的全部变化关系，故可使用通过求得z轴上的电场来。即： 时，z轴上的电位和电场分布为下面再来看第二种情况。（2） 不难求得这个结果是不难理解的。由于此时，园环上的电荷分布具有相对于yoz平面的奇对称性，所以，整个yoz平面都是零等位面，显然，z轴的电位也应是等于零的。那么，z 轴上的电场呢？只需简单分析一下，便会知道，在的半空间有负电荷分布，在的半空间有正电荷分布，显然，处电场应是指向负x轴负方向的，而前面求得的只反映了在z轴方向电位保持常数。并未给出电位随x变化的关系，因此，不能再用来由求了，那么，如何求z轴上的电场呢？方法有两种，一种是求出空间任一点出的位函数，对求负梯度得到，进而得到z轴上的电位和电场。另一种方法是，直接求带电园环在z轴上产生的电场。有兴趣的读者，可以练习用第一种方法求解，下面我们采用第二种方法求解。首先在带电圆环点处取一微元dS,则其在z轴上产生的电场在z处为： 其中，为由点指向z点的单位矢径。r为P点到z点的距离。由于z轴上的电场只有方向的分量，即因此，我们只要计算就可以了。由坐标关系可知 所以，4-8 长为4a的均匀线电荷，弯成正方形后，若电荷分布不变，求该正方形轴线上的电位和电场分布。解 ： 设：电荷线密度对于z轴来讲，各段所处的状况相同，所以，各段在P点产生的电位相等，根据电位的叠加原理。 4-9 导出二维格林定理和二维平均值定理。 解：面散度公式定义为：，其中为面dS的法向方向，C是面积S的闭合边界。设 ，其中为两标量。：二维格林第一定理同理，当时，两式相减，则：二维格林第二定理推导二维平均值定理：作如图所示的圆，使用第二格林定理，取由于在我们所讨论的区间里，满足拉氏方程。同此可得：取，但由于在P点不收敛，为了符合格林定理的条件，我们从S中提出一个小块，它是以P点为球心，为半径的圆面所包围的小圆面。 ，且在C边界，在边界上， （由积分中值定理得出）。当 （二维平均值定理）4-10 两条线电荷密度大小等于，但符号相反的无限长，相互平行的均匀线电荷，当他们的距离，且保持常数时所得到的极限模型称为二维电偶极子，试求二维偶极子的电位和电场分布。解： 我们知道，位于z轴的无穷长线电荷在空间产生的电位场为 其中C为常数，且取决于电位参考点的位置，在不失一般性的情况下，我们建立如图4-10所示坐标系，取两线电荷所在平面为xoz平面，两线电荷的中心处为z轴，指向的方向为x轴，于是，可知，和线电荷在空间任一P处产生的电位为：产生的位 产生的为 ，如图4-10所示。P点的总电位为 其中C的大小与电位参考点有关，本题中，由对称性可知，选取处，是方便的。这时即有 当时，近似为 代入中，有，由于，故上式括号中的式子，具有，的形式，将在处展开，有 -当时，有，-2x令，有，代入中，可得 若定义为二维电偶极子的电偶极子，则有， 电场为 4-11有一个线电荷密度为的均匀线电荷，分布在的线段上，试求：(1)求出它在xoy面上的电位和电场分布。(2)求出它在空间各点的电位和电场分布，再将代入。看结果与（1）是否一致。(3)写出在xoy面上，时电位的非近似表达式。由得出的表达式，可以得出什么结论？解: (1) 求出在xoy面上的，：由讲义（4-30）式，可知该线电荷在xoy面上产生的电位为由于线电荷的分布相对于xoy平面是对称的，所以可很容易判断，其在xoy平面上产生的电场只有分量，由于中已包括了电位随变化的关系。故可用来求出xoy平面上的电场。即 所以，线电荷在xoy平面上产生的电位和电场为： (2) 求在空间各点产生的电位和电场分布，再将z=0代入看与(1)的结果是否一致。首先在线电荷上处取一电荷元，它在P点处产生的电位为： P点的总电位为 当时，结果与（1）相同。全空间电场分布为： 时，有： 与（1）结果相同。（3） 前面已求得，在xoy面上电位表达式为： 当时，可将写成 其中 为线电荷所带的总电荷量。这表明，当时，电位形式接近位于坐标原点，电量为Q的点电荷产生的电位形式。当时， 这个结果表明，当时，电位形式接近于无限长均匀线电荷的电位形式。4-12有一个位于z轴的线电荷系统,电荷分布为:其中为常数。 求它在xoy 面上的电位和电场分布。 求它在空间各点的电位和电场分布，再将z=0代入，看结果与（1）是否一致。