八年级讲义反比例函数教师版

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1、环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义讲义编号： 副校长/组长签字： 签字日期： 学 员 编 号 ： 年 级 ： 八 课 时 数 ：3课时学 员 姓 名 ： TR版 辅 导 科 目 ： 数学 学 科 教 师 ：孟彦课 题17.1反比例函数授课日期及时段教 学 目 的重 难 点教 学 内 容【基础知识巩固】1. 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成2. 反比例函数解析式的特征：等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.比例系数自变量的取值为一切非零实数。函数的取值是一切非零实数。3. 反比例函数的图像

2、图像的画法：描点法 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不和坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。4反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限函数的增减性一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对

3、应值或图像上一个点的坐标即可求出）6“反比例关系”和“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。反比例函数的意义1.下列函数中,是反比例函数的是( )A.y=x1 B.y= C.y= D.=2答案:C2.已知某气体的质量为5 kg,则其密度(kg/m3)和体积V(m3)之间的关系式为_,是V的_函数.答案：=(V0) 反比例3.什么是算术中的反比例定义？答案:两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.4.一张一百元的新版人民币把它换成50元的人民币

4、，可得几张？换成10元的人民币可得几张？依次换成5元，2元，1元的人民币，各可得几张？换得的张数y和面值x之间有怎样的关系呢？请同学们填表:换成的面值x(元)502010521换成的张数y(张)(1)用含有x的代数式表示y.(2)换成的面值x会怎样变化呢？变量y是x的函数吗？为什么？解析:填表的过程中可总结出换得的张数y和面值x之间的关系是y=，并且面值x变化时，换成的张数y随之变化，且对于任一个x都有唯一的y和之对应，所以变量y是x的函数.反比例函数的图像和性质1.什么是反比例函数?答案:一般地，形如y=(k是常数，k0)的函数叫做反比例函数.2.判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？为什

5、么？(1)xy=； (2)y=5x； (3)y=； (4)y=(a为常数且a0).答案:(1)(3)(4)是反比例函数，因为(1)(3)(4)是形如y=(k是常数，k0)的函数；(2)不是反比例函数，因为(2)不是形如y=(k是常数，k0)的函数.3.已知反比例函数y=的图象经过点（2,3），则在每一象限内,y随x的增大而_.答案:减小【典型例题分析】 反比例函数的意义1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?(1)y=3x1;(2)y=2x2;(3)y=;(4)y=;(5)y=3x;(6)y=;(7)y=;(8)y=.解析:一般地，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数；

6、形如y=(k是常数，k0)的函数叫做反比例函数.答案:正比例函数有(4)(5)；反比例函数有(3)(6)(7)(8).2.已知函数y=3xm7是正比例函数，则m=_；已知函数y=3xm7是反比例函数，则m=_.解析:由正比例函数和反比例函数定义可得:当m7=1,即m=8时,函数y=3xm7是正比例函数；当m7=1,即m=6时,函数y=3xm7是反比例函数.答案:8 63.一个矩形的面积是20 cm2，相邻的两条边长为x cm和y cm，那么变量y是x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?解析:根据矩形面积公式得20=xy，所以求得y=，那么变量y是x的反比例函数.4.已知点A(2，3)在反比例函数

7、y=的图象上，则a=_.解析:点A(2，3)在反比例函数y=的图象上表示当x=2时y=3，所以求得a=6.答案:65.某村有耕地346.2公顷,人口数量n逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数量n的函数吗?是反比例函数吗?为什么?解析:人均耕地=(n0),所以是函数关系,且符合反比例函数定义.6.y是x的反比例函数,下表给出了x和y的一些值:x2113y21(1)写出这个反比例函数的表达式;(2)根据函数表达式完成上表.解:(1)设y=,把x=1,y=2代入得k=2,y=.(2)依次代入已知的x值求y值,或代入已知的y值求x值.从左到右依次为x=3,y=1,y=4,y

