平面问题学习教案

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1、平面平面(pngmin)问题问题第一页，共112页。l平面问题是在一个平面域内的求解(qi ji)问题，但并非数学上的二维问题。l弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。第1页/共112页第二页，共112页。1. 平面应力(yngl)问题(1) 几何(j h)特征xyyztba 一个方向的尺寸(ch cun)比另两个方向的尺寸(ch cun)小得多。btat , 等厚薄平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2) 受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。第2页/共112页第三页，共112页。xyyztba(3) 应力(yngl)特征如图选取(xun

2、q)坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。由于(yuy)板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。0z0zx可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有0zy0yzzy0 xzzx结论：平面应力问题只有三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。第3页/共112页第四页，共112页。2. 平面(pngmin)应变问题(1) 几何(j h)特征水坝滚柱厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另两个(lin )方向的尺寸大得多，且沿长度方

3、向几何形状和尺寸不变化。 近似认为无限长(2) 外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。 约束 沿长度 z 方向不变化。(3) 变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。 设 z方向为无限长，则, u, x, x沿 z 方向都不变化，仅为 x，y 的函数。任一横截面均可视为对称面第4页/共112页第五页，共112页。水坝因为(yn wi)任一横截面均可视为对称面，则有0w所有(suyu)各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 平面(pngmin)位移问题0z0yzzy0 xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy 平

4、面应变问题注：(1)平面应变问题中0z但是，0z)(yxz(2)平面应变问题中应力分量：)0(,zyzxxyzyx 仅为 x y 的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。第5页/共112页第六页，共112页。 如图所示三种情形，是否都属平面问题(wnt)？是平面应力问题(wnt)还是平面应变问题(wnt)？平面(pngmin)应力问题平面应变(yngbin)问题非平面问题第6页/共112页第七页，共112页。3. 平面(pngmin)问题的求解问题(wnt)：已知：外力(wil)（体力、面力）、边界条件，求：xyyx,xyyx,vu, 仅为 x y 的函

5、数建立平面应力（或应变）条件下的基本方程：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件： 平衡微分方程 几何方程 物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；第7页/共112页第八页，共112页。5-2 平面问题的基本方程和边界条件空间问题的平衡(pnghng)微分方程 （纳维叶方程）1. 平衡(pnghng)微分方程第8页/共112页第九页，共112页。对平面(pngmin)应力问题0z0zx0zy000yxxzxxyyzyyzxzzXxyzYxyzZxyz00YyxXyxyxyyxx对平面应变(yn

6、gbin)问题)0(,zyzxxyzyx 仅为 x y 的函数(hnsh)。000yxxzxxyyzyyzxzzXxyzYxyzZxyz00YyxXyxyxyyxx第9页/共112页第十页，共112页。平面(pngmin)问题的平衡微分方程：00YyxXyxyxyyxx说明(shumng)：（1）两个(lin )平衡微分方程，三个未知量：yxxyyx, 超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。第

7、10页/共112页第十一页，共112页。2.几何(j h)方程xyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz 平面(pngmin)应变0 xzyzz yuxvyvxuxyyx平面(pngmin)应力yuxvyvxuxyyx第11页/共112页第十二页，共112页。0z0z 由 zwz ),(zyxhw 有 0zuxwxz 0zvywyz 对薄板，可认为上两式近似为零，故平面应力(yngl)问题的解为近似解。第12页/共112页第十三页，共112页。3.物理(wl)方程1. 各向同性弹性体的物理(wl)方程)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG

8、1zxzxG1其中(qzhng)：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为泊松比。)1 (2EG(应力与应变的关系)第13页/共112页第十四页，共112页。（1）平面应力问题(wnt)的物理方程)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1由于(yuy)平面应力问题中)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2 平面应力问题的物理(wl)方程注：(1) 0z)(yxzE(2) 物理方程的另一形式)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (20zxyzz第14页/共112页第十五页，共112页。（2）平面应变(yngbin)问题的物理方程由于平面应

