非对称弯曲与特殊梁学习教案

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1、会计学1非对称弯曲与特殊梁非对称弯曲与特殊梁第一页，编辑于星期三：四点 五十六分。第1页/共55页第二页，编辑于星期三：四点 五十六分。惯性积惯性积 AyzAyzId4L截面对截面对 y, z 轴的轴的惯性积惯性积当当 y 或或 z 轴为截面对称轴时轴为截面对称轴时0 yzI跳过算例跳过算例第2页/共55页第三页，编辑于星期三：四点 五十六分。试计算图示截面试计算图示截面的惯性积的惯性积 Iyz bbb-zhyzzyyzI0 )/(0 dd2422hbIyz bzbhy)(1 算例 byyzzyyzI0 0 1dd第3页/共55页第四页，编辑于星期三：四点 五十六分。平行轴定理平行轴定理Cy0

2、z0形心直角坐标系形心直角坐标系Oyz任意直角坐标系任意直角坐标系 AyzAyzIdCCzyyzzAyII 000d 0 AAy ACCyzAzzyyId00的关系的关系与与建立建立 00zyyzII AzyAzyId00000d 0 AAz注意：注意：的坐标的坐标形心形心 ),(CzyCC二者平行二者平行跳过算例跳过算例第4页/共55页第五页，编辑于星期三：四点 五十六分。算例算例)m1040m)(2010m)(-1010(20026-3-3- yzI000 zyImm -10 Czmm 20 CyCCzyyzzAyII 0048-m1016 yzI试计算试计算惯性积惯性积 Iyz第5页/共

3、55页第六页，编辑于星期三：四点 五十六分。转轴公式转轴公式的关系的关系与与建立建立 11zyyzII sincos1zyy sincos1yzz AzyyzzyI)dAsincos)(sincos(11 cos2sin2 211yzzyzyIIII sin2 cos2 2 2 11yzzyzyzyIIIIIII p11IIIIIzyzy ：始边始边 y轴，轴，为正为正第6页/共55页第七页，编辑于星期三：四点 五十六分。主轴与主惯性矩主轴与主惯性矩yzyzIII 2tan2 sin2 cos2 2 2 yzzyzyzyIIIIIII 满足惯性积为零的坐标轴满足惯性积为零的坐标轴 主轴主轴,

4、zy记为记为对主轴的惯性矩对主轴的惯性矩 主惯性矩主惯性矩记为记为zyII , 通过形心的主轴通过形心的主轴主形心轴主形心轴相应惯性矩相应惯性矩主形心惯性矩主形心惯性矩 sin2cos22yzyzyzIIII 0 主形心轴主形心轴主形心轴主形心轴跳过算例跳过算例第7页/共55页第八页，编辑于星期三：四点 五十六分。算例算例确定主形心轴与主形心惯性矩，确定主形心轴与主形心惯性矩，h=2bbbbbbIIzy48sin481848cos4892182192182144444 415200b.Iy 412580b.Iz 1836430bhbIy 9236430bbhIz AzyIICCyzzy 000

5、0002tan2yzzyIII 2424- 78-1892)18(-2444 /b/b/b18-4b AzyhbCC 2422第8页/共55页第九页，编辑于星期三：四点 五十六分。第9页/共55页第十页，编辑于星期三：四点 五十六分。 平面假设平面假设 单向受力假设单向受力假设假设 E 综合考虑三方面(a) E 中性中性层层曲率半径曲率半径第10页/共55页第十一页，编辑于星期三：四点 五十六分。(b) 0d AA (c) 0d AAz (d) d AzMAy 联立求解式联立求解式(a)(d)zzEIM 1zzIyM- 变形与应力变形与应力：详见详见中性轴中性轴与主形心轴与主形心轴 z 重合重

6、合中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式平面弯曲平面弯曲 中性轴中性轴：结论结论第11页/共55页第十二页，编辑于星期三：四点 五十六分。非对称弯曲正应力zzyyIyMIzM zzyyIyMIzM yzzyMMIIyz tan最大应力位于离中性轴最远点最大应力位于离中性轴最远点 a, b 处处 应力一般公式应力一般公式 公式的简化公式的简化中性轴方位中性轴方位0 广义弯曲公式推导广义弯曲公式推导第12页/共55页第十三页，编辑于星期三：四点 五十六分。斜弯曲 tantanzyyzzyIIMMII cosMMy sinMMz 时时，zyII中性轴不垂直于弯矩作用面的变形