8、=4,y=2,x=2,y=.7.已知y=y1y2，y1和x成反比例，y2和x2成正比例，并且当x=3时,y=5;x=1时，y=1.求y和x之间的函数关系式.解:设y1=，y2=k2(x2), y=k2(x2).当x=3时，y=(32)=5，即=5;当x=1时，y=(12)=1，即k1+k2=1,k1=3，k2=4. y=+4(x2).反比例函数的图像和性质 1.如果反比例函数y=的图象经过点(3,4),那么k的值是( )解析：将(3,4)的坐标代入y=,得k=12. 答案：12 2.如图,某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)和电阻R()成反比例.右图表示的是该电路中电流I和电阻R之间关

9、系的图象,则用电阻R表示电流I的函数关系式为( )解析：设I=,将(3,2)代入即得k=6. 答案: .I= 3.函数y=(k0)的图象如图所示,那么函数y=kxk的图象大致是( )解:y=在二、四象限,所以k0,则y=kxk向左倾斜,和y轴交于正半轴. 答案:C4.下图给出了反比例函数y=和y=的图象，你知道哪一个是y=的图象吗？_.解析:反比例函数y=的图象在第一、三象限，而反比例函数y=的图象在第二、四象限. 答案:(2)5.已知反比例函数y=，当m_时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m_时，其图象在每个象限内y随x的增大而增大.解析:若使反比例函数y=的图象的两个分支在第一、三象

10、限内，需使3m20，即；若使反比例函数y=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，需使3m20，即.答案: 6.直线y=2x和双曲线y=的一个交点坐标为(2，4),则它们的另一个交点坐标是_.解析:因为点(2，4)在双曲线y=上，所以4=，得k=8，则它和y=2x组成方程组解得或所以另一个交点坐标是(2，4). 答案:(2，4)【重点知识巩固】【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（）即（）又在第二，四象限内，则可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：解得时函数为【例2】在反比例函数的图像上有三点， 。若则下列各式

11、正确的是（ ）A B C D 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。解法一：由题意得，所以选A解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像 描出三个点，满足观察图像直接得到选A解法三：用特殊值法【例3】如果一次函数相交于点（），那么该直线和双曲线的另一个交点为（ ）【解析】【例4】 如图，在中，点是直线和双曲线在第一象限的交点，且，则的值是_.图解:因为直线和双曲线过点,设点的坐标为. 则有.所以. 又点在第一象限,所以. 所以.而已知.【课后强化练习】反比例函数的意义1.下列关系式中，哪个等式表示y是x的反比例函数( )A.y= B.y= C.y= D.2xy=1解析

12、:选项A中的k没说明是否为0，选项B中的x出现了二次，选项C中y是2x+1的反比例函数.D符合反比例函数定义,故选D. 答案:D2.下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有( )当路程s一定时,汽车行驶的平均速度v和行驶时间t之间的关系;当电压U一定时,电路中的电阻R和通过的电流强度I之间的函数关系;当矩形面积S一定时,矩形的两边a和b之间的函数关系;当受力F一定时,物体所受到的压强p和受力面积S之间的函数关系.A. B. C. D.解析:v=;R=;a=;p=. 答案:D3.下列函数表达式中，x均表示自变量，那么哪些是反比例函数?如果是,请在括号内填上k的值;如果不是,请填上“不是”.(1

13、)y=( ); (2)y=( );(3)y=( ); (4)xy=2( )；(5)y=( ); (6)y=( );(7)y=2x1( ).解析:由反比例函数定义:形如y=(k是常数，k0)的函数叫做反比例函数，可知(1)(2)(4)(6)(7)是反比例函数，其k值分别为5、0.4、2、5、2.答案:(1)5 (2)0.4 (3)不是 (4)2 (5)不是 (6)5 (7)24.若y和x成正比例,z和y成反比例,则x和z之间成_关系.解析:令y=k1x(k10),z=(k20),所以z=,即x=.因为k10,k20,所以0.所以x是z的反比例函数.答案:反比例5.已知y和(2x+1)成反比例，且

