排列与组合解题技巧

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1、佛山学习前线教育培训中心高二数学（理）讲义专题：排列与组合解题技巧主要技巧：一. 运用两个基本原理例 1 ： n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？练习 1：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）A）6 种（B）9 种（C）11 种（D）23 种二. 特殊元素（位置）优先例 2 ：从 0 ，1 ，9 这 10 个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数 字的五位偶数多少个？练习 2：8 人站成两排，每排 4 人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？三. 捆绑法例 3 ： 8 人排成一排，甲、乙必

2、须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？练习 3：记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照，要求排成一排，2位老人相 邻但不排在两端，不同的排法共有A. 1440 种B. 960 种C. 720 种D. 480 种四. 插入法例 4 ：排一张有 8 个节目的演出表，其中有 3 个小品，既不能排在第一个，也不能有 两个小品排在一起，有几种排法？练习4：安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人 都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种。五. 排除法例 5 ：求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。 练习5：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取

3、出5件产品，其中含 有次品，有多少种取法？练习 6：8 个人站成一排，其中 A 与 B、A 与 C 都不能站在一起，一共有多少种排法？六. 机会均等法例 6 ： 10 个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多 少种排法？练习7：用1 ， 4， 5， 四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288， 求。七. 转化法例 7：一个楼梯共 10 级台阶，每步走 1 级或 2 级， 8 步走完，一共有多少种走法？ 练习8：动点从（0 ， 0）沿水平或竖直方向运动到达（6， 8），要使行驶的路程最小， 有多少种走法？八. 隔板法例 14 ：20 个相同的球分给 3 个

4、人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？ 练习 9：把10 本相同的书发给编号为 1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的 书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些 方法是否适合更一般的情况？针对练习：1、7 名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？2、7 名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？3、（1996 年全国高考题）正六边形的中心和顶点共 7个点，以其中3 个点为顶点的三角形共 有个.4、（1995年上海高考题）1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种.5、（2000年全国高考题）乒乓

5、球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那 么不同的出场安排共有种.6、（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A42B30C20D127 、（ 2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）8、（2002年北京高考） 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4人，则不

6、同的分配方案共有（）A.常种B种C 种D宝込种9、（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别 种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）A. 24种B. 18种C. 12种D. 6种10、（2008年陕西卷）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两 人中产生，则不同的传递方案共有种（用数字作答）.11、（2008年天津卷）有4张分别标有数字1, 2, 3, 4的红色卡片和4张分别标有数字1,2， 3， 4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张

7、卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标 数字之和等于1 0 ，则不同的排法共有种（用数字作答） .12、 （2008年浙江卷）用1， 2， 3， 4， 5， 6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻 两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）。 参考答案：一. 运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我 们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。例1： n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有 种结果；1个人通过，有 种结果，； n 个人通过，有 种结果。所以一

8、共有 种可能的结果。解法 2：用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这 样，第n个人也是这样。所以一共有 种可能的结果。例 2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡 则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）（A）6 种（B）9 种（C）11 种 （D）23 种解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、do第一步，甲取其中一张，有 3 种等同的方式；第二步，假设甲取b,则乙的取法可分两类：（1）乙取a,则接下来丙、丁的取法都是唯一的，（2）乙取 c 或 d（2 种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的根据加

9、法原理和乘法原理，一共有种分配方式。二 . 特殊元素（位置）优先例3:从0，1，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数 字的五位偶数多少个？解：个位选0，有 个，个位不选0且万位不能选0，有个，所以一共可以得到个偶数。注 0，2, 4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。例 4： 8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？ 解：先排甲，有 种排法。再排乙，有 种排法，再排其余的人，又有 种排法， 所以一共有种排法。三. 捆绑法例 5： 8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？ 解：把甲、乙、丙先排好，有 种

10、排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与 其余5个人相当于6个人排成一排，有 种排法，所以一共有=1440种排法。四 . 插入法例 6：排一张有8个节目的演出表，其中有 3个小品，既不能排在第一个，也不能有 两个小品排在一起，有几种排法？解：先排5个不是小品的节目，有 种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有 6个空隙，将3个小品插入进去，有 种排法，所以一共有=7200种排法。注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。五. 排除法例7;求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。解：从8个点中取4个点，共有 种方法，其中取出的4个点共面的有种，所以符合条件的四面体的个数为个

11、。例8： 100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有 次品，有多少种取法？解：从100件产品中取5件产品，有 种取法，从不含次品的95件中取出5件产品 有 种取法，所以符合题意的取法有种。例 9： 8 个人站成一排，其中 A 与 B、 A 与 C 都不能站在一起，一共有多少种排法？解：无限制条件有 种排法。A与B或A与C在一起各有种排法，A、B、C三人站在一起且A在中间有 种排法，所以一共有+=21600种排法。六. 机会均等法例 10： 10 个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多 少种排法？解：甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这

12、6种排法中各种排列顺序在10个人的 所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为。例 11：用 1， 4， 5， 四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为 288， 求。解：若 不为 0，在每一个数位上 1， 4， 5， ，出现的机会是均等的。由于一共可以 得到24个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现6次，于是得到：，解得 。若 为 0，无解。七. 转化法例12 ：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级， 8步走完，一共有多少种走法？ 解： 10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。显然，必须有2步中每 步走2级，6步中每步走一级。记每次走1级台阶为A,

13、记每次走2级台阶为B,则原问题 就相当于在8个格子中选2个填写B。其余的填写A,这是一个组合问题，所以一共有 种走法。例13：动点从（0， 0）沿水平或竖直方向运动到达（6， 8），要使行驶的路程最小， 有多少种走法？解：动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为 14，把动点运动1 个 单位看成是1步，则动点走了14步，于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和 8个“右”，这也是一个组合的问题，于是得到一共有种走法。八. 隔板法例14： 20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？ 解：将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（两个隔板 可以插在同一空隙中） ，规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别分给3个人，则每一 种隔法对应了一种分法，每一种分法对应了一种隔法，于是分法的总数为种方法。注：本题可转化成求方程的非负整数解的个数。