7、形式中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式斜弯曲斜弯曲第13页/共55页第十四页，编辑于星期三：四点 五十六分。几个概念及其间关系 对对 称称 弯弯 曲曲非对称弯曲非对称弯曲弯曲弯曲 平面弯曲平面弯曲（M 矢量矢量 / 主形心轴时主形心轴时）斜斜 弯弯 曲曲（M矢量不矢量不 / 主形心轴时主形心轴时）平面弯曲平面弯曲斜弯曲斜弯曲两个互垂平面弯曲的组合两个互垂平面弯曲的组合 中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式斜弯曲斜弯曲 中性轴垂直中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式于弯矩作用面的变形形式平面弯曲平面弯曲 几个概念间的关系几个概念间的关系第14页/共55页第十五页，编辑

8、于星期三：四点 五十六分。非对称弯曲分析计算步骤 确定截面形心、主形心轴与主形心惯性矩确定截面形心、主形心轴与主形心惯性矩 内力分析，求出内力分析，求出 My 与与 Mz 确定中性轴方位，以确定最大正应力点位置确定中性轴方位，以确定最大正应力点位置 计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力第15页/共55页第十六页，编辑于星期三：四点 五十六分。第16页/共55页第十七页，编辑于星期三：四点 五十六分。y、z 轴主形心轴轴主形心轴假设 切应力平行与中心线切线切应力平行与中心线切线 切应力沿壁厚均匀分布切应力沿壁厚均匀分布第17页/共55页第十八页，编辑于星期三：四点 五十六分。弯曲切应力公式)()

9、()(SsISFszz Iz- 整个截面对整个截面对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩Sz-截面截面 对对 z 轴的静矩轴的静矩推导推导详见详见第18页/共55页第十九页，编辑于星期三：四点 五十六分。例例 3-1 确定工字形截面梁的剪流分布确定工字形截面梁的剪流分布解：解：1. 翼缘剪流计算翼缘剪流计算 zzISFq)(Sf zzIhFhIF22SS 2. 腹板剪流计算腹板剪流计算 221Sw422)(yhhbIFyqz zzIySFq)(Sw 2)(hbySz yhyh22121 第19页/共55页第二十页，编辑于星期三：四点 五十六分。3. 剪流方向判断剪流方向判断0d 0S MF0d1 F0d

10、2 F f 指向腹板指向腹板 w 与与 FS 同向同向第20页/共55页第二十一页，编辑于星期三：四点 五十六分。4. 剪流分布图剪流分布图zIhbhFq8)(41Smaxw, 下翼缘的剪流下翼缘的剪流均指向腹均指向腹板；板；上翼缘的剪流上翼缘的剪流 均背均背离腹板离腹板 腹板上的剪流与剪力腹板上的剪流与剪力 F FS S 同同向向 “视视”截面如管道，截面如管道， “视视”剪流如管流，连剪流如管流，连续流动；由续流动；由q qw w推及其他推及其他第21页/共55页第二十二页，编辑于星期三：四点 五十六分。解：解：1. 问题分析问题分析切应力分布对称于切应力分布对称于 y 轴，轴，A 处切应

11、力为零处切应力为零, ,等价于开口薄壁截面等价于开口薄壁截面例例 3-2 确定闭口薄壁圆截面梁的切应力分布确定闭口薄壁圆截面梁的切应力分布2. 切应力分析切应力分析 zzISF)()(S 第22页/共55页第二十三页，编辑于星期三：四点 五十六分。 zzISF)()(S AySzd)( sindcos)(0 2000 RRRSz 30RIz 0SsinRF 0SmaxRF 第23页/共55页第二十四页，编辑于星期三：四点 五十六分。第24页/共55页第二十五页，编辑于星期三：四点 五十六分。现象与问题要使梁仅弯不扭，横向载荷要使梁仅弯不扭，横向载荷 (F,q) 应满足何种条件？应满足何种条件？

12、点击点击画面画面剪心演示剪心演示第25页/共55页第二十六页，编辑于星期三：四点 五十六分。平面弯曲的外力条件 梁梁 z 轴发生平面弯曲轴发生平面弯曲zzyyISFsq)()(S Fsy位置位置： ez=? lyzyssqeFd)(S zlzzIsSe d)( 要使梁要使梁 z 轴发生平面弯曲轴发生平面弯曲, 外力外力 ( F, q ) 作用线作用线 y 轴，并距其轴，并距其 ez 处处根据合力矩定理：根据合力矩定理：第26页/共55页第二十七页，编辑于星期三：四点 五十六分。 梁梁 y 轴发生平面弯曲轴发生平面弯曲yyzzISFsq)()(S Fsz位置位置：ey=?根据合力矩定理根据合力矩