14、x=1时，y=2，那么当x=0时，y=_.解析:因为y和(2x+1)成反比例，可设y=，由x=1时，y=2得k=6，即函数解析式为y=，所以当x=0时，y=6. 答案:66.已知函数y=(m+2)xm3是反比例函数,求m的值.解:由反比例函数的定义,得解得m=2.7.已知y=y1+y2，y1和x成正比例，y2和x成反比例，并且x=1时y=0；x=2时y=3，求函数的解析式.解:y1和x成正比例,y2和x成反比例, 设y1=k1x,y2=(k10,k20). 又y=y1+y2=k1x+,当x=1时,y=0;x=2时,y=3.解得 这个函数的解析式为y=2x.8.在某一电路中，保持电压U(伏特)不

15、变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5时，电流I=2安培.(1)求I和R之间的函数关系式;(2)当电流I=0.5安培时，求电阻R的值.解:(1)I=，当R=5，I=2时，2=，得U=10. I和R之间的函数关系式为I=.(2)当I=0.5时，0.5=，R=20.反比例函数的图像和性质1.若点(2,y1)、(1,y2)、(2,y3)都在反比例函数y=的图象上,则有( )A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y3y1y2 D.y2y1y3解析:因为y=在第四象限内随x的增大y增大,又知道12,所以y2y3.而(2,y1)在第二象限,故y10,所以y1y3y2. 答案:B2.已知

16、一个矩形的面积为24 cm2，其长为y cm，宽为x cm，则y和x之间的函数关系的图象大致是( )解析:根据矩形面积公式得y=，其中k=240，x0，所以函数关系的图象大致是答案D的图象.答案:D3.已知函数y=的图象过点A(6,1),则下列点中不在该函数图象上的点是( )A.(2,3) B.(1,6) C.(1,6) D.(2,3)解析:将点A(6,1)代入y=,得k=6,再将四个选择项点坐标代入解析式验证,两坐标之积不为6的即不在图象上.答案:B4.已知k0，则函数y=kx、y=的图象大致是下图中的( )解析:当k0时正比例函数y=kx的图象经过原点和一、三象限，而反比例函数y=的图象在

17、二、四象限，所以选C.选项A的正比例函数y=kx的图象经过原点和二、四象限，则k0.选项B的反比例函数y=的图象在一、三象限，则k0,即k0.选项D的错误和选项A、B的错误一样.答案:C5.反比例函数y=(k0)在第一象限的图象如图所示，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果MOP的面积为1，那么k的值是( )解析:MOP的面积等于OPPM=1，如果设点M的坐标为(x1，y1),因为反比例函数y= (k0)的图象在第一象限，所以OP=|x1|=x1，PM=|y1|=y1，即OPPM=x1y1=1.所以k=x1y1=2. 答案: 26.已知反比例函数的图象一定经过点(3，4)，则这个函数解析

18、式是_.解析:设反比例函数解析式为y=，当x=3时,y=4，解得k=12，所以这个函数解析式是y=.答案:y=7.请你写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限:_.解析:在二、四象限的反比例函数所具有的性质是k0. 答案:y=(不唯一,k0即可)8.已知反比例函数y=的图象和直线y=2x和y=x+1的图象过同一点(1，2)，则当x0时，这个反比例函数值y随x的增大而_ (填增大或减小).解析:先求直线y=2x和y=x+1的图象的交点为(1，2)，把点(1，2)代入反比例函数y=中,得k=2，所以x0时这个反比例函数值y随x的增大而减小. 答案:减小9.已知双曲线y=，在每个象限内，自变量x逐渐增大，y的值也随着逐渐增大，那么k的取值范围为_.解析:若使双曲线y=在每个象限内自变量x逐渐增大，y的值也随着逐渐增大，则3k0，得k3.答案:k310.已知正比例函数y=kx和反比例函数y=的图象都过点A(m，1)，求此正比例函数解析式及另一个交点的坐标.解:y=的图象过A(m，1)点，则1=， m=3，即A(3，1).将A(3，1)代入y=kx，得k=，正比例函数解析式为y=. 又,x=3. 当x=3时，y=1；当x=3时，y=1.另一交点为(3，1).11 / 1111 / 11