[工学]数值分析试题.doc

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1、数值分析试题 院系,专业： 分数：姓名,学号： 日期：2004.6. 注：计算题取小数点后四位。1. (10分)利用Gauss-Legendre求积公式 导出求积分的三点高斯型求积公式。2. (15分)写出求解线性代数方程组 的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。3. (15分)设矩阵， （1）试计算 。 （2）用Householder变换阵H将A相似约化为上Hessenberg阵，即HAH为上Hessenberg阵。4. (10分) 求关于点集的正交多项式。5. (10分)用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据6. (20分)给出数据点： （1）用构造二

2、次Lagrange插值多项式，并计算的近似值。（2）用构造二次Newton插值多项式，并计算的近似值。（3）用事后误差估计方法估计、的误差。7(10分) 设矩阵A可逆，为A的误差矩阵，证明：当时，也可逆。8(10分)设四阶连续可导，试建立如下数值微分公式 并推导该公式的截断误差。数值分析答案数值分析试题 院系,专业： 分数：姓名,学号： 日期：2005.1. 注：计算题取小数点后四位。一、 填空题(每小题3分，共15分) 1. 若是三次样条函数，则a=_,b=_,c=_.2. 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为lk

3、(x)( k =0,1,2,n)，则 3. 序列满足递推关系：，若有误差, 这个计算过程是否稳定？_. 4. 5. 下面Matlab程序所描述的数学表达式为 for j = 1 : n for i = 1 : m y ( i ) = A ( i , j )x ( j ) + y( i ) end end二、 简单计算题(每小题6分，共18分) 1. 已知矩阵，求Givens 变换阵G 使GAGT 为三对角阵。（不用计算GAGT）2.设，求3.确定数值求积公式的代数精度.三、 (12分)已知矩阵， 用施密特正交化方法求矩阵A的正交分解，即A=QR.四、(10分) 应用Lagrange插值基函数法

4、，求满足下面插值条件的 Hermite 插值多项式。五、 (10分)设三阶连续可导，试推导如下数值微分公式的截断误差 六、(10分)利用求积公式 七、(15分) 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据 并求最小二乘拟合误差。八、(10分) 数值分析答案一、 填空题(每小题3分，共15分)1. a= 3 , b= 3 , c= 0 . 2. 3. 不稳定 4. 5. 二、 简单计算题(每小题6分，共18分) 2. 3. 代数精度为2。五、 (10分)六、(10分)七、(15分)数值分析试题(A)院系,专业： 分数：姓名,学号： 日期：2005.6.29. 注：计算题取小数点后5

5、位。一、 填空题(每空3分，共15分) 1. 形如的插值型求积公式，其代数精度至少可达次，至多可达次。2以n + 1个 整 数 点k ( k =1,2,n，n+1) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为lk(x)( k =1,2,n,n+1)，则 3. 4. 下面Matlab程序所描述的数学表达式为 for j = 1 : n - 1 b ( j ) = b ( j ) / L ( j , j );b ( j + 1 : n ) = b ( j + 1 : n ) - b ( j ) * L ( j + 1 :n, j ) ; end b ( n ) = b ( n ) /

6、 L ( n ,n );二、 简单计算题(每小题6分，共18分) 1. 已知矩阵，求Householder 变换阵H 使HAH 为三对角阵。（不用计算HAH）2. 设，求3. 设，求A的LU分解。三、 (12分) 四、(12分) 应用Lagrange插值基函数法，求满足下面插值条件的 Hermite 插值多项式,并写出截断误差。五、(12分)设线性方程组为 (1) 写出用SOR迭代法求解此方程组的分量计算格式；(2) 当取时，SOR迭代法是否收敛，为什么？(3) 当取时，SOR迭代法是否收敛，为什么？ 六、(12分)已知高斯求积公式 将区间0,1二等分，用复化高斯求积法求定积分的近似值。七、(

7、12分)用最小二乘法确定一条经过点(-1,0)的二次曲线，使之拟合下列数据数值分析答案一、 填空题(每空3分，共15分)1. n , 2n+1 . 2. 3. 4. 二、 简单计算题(每小题6分，共18分)2. ，3. 六、（12分）数值分析试题(A) 院系： 专业： 分数：姓名： 学号 日期：2006.1.5。 注：计算题取小数点后四位。一、 填空题(每小题3分，共15分) 2. 已知x=62.1341是由准确数a经四舍五入得到的a的近似值，试给出x的绝对误差界_.3. 已知矩阵，则A的奇异值为 3. 设x和y的相对误差均为0.001，则xy的相对误差约为_. 4. 5. 下面Matlab程

