直接证明与间接证明

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1、8.2直接证明与间接证明教学目标：重点：综合法，分析法与反证法的运用.难点：分析法和综合法的综合应用.能力点：能用三种方法解决简单的证明问题及三种证明方法的综合应用.教育点：体会数学证明的思考过程及特点，提升分析解决问题的能力.自主探究点：主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时要综合运用数学知识进行推理论证,以及化归与转化的思想.易错点：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的； 不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口； 不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范.学法与教具：1 学法：自主探究、练习法2教具

2、：多媒体一、【知识结构】二、【知识梳理】1. 直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.框图表示:QinQ2tQ2nQ3(其中P表示已知条件，Q表示要证的结论)(2)分析法定义：从出发，逐步寻求使它成立的为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，直至最后，把要证明的结论归结这种证明的方法叫做分析法.框图表示:P2UP3T得到一个明显成立的条件2. 间接证明反证法：假设原命题（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做

3、反证法禾U用反证法证题的步骤假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.简言之，否定t归谬t断言.三、【范例导航】1例1已知xyz=1，求证：x2：；，y2z23【分析】综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明.综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用由基本不等式x2，y2_2xy,得到关于x、y、z的三个不等式，将三式相加整理变形，然后利用xyz=1得（xyz）1从而可证.【解答】法一：；x?y2_2x

4、y,y2z_2yz,_2zx,222222（x亠y）亠（y亠z）亠（z亠x）_2xy亠2yz亠2zx2222223（xyz）_xy-z2xy2yz2zx,即3（x2-y2-z2）_（xyz）2=1,.x2y2z2_-.32221122212222法一：x亠y亠z-（3x亠3y亠3z-1）3x亠3y亠3z-（x亠y亠z）33312222221222=(3x-3y-3z-xy-z2xy-2xz-2yz)(x-y)-(y-z)-(z-x)丄0332221.xy-z-.3法三：证明：a1,a2,aR,a!a?a.=1，则22a1a2+-a25n1_成立.nQQQ构造函数f（x）=（x-aj（x-a2）

5、亠亠（x-an）=nx223*2亠亠ajxaa：亠亠a；=nxZQxaa：亠亠a；.因为对于一切xR，都有f（x）_0,所以厶=4-4n（a；-a：-一a；）乞0,22212221从而证得：a_,，a2亠亠an，当n=3时，即x-y-z成立.n3【点评】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确.其基本流程表述如下：变式训练：设a.0,b【解答】方法一:.0,a-b=1,求证b11118.ab1+b1+abab

6、1+abab28.1又；2ab-ab=1,.ab_,.4方法二：；ab=1,.（2）已知ab1a用分析法证明：11a.0,_-一1，ba4亠ba亠b+ab2abab2()2a亠b+ab=224；2222acb_.ab.cd.求证：J1+aa,1.1b【分析】(1)由于a,b,c,dR,故要分ac-bd:0或acbd亠0两种情况，然后用分析法证明.（2）化为有理式运算，通过化简得出已11知条件1，可得证.b【解答】要证明成立，不等式两边都是整数，可通过同时平方,J1+ba证明（1）若acbd:0,结论显然成立;acbd_0,要证ac(acb-d2(2a222b)cd即证a2c2-2abcd-bd

7、2一22丄22丄22丄22.22丄222.口-acadbcbd,2abcd-adbe,(ad-be)-0显要证J+a”1成立，只需证1+a丿1+b1,只需证(1+a)(1b卜1,(b,即1 _b1-baab-1,.ab.ab,只需证1,ab1111即1.由已知a.0,1成立，baba1a.J1+b【点评】分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等通常采用“欲证一一只需证一一已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范在解答本题时有两点容易造成失分：（1）不去分类，而是直接平方作差判断.（2）在平方作差变形时运算失误或

8、对等号成立的条件说明不到位而失分.注意解题技巧：1逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.-综合法”即两头凑的办法，即通过分析法.在求解实际问题时，对于较复杂的问题，可以采用“分析【解答】要证明B为锐角，根据余弦定理，也就是证明22,2a+cbcosB=2ac0,即需证找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证.变式训练：已知：ABC三边a,b,c的倒数成等差数列，证明：B为锐角.2222、.222ii2由于ac-b_2ac-b,要证acb0,只需证2ac-b0,；a,b,