9、变(yngbin)问题中)1(12yxxExyxyE)1 (2 平面应变问题(wnt)的物理方程注：(2) 平面应变问题 物理方程的另一形式：)1(12xyyE由式（2-13）第三式，得)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1（2-13）)(yxz0zxyzz(1) 平面应变问题中0z，但0z)(yxz第15页/共112页第十六页，共112页。（3）两类平面问题(wnt)物理方程的转换：)1(12yxxExyxyE)1 (2 平面应变(yngbin)问题的物理方程)1(12xyyE)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2 平面应力问题(wnt

10、)的物理方程(1)平面应力问题平面应变问题材料常数的转换为：1(2)平面应变问题平面应力问题材料常数的转换为：21E12)1 ()21 (EEE第16页/共112页第十七页，共112页。4.边界条件1. 弹性(tnxng)力学平面问题的基本方程（1）平衡(pnghng)方程：00YyxXyxyxyyxx（2）几何(j h)方程：yuxvyvxuxyyx（3）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2未知量数：vuxyyxxyyx,8个方程数：8个结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。第17页/共112页第十八页，共112页。2. 边界条件及其分类(fn li)边界条件：建

11、立边界上的物理量与内部(nib)物理量间的关系。xyOqPuSSuSSS是力学计算模型(mxng)建立的重要环节。边界分类（1）位移边界SuS（2）应力边界（3）混合边界 三类边界（1）位移边界条件位移分量已知的边界 位移边界 用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：vu,vvuuss 说明：,0时当 vu称为固定位移边界。第18页/共112页第十九页，共112页。YlmXmlsxysysxysx)()()()( 平面问题(wnt)的应力边界条件(2) 力的边界条件0 0;Z ; 0yzzxn ZnmlYnmlXnmlszsyzsxzsyz

12、sysxysxzsxysx)()()()()()()()()( 第19页/共112页第二十页，共112页。 边界面力分量的矢量方向指向坐标轴的正向(zhn xin)为正，反之为负l(2)边界面力为合力矩(l j)时，力矩(l j)正负号的确定xyMsx sxMdyy 3.力的边界条件的具体化第20页/共112页第二十一页，共112页。xyMs（+）右手法则(fz)，母指指向z轴的正向为正，反之为负xyMs（-）xyMs（+）Ms（-）xy第21页/共112页第二十二页，共112页。例1如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1), 0 x00ssvu0, 0 xvyu(2), ax 0, 1

13、mlYlmXmlsxysysxysx)()()()(0, 0sxysx(3), hy1, 0mlqsxysysxysx0) 1(0) 1(00, 0sxysy(4), hy1, 0ml00) 1(0) 1(0sxysysxysx0,sxysyq说明(shumng)：x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能(zh nn)求出结果：. 0, 0vu0, 0YXqYX , 00, 0YX第22页/共112页第二十三页，共112页。例2如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y = 0）：1, 0ml0)(, 0plxxpYX代入边界条件公式(gngsh)，有0)sin

14、(cos0cos)sin(yxyxyx00)(plxxpyy00yxy(2)BC段（x = l）：0, 1ml0|, 0|lxlxvu0, 0lxlxxvyu(3)AC段（y =x tan ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm)(0) 1(0) 1(0 xpyxyxyxN第23页/共112页第二十四页，共112页。例3图示水坝(shub)，试写出其边界条件。左侧(zu c)面：sin,cosmlsinyY cosyX 由应力(yngl)边界条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(sin)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxy

15、x右侧面：sin,cosmltanyxtanyx 0YX0cossinxyyx0sincosxyx第24页/共112页第二十五页，共112页。例4图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分(b fen)的尖点A处无应力存在。解： 平面应力问题，在 AC、AB 边界(binji)上无面力作用。即0YXAB 边界(binji)：111sin,cosml由应力边界条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(0cossin0sincos1111xyyxyx（1）AC 边界：12122sincoscosml代入应力边界条件公式，有0cossin0sincos1111xyyxy