8、序所描述的数学表达式为a=10,3,4,6;t=1/(x-1);n=length(a) 二、(10分)设。（1）写出解的迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。三、 (15分)已知矛盾方程组Ax=b，其中，（1）用Householder方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。 四、(15分) 给出数据点： （1）用构造三次Newton插值多项式，并计算的近似值。（2）用事后误差估计方法估计的误差。五、(15分) （1）设是定义于-1，1上关于权函数的首项系数为1的正交多项式组，若已知，试求出。 （2）利用正交多项式组，求在上的二次最佳平方逼近

9、多项式。六、(15分) 设是的以为插值节点的一次插值多项式，试由导出求积分的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。七、(15分) 已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）证明当A是严格对角占优阵，时此迭代格式收敛。数值分析答案三、 填空题(每小题3分，共15分)1. . 2. 3. 0.002 4. 120 5. 二、（10分) 解：（1）因，故。由迭代公式：得 （2）上述迭代格式对应的迭代函数为，于是，又，则有且，故此迭代格式是线性收敛的。五、(15分) （1）设 则利用和的正交性得 故 （2）首先做变量代换，将区间从变换到-1，1，则

10、对，取，有 所以 故在上的二次最佳平方逼近多项式。六、(15分) 数值分析试题院系： 专业： 分数：姓名： 学号： 日期：2006.5.27一、 填空题(每空2分，共20分) 1设，则A的奇异值 2. 已知是用极小化插值法得到的sinx在上的二次插值多项式，则的截断误差上界为. 3. 设和节点则 和. 4如下两种计算近似值的方法中哪种方法能够提供较好的近似。方法1： 方法2：5. 已知是非线性方程f(x)=0的二重根，试构造至少二阶收敛的迭代格式.6给出求解线性方程组 的收敛的Jacobi迭代格式（分量形式）及相应的迭代矩阵。7. 解线性方程组Ax=b的简单迭代格式收敛的充要条件是8. 下面M

11、atlab程序所解决的数学问题为 function x=fun(A,b)n=length(b);x=zeros(n,1);x(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 x(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* x(i+1:n)/A(i,i);end二、(15分) 已知方程组Ax=b，即有解=（2，0）T，(1) 求；(2) 求右端项有小扰动的方程组的解；(3) 计算和，结果说明了什么问题。三、(15分) 已知函数值表 在函数空间中求最佳平方逼近多项式，并估计误差。（注：取小数点后四位）四、(15分) 已知函数值表 用二次多项式计算x=0.26时函数的较好近似值,并估计误差

12、.五、(15分) （1）求0，1区间上关于权函数的首项系数为1的正交多项式 。 （2）构造带权的高斯型求积公式(3) 导出此高斯型求积公式的截断误差。六、(10分)已知近似数x=10的绝对误差限为0.05,试求函数的相对误差限.七、(10分) 用Householder方法求矩阵的正交分解，即A=QR。数值分析答案一、 填空题(每空2分，共20分)1. 3 . 2. 3. 和 4. 方法2 5. 6。Jacobi迭代格式迭代矩阵 7. 8解上三角形方程组Ax=b二、 (15分)(1) (2) (3) 和虽然方程组右端项扰动的相对误差仅为0.005%，然而此小扰动引起解的相对误差却高达50%，这是

13、由于”系数矩阵的条件数比较大,方程组是病态的”,从而导致上述结果.三、(15分)四、(15分)(1)建立如下差商表 (2) 五、 (15分) (1)由首正交多项式的构造公式，可得，, (2) (3) Gauss型求积公式的截断误差为六、(10分) n=20七、(10分) 中国石油大学（北京）2006-2007学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析 所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效 注：计算题取小数点后四位题号一二三四五六七总分得分一、填空题(每空2分，共20分) (1) 设为真值的近似，则有 位有效数字。(2) 设数据的绝对误差分别为0.0005和0.00

14、02，那么的绝对误差约为 _ _。(3) 设则差商。(4) 设求积公式是Gauss型求积公式，则 。(5) 设,则= 。(6) 数值微分公式的截断误差为 。(7) 是以为节点的拉格朗日插值基函数，则 。(8) 利用两点Gauss求积公式，则 。（9）解初值问题 的改进的欧拉法是 阶方法。(10) 下面Matlab程序所求解的数学问题是 。 （输入A , b , 输出X） X=zeros(n,1);X(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* X(i+1:n)/A(i,i);end二、(15分) 已知函数值表 （1）用构造二次New