9、c的倒数成等差数列,2,即2ac=b(a-c).要证b2ac-b0，只需证2b(ac)-b-0，即b（ac-b）0.上述不等式显然成立.B必为锐角.1 +x1+y例3若x,y都是正实数，且xy2，求证：2与2中至少有一个成立.yx【分析】当一个命题的结论是以至多”、至少”、惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，分析可得本题适合用反证法，从题目中可以看出“至少”这样的存1+x1+y在量词，于是可设2与2结论的反面成立，即两个不等式都不成立.通过推理可得出yxxy乞2的结论，与已知x-y2矛盾，所以假设不成立，原命题正确.1+x1+y1+x1+v【解答】假

10、设2与2都不成立，则有2与2同时成立，因为x0且y0,yxyx所以1，x_2y，且1y_2x,两式相加得，2x，y_2x2y,所以xy_2,这与已知xy2相1+X1+y矛盾，因此:2与一-:2中至少有一个成立.yx【点评】用反证法证明问题的一般步骤：（1）反设：假定所要证的结论不成立，即结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）（2）归谬：将反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾一一与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（3）结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.（结论成立）.注意：（1）当

11、结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的.（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误.（3）反证法中常见词语的否定形式原词否定形式至多有n个（即x兰n,nN*）至少有n+1个(即xn=xn+1,nN*)至少有n个（即xn,nwN*）至多有n_1个(即xq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定-q;第二步：由p和一q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p；q为真.第三步所说的矛盾

12、结果，通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.五、【布置作业】必做题：1.关于x的方程ax+a-1=0在区间（0,1）内有实根，则实数a的取值范围是2 .设ab0,m=-a-b,n=.a-b，则m,n的大小关系是设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x_z，且y_z，则x/y”为真命题的是（填写所有正确条件的代号）x为直线，y,z为平面；x,y,z为平面；x,y为直线，z为平面；x,y为平面，z为直线；x,y,z为直线.3 如果a-Jab./ba/b十b頁，贝Ua,b应满足的

13、条件是5(1)设x是正实数，求证：(x1)(x2-1)(x3-1)_8x3;(2)若x：=R，不等式(x1)(x2-1)(x31)_8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值.1必做题答案：1.(,1)2.m：n3.4.a_0,b_0且a丄b2.(1)证明x是正实数，由基本不等式知x1_2代,1x2_2x,x31_2.、x3,故(x1)(x21)彳1)一2x-)2,2x=8x3(当且仅当x=1时等号成立).(2)解：若x：=R，不等式(x-1)(x21)(x3T)_8x3仍然成立.由(1)知，当x.0时，不等式成立；当x辽0时，8x3空0，而(x1)(X

14、21)(x3T)=(xT)2(x2T)(x2_xT)22123=(x1)(x-1)(x)H-0，此时不等式仍然成立.4选做题：1.若a,b,c为Rt.ABC的三边，其中c为斜边，那么当n.2,n三N时，aJ与J的大小关系为.2.下面有3个命题：1当x0时，2x-7的最小值为2;24 将函数y二sin2x的图象向右平移二个单位，可以得到函数y二sin(2x一二)的图象;6在Rt.lABC中，AC_BC,AC=a,BC=bABC的外接圆半径r二间，若三棱锥S-ABCS-ABC的外接球的半径的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为需R二22ab类比到空2b、c则三棱锥a、其中错误命题的序号为22 .已知f(x)=x亠ax亠b.(1)求：f(1)f(3)-2f(2);(2)求证:f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于选做题答案：1.an-bn:cn2.3. 解；f(1)=ab1,f(2)=2ab4,f(33ab9,f(1)f(3-2f(2)=2.1111111(2)证明假设f(1),f(2),f都小于一.则一f(1),cf,f(3),2222222.一1：-2f(2)：1,一1：f(1)-f(3)：1.一2：f(1)-f(3)2f(2)：2.这与.f(1)f(3)-2f(2)=2矛盾，.假设错误，即所证结论成立.a2b成$立，d只需证