16、x（2）A 点同处于 AB 和 AC 的边界，满足式（1）和（2），解得0 xyyx A 点处无应力作用第25页/共112页第二十六页，共112页。例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示构件(gujin)，试写出其边界条件。例6第26页/共112页第二十七页，共112页。例5图示楔形体，试写出其边界条件。0YXsin)90cos(lYlmXmlsxysysxysx)()()()(cos)180cos(m上侧：0cos)(sin)(0cos)(sin)(sysxysxysx下侧：, 0X0l1mqYqsysxysxysx) 1()(0)(0) 1()(0)(0)(sxyqsy)(第27页/共11

17、2页第二十八页，共112页。图示构件(gujin)，试写出其应力边界条件。例6上侧：, qX 0l1m0Y0) 1()(0)() 1()(0)(sysxysxysxqqsxy)(0)(syYlmXmlsxysysxysx)()()()(, 0X,sin)90cos(lcosm下侧：NpYpsysxysxysxcos)(sin()(0cos)()sin()(第28页/共112页第二十九页，共112页。（3）混合(hnh)边界条件(1)物体上的一部(y b)分边界为位移边界，另一部(y b)为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中(qzhng)一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：图(a

18、)：0Ysxy 位移边界条件 应力边界条件图(b)：0sx0 uus0 vvs 位移边界条件 应力边界条件第29页/共112页第三十页，共112页。第30页/共112页第三十一页，共112页。1.弹性力学问题的求解(qi ji)方法（1）按位移(wiy)求解（位移(wiy)法、刚度法）以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力(yngl)与形变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。（3）混合求解以部分位移分量 和

19、部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。第31页/共112页第三十二页，共112页。2. 位移求解平面问题及基本(jbn)方程（1）平衡(pnghng)方程：021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（1）（2）边界条件：位移(wiy)边界条件：vvuuss,（2）应力边界条件：YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122（3）说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。21E1E第32页/共112页第三十三页，共112页。按应力求

20、解平面(pngmin)问题的未知函数：平衡(pnghng)微分方程：),(),(),(yxyxyxxyyx0Yyxyyx0Xyxxyx2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从形变、形变与应力的关系建立补充方程。第33页/共112页第三十四页，共112页。NoImageyxxyxyyx22222NoImageNoImageNoImagexyyx,1）变形协调(xitio)方程（相容方程）将几何(j h)方程：2322yxuyx第34页/共112页第三十五页，共112页。（1）平面应力情形2) 变形协调方程(fngchng)的应力表示将物理(wl)方程yxxyxyyx22222y

21、xxyxyxyyx 22222)1 (2)()()(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（a）代入第35页/共112页第三十六页，共112页。利用平衡(pnghng)方程0Yyxyyx0XyxxyxxXxxyxxy222XxyxxyYyxyxyyYxXyxyxyxxy222222将两式相加：yYyyxyxy222（b）将（a）式化简：第36页/共112页第三十七页，共112页。将 (b) 代入 (a) ，得：将 上式整理(zhngl)得：yYxXyxxyyxxyyx22222222)1 ()()(应力(yngl)表示的相容方程（平面(pngmin)应力情形）yYxXxyyx)1 ()(

22、2222 第37页/共112页第三十八页，共112页。（2）平面应变(yngbin)情形将 上式中的泊松比代为： ， 得1应力(yngl)表示的相容方程（平面(pngmin)应变情形）当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即yYxXyxyx11)(22220)(2222yxyx第38页/共112页第三十九页，共112页。3) 按应力求解平面问题(wnt)的基本方程（1）平衡(pnghng)方程0Yyxyyx0Xyxxyx（2）相容(xin rn)方程（形变协调方程）yYxXxyyx)1 ()(2222（3）边界条件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（平面应力情形