15、ton插值多项式，计算当时的近似值；（2）用事后误差估计方法估计的误差。三、（10分）试建立下述形式的求积公式，并确定它的代数精度。四、（15分） 已知数据表如下 ， （1）构造关于点集和权的正交函数组（2）利用拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差。五、(15分) 设线性方程组为 ，（1）写出解此方程组的雅可比迭代格式和高斯-赛德尔迭代格式（分量形式）；（2）证明用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散；（3）当同时收敛时试比较其收敛速度。 六、(10分) （1）证明对任何初值 ，由迭代公式所产生的序列都收敛于方程的根。（2）写出求方程根的牛顿迭代格式。七、(15

16、分)已知矛盾方程组Ax=b，其中，（1）用Householder方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。数值分析试卷A答案三、 填空题(每空2分，共20分)（1） 5 （2）0.0007 （3）4 （4）1/4 （5） 2 （6） （7） （8） （9） 2 （10） 解上三角形方程组二、 (15分) (1)建立如下差商表 （4分） 三、解：令公式对都准确成立，则有 (4分)解之可得，故所求积分公式为 (4分)当时，左边=，右边=右边左边，所以原公式只具有3次代数精度。 (2分)四、解：（1）首先构造构造关于点集和权的首一正交多项式 显然，设，

17、则由 得a=0，故有 。 由 和得 ，即 因此，。(5分)（2）设，则 (5分) (5分)五、(15分) (1) 雅可比迭代格式高斯-赛德尔迭代格式 (6分)(2) 雅可比迭代矩阵高斯-赛德尔迭代矩阵所以雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法要么同时收敛，要么同时发散； (6分)（3）雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法同时收敛，由于，所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快。 (3分)六、(10分) 记，则。（1）先考虑区间-1，1，当时， ， 。故对任意初值，由迭代公式产生的序列 都收敛于方程 的根。 (2分)（2）对任意初值，有，将此看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式产生的序列 都收敛

18、于方程 的根。(3分)（3）牛顿迭代公式 (5分)七、(15分) (10分) 中国石油大学（北京）2007-2008学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位一、填空题(每空3分，共24分) (1) 设，则A的奇异值为 。(2) 设为真值的近似值，则有 位有效数字。(3) 设数据的绝对误差为0.002，那么的绝对误差约为 _ _。(4) 是以为节点的拉格朗日插值基函数，则 。(5) 插值型求积公式的求积系数之和 。 其中为权函数，。（6）已知，求Householder阵H使，其中。H= 。(7) 数值求积公式的代数精度为。(8) 下面Matlab

19、程序所求解的数学问题是 。（输入向量x , 输出S） x=input(输入x：x=); n=length(x); S=x (1); for i=2:n if x (i)1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数为lk(x)( k =0,1,n)，则 7、已知是用极小化插值法得到的cosx在0,4上的三次插值多项式，则的截断误差上界为.8、已知向量，求Gauss变换阵，使。.9、设, 给出求方程根的二阶收敛的迭代格式。10、下面M文件是用来求解什么数学问题的？function x,k=dd（x0）for k=1:1000 x=cos(x0); if abs(x-x0)0.00001, bre

20、ak end x0=x;end 二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b，其中，（1）用施密特正交化方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。三、（10分）已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）若，推导上述迭代格式收敛的充分必要条件。四、（15分）（1）证明对任何初值，由迭代公式所产生的序列都收敛于方程的根。（2）迭代公式是否收敛。五、（15分）用最小二乘法确定一条经过原点(0,0)的二次曲线，使之拟合下列数据并求平方误差。六、（15分）（1）写出以0，1，2为插值节点的二次Lagrange插值多项式；（2

21、）以0，1，2为求积节点，建立求积分的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。61中国石油大学（北京）2009-2010学年第一学期研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)课程名称：数值分析题号一二三四五六总分得分一、（30分） 1、； 2、； 3、；4、；5、 5； 6、1； 7、； 8、； 9、 10、用简单迭代法求方程的根。二、（15分）（1） （10分） （5分）三、（10分） (1) (6分) (4分)四、（15分）（1）记，则。先考虑区间0.5，1.5，当时， ， 。故对任意初值，由迭代公式产生的序列 都收敛于方程的根。 (9分)对任意初值，有，将此看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式产生的序列 都收敛于方程的根。 (3分)（2）记，则，对任意，有所以迭代公式不收敛。 (3分)五、（15分） （10分） （5分） 六、（15分）（1） （ 5分）（2） （5分）构造一个二次插值多项式p2(x)满足下列条件因为p2(x)为二次多项式，所以 （5分）