解：由电荷分布对xoy面（）的奇对称性可知，.由于电力线是由正电荷发出而终止于负电荷上的，因此可知，xoy面上的电场强度应有z方向的分量，所以，不能使用来求得 .因此，只能使用直接积分来求。为求xoy面上任意一点P处的电场，我们分别在和线电荷上z处取线元dz1,dz2,且使。则它们在P点产生的电场分别为其合成场其中 分别为指向P点的单位矢量方向。由于其中所以将在从0到进行积分，可得： 因为是常矢量，可提到积分号外。所以，上述矢量积分可化为标量积分： 所以，xoy面上的电位电场分布为： 为求得空间任一点P(x,y,z,)处的电场和电位，我们只需对此题稍作分析，便可很方便的求出，此时，系统的示意图如图4-12-2所示：H很显然, 以后对P点的贡献将被的所抵消，所以，实质上，对P点电位有贡献的，只是边部分0。于是，P点的电位，可由(4-30)式写为： 电场为 ：将代入，可得：（这里看不清楚，P19） 当z=0时，可得 与的结果相同。4-13 一个电阻器如图所示，其上有均匀的恒定电流流过，若各导体介电常数均为电阻横截面积为,求：(1) 电阻内的电位分布。(2) 电阻两端的电压。(3) 电阻内的电荷分布。解：如图所示，选择电流流动方向为x轴方向。且取左端J=的理想导体处为坐标原点(1) 首先，应将各参量的单位变换成公制单位，即图4-31 电阻器中的电流密度为： 由导体中电流与电场的关系可知所以 电位可由求得，不妨取求得不妨取则有 (2) 电阻器两端的电压为 （3） 电阻器内的电荷分布。首先我们看体电荷分布由于三段导体内均为均匀场，所以，电阻器中的体电荷密度为0，即 而面电荷密度可由电场边界条件求得： 4-14 一个半径为2米,电导率为20(M)-1的无限长导体圆柱,轴线为z轴.它的周围为电导率等于5(M)的无界导体.已知系统的电位分布为:求 (1) 系统的电流分布. (2) 若导体介电常数为0,求在rC=2M的圆柱面上的面电荷密度.解:依题意,可建立如图4-14所示的坐标系,且有R=2m,1=5-1,2=20-1, (1) 由于系统中的电位分布为所以系统中的电场分布为由导体中电场和电流间的关系, ,可求得系统的电流分布为(2) 当导体的介电常数为0时在rC=2m的柱面上的面电荷分布,可由边界条件求得: 将 代入,可求得为4-154-16 证明格林定理(4-110)和(4-111)两式.解:格林第一公式为: 由高斯定理有: 由矢量公式: 有: 所以有: 格林第二公式为:由当前所证知:将上面两式相减,有:证毕.4-16导出图4-21所示的镜像关系式(4-156)和(4-157)两式.解:该系统的边界条件为:设:q为导体球上感应出的感应电荷,位置为b如图所示: 则根据边界条件cos是任意变量,为了保证等式两边相等,则4-17 若在一空间V内，电位满足泊松方程，而V的外表面1+2为一封闭表面。若已知证明：内的电位有唯一的解。解：假定在区域中，有两个不同的电位解，1和2，它们都满足同样的方程，即：图4-17而在的边界上，它们也满足同样的边界条件，即：和现在，我们来看看这样一个标量位 0=1-2对于满足同一泊松方程的1，2，由位场的叠加原理可知，0的微分方程应为也就是说，0应满足拉普拉斯方程。在边界上，因为1，2满足同样的边界条件，故可知0满足的边界条件为：及0满足的微分方程和边界条件为现在我们应用格林第一定理，并取则有上式两项均等于。无文所以，满足混合边界条件的也是唯一的。4-18已知图所示正方形网格边缘各节点的电位（单位为V），求中间4节点上的电位1，2，3和4（精确到0.1V）解：根据平均值定理，可知即：首先由正方形网格边缘的电位值可知，由极位定理，网格的电位应1，故先任意一组零阶解，例如选由式（1）知：如此继续下去，可求得：u13(V)u2=u34(V)u45(V)此题的精确解应为u1=3(V)u2=u3=4(V)u4=5(V)无文4-19已知空间电位分布（图）求：空间的电荷分布。解：由电位分布可以看出，在rs=0处，为电位的奇异点，故在rs=0处，有点电荷存在。由 可知，电场分布为取一个半径为的小球面,球面中心位于坐标原点（rs=0）处,则由电场高斯定律: 当0时又：在球坐标系下： 空间的电荷分布为: rs=0处有一个电量为1C的点电荷。