23、）说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。第39页/共112页第四十页，共112页。例下面给出平面应力问题(wnt)（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx（a）（b）第40页/共112页第四十一页，共112页。解（1）将式（a）0Yyxyyx0Xyxxyx03322xyxy033 yy 满足(mnz)将式（a）代

24、入相容(xin rn)方程：0)(2222yxyx)4123(422yyxyx)(2222yyyx0333222yxy式（a）不是(b shi)一组可能的应力场。代入平衡方程：;,41,233422xyyyxxyyx第41页/共112页第四十二页，共112页。（2）解将式（b）yxxyxyyx2222202222222CCyxxyxyyxCyx222022xyCyxxy22 式（b）满足相容方程(fngchng)，（b）为可能的应变分量。代入应变表示的相容(xin rn)方程：;2,),(222CxyCyyxCxyyx第42页/共112页第四十三页，共112页。例图示矩形截面悬臂梁，在自由端受

25、集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。xyxy解材料力学(ci lio l xu)解答：0yxyIPyIMx2242yhIPIBQSxy式（a）满足平衡方程(fngchng)和相容方程(fngchng)？（a）式（a）是否(sh fu)满足边界条件？, yIPxx, yIPyxy, 0 xxy, 0yy0YX代入平衡微分方程：0Yyxyyx0Xyxxyx显然，平衡微分方程满足。00 yIPyIP0000第43页/共112页第四十四页，共112页。式（a）满足(mnz)相容方程。再验证，式（a）是否(s

26、h fu)满足边界条件？0, 022hyyxhyy 满足(mnz)00 xx满足Plydylxhhx22Pdyxhhxy022 Pdylxhhxy22022dylxhhx近似满足近似满足结论：式（a）为正确解0)(2222yxyx代入相容方程：02222xyIPyx0上、下侧边界：右侧边界：左侧边界：第44页/共112页第四十五页，共112页。常体力下问题(wnt)的基本方程：0Xyxxyx0Yyxyxy0)(2222yxyx边界条件、位移(wiy)单值条件。(a)(b)式(a)为非齐次方程(fngchng)，其解：全解 = 齐次方程通解1）平衡微分方程解的形式(1) 特解常体力下特解形式：+

27、非齐次方程的特解。(1); 0 xy(2); 0,xyyxYyXx;, 0, 0YxXyxyyx(3),YyXxYyXxyx(2) 通解式(a) 的齐次方程：(c)(d)的通解。00yxyxyxyxyx4.按应力函数求解平面问题应力函数解法第45页/共112页第四十六页，共112页。将式(d)第一(dy)式改写为)(xyxyxyyx由微分方程理论，必存在(cnzi)一函数 A(x,y)，使得yyxAx),(e)yyxBxyxA),(),(f)同理，将式(d)第二(d r)式改写为)(yxyxyxxyxyxAxy),(yyxBxy),(g)(h)比较式( f )与(h)，有xyxBy),(也必存

28、在一函数 B(x,y)，使得(2) 通解式(a) 的齐次方程：(d)的通解。00yxyxyxyxyx由微分方程理论，必存在一函数 (x,y)，使得第46页/共112页第四十七页，共112页。xyxyxB),(),(yyxyxA),(),(i)(j)将式 (i)、(j) 代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得通解(tngji)yxxy2,22yx,22xy(k)第47页/共112页第四十八页，共112页。(2) 通解式(a) 的齐次方程：(d)的通解：0yxyxy0yxxyxyxxy2,22yx,22xy(k) 对应于平衡(pnghng)微分方程的齐次方程通解。(3) 全解取特解为：; 0,x

29、yyxYyXx则其全解为：Yyxy22Xxyx22yxxy2(2-26) 常体力下平衡(pnghng)方程（a）的全解。 由式（2-26）看：不管(x,y)是什么(shn me)函数，都能满足平衡方程。(x,y) 平面问题的应力函数 Airy 应力函数第48页/共112页第四十九页，共112页。2）相容(xin rn)方程的应力函数表示Yyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)将式（2-26）代入常体力下的相容(xin rn)方程：0)(2222yxyx有：022222222yyxx注意(zh y)到体力 X、 Y 为常量，有022222222YyyXxyxx将上式展开，有02442244