13、定理:ylyyIsSe d)( 要使梁要使梁 y 轴发生平面弯曲，外力轴发生平面弯曲，外力( F, q )作用线作用线 z 轴，并距其轴，并距其 ey 处处第27页/共55页第二十八页，编辑于星期三：四点 五十六分。 剪心定义剪心定义 剪心位置仅与截面的形状及尺寸有关，与外力无关，属于截面剪心位置仅与截面的形状及尺寸有关，与外力无关，属于截面几何性质几何性质剪心概念剪心概念zlzzIsSe d)( ylyyIsSe d)( 剪心性质剪心性质 当横向外力作用线通过剪心时，梁将当横向外力作用线通过剪心时，梁将只弯不扭只弯不扭，故剪心又称，故剪心又称弯心弯心剪力剪力 Fsy, Fsz 作用作用线的交

14、点线的交点E (ey, ez)第28页/共55页第二十九页，编辑于星期三：四点 五十六分。问题回顾问题回顾何以伴随扭转？何以伴随扭转？存在附加扭力偶矩存在附加扭力偶矩第29页/共55页第三十页，编辑于星期三：四点 五十六分。对称截面的剪心剪心位于对称轴上剪心位于对称轴上剪心与形心重合剪心与形心重合单对称截面单对称截面双对称截面双对称截面第30页/共55页第三十一页，编辑于星期三：四点 五十六分。槽形截面剪心槽形截面剪心 剪心剪心位于位于 z 轴轴zzyISFq)()(S 确定确定 ez设梁设梁绕绕 z 轴发生平面弯曲轴发生平面弯曲2132212 hbhIz 21ShIFzy 12612 bhh

15、 第31页/共55页第三十二页，编辑于星期三：四点 五十六分。 bqF01)d( )6(3121S1 bhhbFFy hFeFzy1S 12163 bhbez 根据合力矩定理：根据合力矩定理：zyIhFq2)(1S yzFhFeS1 第32页/共55页第三十三页，编辑于星期三：四点 五十六分。剪心剪心位于位于z 轴，轴， ez=？zzyISFq)()(S 000dcos)(RRS230 RIz sin30R 圆弧形薄壁截面剪心0Ssin2)(RFqy 0 00Sd)( RqReFzy40Rez 40SRFy 第33页/共55页第三十四页，编辑于星期三：四点 五十六分。第34页/共55页第三十五

16、页，编辑于星期三：四点 五十六分。复合梁由两种或两种以上材料所由两种或两种以上材料所构成的整体梁构成的整体梁复合梁复合梁第35页/共55页第三十六页，编辑于星期三：四点 五十六分。 y 111 yEE 复合梁弯曲基本方程平面假设与单向受力假设成立平面假设与单向受力假设成立 yEE222 z 轴位于中性轴轴位于中性轴平面假设平面假设中性层中性层( (轴轴) )第36页/共55页第三十七页，编辑于星期三：四点 五十六分。0dd212211 AAAA MAyAyAA 212211dd 确定中性轴位置确定中性轴位置确定中性层曲率确定中性层曲率I1 ,I2截面截面A1, A1对中性轴对中性轴 z 的惯性

17、矩的惯性矩0dd212211 AAAyEAyE021 nSS式中：式中：n=E2 / E1弹性模量比弹性模量比zIEMnIIEM1211)(1 第37页/共55页第三十八页，编辑于星期三：四点 五十六分。221111IEIEyME 221122IEIEyME 正应变沿截面高度线性分布，但正应力分布出现非连续，呈现正应变沿截面高度线性分布，但正应力分布出现非连续，呈现分区线性分布分区线性分布弯曲正应力公式弯曲正应力公式zIMyn 2 zIMy 1 或写作或写作第38页/共55页第三十九页，编辑于星期三：四点 五十六分。21eqnSSS,z 中性轴通过等效截面的形心中性轴通过等效截面的形心 C截面

18、转换 静矩等效静矩等效 惯性矩等效惯性矩等效z, zInIII 21eq 当当 n = E2/E1 时，时，将截面将截面 2 的的横向尺寸横向尺寸乘以乘以 n，得，得 “等效截面等效截面”结论：通过等效截面确定结论：通过等效截面确定中性轴位置中性轴位置与与弯曲刚度弯曲刚度0 eq, zS由由第39页/共55页第四十页，编辑于星期三：四点 五十六分。 计算弹性模量比计算弹性模量比 n 画等效截面图画等效截面图 由等效截面的形心，确定中性轴位置由等效截面的形心，确定中性轴位置 计算弯曲正应力计算弯曲正应力zI 按等效截面计算惯性矩按等效截面计算惯性矩复合梁弯曲应力分析计算步骤 zIMyn 2 zI