rs0处有电荷体密度为无文 的分布电荷。4-20在距离地面50cm的地方，平行于地面放置了一条半径为10cm的无限长带电直导线，导线上每米带有电量0.1C.求：地面上方空气中的电位分布。解：设无限长带电直导线的直径为，则应有： cm或510-2(m) b = 50 cm = 5010-2(m)且0=0.1(C/M)显然，本题可以用镜象法来求解。镜象系统如图4-20（a）所示。由于此时带电直线的半径与其间距离属于同数量级，故，应采用电轴法，求图4-20（a）系统在空间的场分布。电轴法示意图如图4-20（b）所示。首先，应求出等效线电荷的位量。由讲义（4-170）式及（4-30）图可知将b = 5010-2(m), 510-2(m)代入，可得 d0.49(m)于是，由无穷长线电荷在空间电位的分布可知，图4-20(b)的位于d处的等效线电荷在空间产生的电位为由镜象法的规则知，该位函数在X的空间适用所以，地面上面空气中的电位分布为4-21求图4-18a中,Z部分空间中的电位 ，电场（图），以及接地导体表面的面电荷密度和电荷总量。 解: 因为第区域为理想导体（），所以根据镜象原理，如图所示，镜象电荷位于z-d处，电荷量为-q。当z时4-22对于图4-21a。求：rsR空间区域中的电位和电场分布。球面上的面电荷密度。导体球的带电总量。解:在第16题中，我们已知道，该系统可用位于b处的 -q和位于d处的q两个点电荷来等效。且有 -q，k,d,b如图4-22（a）所示。则-q和q在空间任一点P(rs,，)处产生的位为 为方便起见，我们建立如图所示坐标系，即造o,-q,q为z轴，则有： 电场分布：（2）球面上的面电荷密度，可由边界条件得出： 将 代入得:(3)导体球的带电总量: 4-23有一个二维导体直角形，设导体无限薄，且接地。（1） 若有一点电荷q如图a所示放置，求空间各处的电位和电场分布。（2）若电荷如图b放置,还能用镜象法求解吗？为什么？解：（1）用镜象法求解本题。系统的镜象等效系统如图4-23（b）所示。由点电荷的电场电位表达式，我们可以很容易的写出角域中的电场电位分布: (x0,y0)(2) 当电荷如图4-23（c）所示位置放置时，不能再用镜像法求解,原因在于 在使用镜象法时,要得保证原边界（y=0,x0）和(x=0,y0)上电位为零,必然使得y=0和x=0的整个平面上电位为零,必然使得y=0和x=0的整个平面上电位为零,这等于又增加了两个条件,即（y=0,x0）和（x=0,y0,x0,ya)处，放置一个电偶极子 , 的指向为球的半径向外的方向。求：该系统的镜象系统及球外的电位分布。解:根据(4-156)和(4-157)两式,可以得到:镜象电偶极子 位于 处。bdM(x,y,z)01yzx根据（4-58）式，电偶极子 产生的电位为：电位极子 产生的电位为：根据电位叠加原理，则 4-26已知在x=0和x=d处放置两块无限大的理想导体板，中间充有电导率为的导体，两平板间的电压为 0(x=0处的板接地)。求：板间导体内的电场分布。体电荷密度以及两板相对的面上的面电荷密度是多少（导体介电常数为0）。解：系统示意图如图所示，由于导体两边有电势差，因此，其间必有电流流动，设电流体密度为 ，依题意系统是与时间无关的，因此，导体只能存在稳定电流，即应有 (J0为常数)x=V0= 0=0=0 = 0d。由导体中电流和电场的关系，可知，导体中的电场为：而我们已经知道，导体间的电流差为V0，所以由可得(1) 电场为(2) 电荷体密度可由电场高斯定律求得为:(3) 两板上的面电荷密度为: 4-27有两个点电荷分别放置在（0，0，-1）和（0，0，1）处，求z轴上电位为零的点。这样的点在z轴上有几个？在全空间有多少？请将结果与第一章11题的结果向对照，你能得出什么结论来？解：根据点电荷场解公式经过验证：（）只有当或时，在轴上为零。用解析法可得：即半径为，球心（，）的球上，为零。同时也可用镜像法的公式（）和（）得出同样的结论。与第一章题结果比较可知：电位为零处，并非电场为零处，反之，亦然。4-28画出题中的两个系统的示意图画。解：系统的场图如图所示？系统的场图如图所示。4-29请设想图的示意场图的绘制步骤。4-30输出后再补题（第四章结束。）.