30、4yyxx(2-27) 给出了应力函数满足的条件。第49页/共112页第五十页，共112页。式（2-27）可简记(jin j)为：04或：0)(22式中：22422222yx442244442yyxx满足方程(2-27)的函数(hnsh)(x,y) 称为重调和函数(hnsh)（或双调和函数(hnsh)）应力函数应为一重调和函数第50页/共112页第五十一页，共112页。按应力求解平面问题(wnt)（X = 常量、Y = 常量）的归结为：（1）024422444yyxx(2-27)（2）xyyx,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：),(yx先由方程（2-27）求出应力函数：),(yxYyx

31、y22Xxyx22yxxy2(2-26)（3）再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。xyyx,04yxxy222yx22xy(2-28)（无体力(tl)情形）第51页/共112页第五十二页，共112页。3） 应力函数 求解方法),(yx（1） 逆解法(ji f)（2） 半逆解法（1）根据(gnj)问题的条件（几何(j h)形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式；（2） 主要适用于简单边界条件的问题。然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待定系数）；xyyx,（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数(x,y)

32、对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什么问题。（2） 半逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量 的某种函数形式 ；xyyx,（2）根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求出(x,y) 的形式；xyyx,04（3）最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。xyyx, 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。第52页/共112页第五十三页，共112页。第53页/共112页第五十四页，共112页。一、 多项式解答(jid)适用性：由一些直线边界(binji)构成的弹性体。目的(md)：考察一些简单多项式函数

33、作为应力函数(x,y) ，能解决什么样的力学问题。逆解法第54页/共112页第五十五页，共112页。（3）对应的应力(yngl)分量：02yxxyXxyx22XxXx 0YyYy 0Yyxy22若体力(tl)：X = Y =0，则有：0 xyyxcbyaxyx),(其中(qzhng)： a、b、c 为待定系数。检验(x,y) 是否满足双调和方程：0244224444yyxx显然(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）1. 一次多项式（2）结论1：（1）（2）一次多项式对应于无体力和无应力状态；在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。第55页/共112页第五十六

34、页，共112页。2. 二次多项式（1）22cybxyax其中(qzhng)： a、b、c 为待定系数。(假定(jidng)：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0)检验(x,y) 是否满足(mnz)双调和方程，显然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作为应力函数 )（3）由式（2-26）计算应力分量：byxxy2cyx222axy222xy2c2c2a2abxy结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。第56页/共112页第五十七页，共112页。xy0202yxy0试求图示板的应力(yngl)函数。例：xy00 xyyx0),(202),(yyx第57页/共112页第五

35、十八页，共112页。3. 三次(sn c)多项式（1）3223dycxyybxax其中(qzhng): a、b、c 、d 为待定系数。检验(x,y) 是否(sh fu)满足双调和方程，显然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作为应力函数 )(假定：X =Y = 0)（3）由式（2-26）计算应力分量：cybxyxxy222dycxyx6222axbyxy6222结论3：三次多项式对应于线性应力分布。第58页/共112页第五十九页，共112页。讨论(toln)：,3dy取)0(YX可算得：0 xydyx60yxy12h2hll图示梁对应(duyng)的边界条件：:2hy0, 0

36、xyy: lx0,6xyxdydh3mindh3maxMM3dy可见(kjin)： 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。第59页/共112页第六十页，共112页。220hhxdy(1)由梁端部的边界条件：0622hhdydy(2)Mdyyhhx222226hhMdydyMhd32)2(3hMd 或yIMxyhMx312yhMx)12/(3可见：此结果(ji gu)与材力中结果(ji gu)相同，说明(shumng)材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。常数(chngsh) d 与弯矩 M 的关系：第60页/共112页第六十一页，共112页。0 xydyx60yxy12h2hllMMyIMxdh3