19、My 1 第40页/共55页第四十一页，编辑于星期三：四点 五十六分。例例 5-1 图示截面复合梁，图示截面复合梁，M=30kN.m，Ew=10GPa，Es=200GPa，求木与钢横截求木与钢横截面上的弯曲正应力面上的弯曲正应力解解： 1. 模量比计算模量比计算20120010sw EEn选钢为基本材料选钢为基本材料第41页/共55页第四十二页，编辑于星期三：四点 五十六分。2. 等效截面几何性质等效截面几何性质m 1830.y 45m 10392 .IzzIMy1maxs, zIynM maxw, 3. 横截面上的应力横截面上的应力MPa 796maxs,. zIyhM)-( MPa 511

20、. 第42页/共55页第四十三页，编辑于星期三：四点 五十六分。第43页/共55页第四十四页，编辑于星期三：四点 五十六分。未变形时轴线即为曲线的杆件未变形时轴线即为曲线的杆件曲杆曲杆 以弯曲为主要变形的曲杆以弯曲为主要变形的曲杆曲梁曲梁曲梁第44页/共55页第四十五页，编辑于星期三：四点 五十六分。 分析原理与方法分析原理与方法 应力分布特点应力分布特点 中性轴不通过横截面形心中性轴不通过横截面形心 沿截面高度沿截面高度按双曲线规律分布按双曲线规律分布 横截面内、外侧边缘处的正应力最大横截面内、外侧边缘处的正应力最大第45页/共55页第四十六页，编辑于星期三：四点 五十六分。zSMy AAA

21、r d 应力计算应力计算 Sz截面对中性轴截面对中性轴 z 的静矩的静矩AeSz 积分计算查阅表积分计算查阅表10-1 中性层曲率半径中性层曲率半径:rRe yr 第46页/共55页第四十七页，编辑于星期三：四点 五十六分。大曲率梁小曲率梁小曲率梁小曲率梁应力小曲率梁应力zIMy 大、小曲率梁大、小曲率梁的曲梁的曲梁 10 c/R 的曲梁的曲梁 10 c/R 正应力沿截面高度线性分布正应力沿截面高度线性分布 中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心可近似认为：可近似认为：第47页/共55页第四十八页，编辑于星期三：四点 五十六分。第48页/共55页第四十九页，编辑于星期三：四点 五十六分。 AA0

22、d 中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心(e) )sincos( yzE /2 中性轴与主形心轴中性轴与主形心轴 z重合重合zzEIM 1zzIyM- (b) 0d AA (c) 0d AAz (d) d AzMAy (a) E (a)(b)(e)(c)(f)(d)(f) Ey 0yzI 第49页/共55页第五十页，编辑于星期三：四点 五十六分。 FxssFxd)d()( , 0 xFssdd)(1)( zzzIMSAIMyAF)(dd zzISxMss)(dd)(1)( )()()(SsISFszz Iz- 整个截面对整个截面对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩Sz-截面截面 对对 z 轴的静矩轴的

23、静矩第50页/共55页第五十一页，编辑于星期三：四点 五十六分。试验表明：试验表明：平面假设平面假设与与单向受力假设单向受力假设成立成立1）几何方面）几何方面平面假设平面假设应变呈平面分布应变呈平面分布令令aybzc 2）物理方面）物理方面pE当当时时，yz 第51页/共55页第五十二页，编辑于星期三：四点 五十六分。0AdA 0AAAydAzdAdA 0 zAyAy dAMz dAM zyzzyzyyIIMIIM yzAIyzdA 面积面积A对对y, z轴的轴的惯性积惯性积22,zyyyzyzzyzyzyzyzyzM IM IM IM II III II 第52页/共55页第五十三页，编辑于

24、星期三：四点 五十六分。22zyyyzyzzyzyzyzyzyzM IM IM IM IyzI III II 中性轴方位中性轴方位设中性轴与设中性轴与+y轴夹角为轴夹角为则中性轴过形心，且则中性轴过形心，且tanzyyyzyzzyzM IM IM IM I 第53页/共55页第五十四页，编辑于星期三：四点 五十六分。22zyyyzyzzyzyzyzyzyzM IM IM IM IyzI III II 中性轴方位中性轴方位设中性轴与设中性轴与+y轴夹角为轴夹角为则中性轴过形心，且则中性轴过形心，且tanzyyyzyzzyzM IM IM IM I 第54页/共55页第五十五页，编辑于星期三：四点 五十六分。