37、mindh3max说明(shumng)：(1) 组成梁端力偶(l u) M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它(qt)形式分布，如：则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。第61页/共112页第六十二页，共112页。4. 四次多项式（1）432234eydxyycxybxax检验(x,y) 是否满足(mnz)双调和方程（2）cyx8244ax2444ey2444代入：04得033eca024824eca432234eydxyycxybxax可见，对于(duy)函数：其待定系

38、数，须满足下述关系才能作为应力(yngl)函数：033eca第62页/共112页第六十三页，共112页。（3）应力(yngl)分量：yxxy222343dycxybx22yx22xy221262eydxycx221262axbxycy 应力(yngl)分量为 x、y 的二次函数。（4）特例(tl)：44eyax 212eyx0 xy212axy（须满足：a + e =0）第63页/共112页第六十四页，共112页。总结(zngji)：（多项式应力函数 的性质） （1） 多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 。04多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 。04多项

39、式次数 n 越高，则系数(xsh)间需满足的条件越多。（2） 一次多项式，对应(duyng)于无体力和无应力状态；任意应力函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应(duyng)力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（3） （4） 用多项式构造应力函数(x,y) 的方法 逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。按应力求解平面问题，其基本未知量为： ，本节说明如何由 求出形变分量、位移分量？xyyx,xyyx,问题：第64页/共112页第六十五页，共112页。二、 位移(wiy)分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？

40、xyyx,xyl1hMM1. 形变分量(fn ling)与位移分量(fn ling)由前节可知，其应力(yngl)分量为：12/3hMyyIMx0 xy0y平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量)(1xyyE)(1yxxEGxyxy(a)将式（a）代入得：IMyEyIMyEx10 xy(b)（2）位移分量将式（b）代入几何方程得：0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)第65页/共112页第六十六页，共112页。（2）位移分量0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)将式（c）前两式积分(jfn)，得：)(222xfyEIMv)(1yfxyEIMu(d)将式 (d) 代

41、入 (c) 中第三(d sn)式，得：)(),(21xfyf式中：为待定函数。)()(12yfxfxEIM整理(zhngl)得：0)()(21xfyfxEIM（仅为 x 的函数）（仅为 y 的函数）要使上式成立，须有)(2xfxEIM)(1yf(e)式中：为常数。积分上式，得01)(uyyf022)(vxxEIMxf将上式代入式（d），得0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)第66页/共112页第六十七页，共112页。（1）(f)讨论(toln)：式中：u0、v0、 由位移(wiy)边界条件确定。常数00 xEIMyuxx当 x = x0 =常数(chngsh)xEIMyu（

42、2）位移分量0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMvxyl1hMM u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。常数00 xEIMyuxxyu0|xx说明： 同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面 材力中“平面保持平面”的假设成立。第67页/共112页第六十八页，共112页。（2）常数EIMxv22102222vxxEIMyEIMv将下式中的第二式对 x 求二阶导数：0uyxyEIMu说明(shumng)：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即EIMxv221 材料力学中挠曲线(qxin)微分方程第68页/共112页第六十九页，共112页。2. 位移(wiy)边界条件的利

43、用（1）两端(lin dun)简支02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)其边界条件：000yxu000yxv将其代入(f)式，有0202vlEIMl00u00vEIMl2将其代回(f)式，有ylxEIMu)2( 22)(2yEIMxxlEIMv(3-3)梁的挠曲线(qxin)方程：xxlEIMvy)(20 与材力中结果相同00ylxv第69页/共112页第七十页，共112页。（2）悬臂梁02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)边界条件0lxv0lxu22hyhh/2h/2由式（f）可知，此边界条件无法(wf)满足。边界条件改写(gixi)为：0, 000ylx

44、ylxvu（中点(zhn din)不动）00ylxxv（轴线在端部不转动）代入式（f），有00u0202vllEIM 0lEIM可求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv第70页/共112页第七十一页，共112页。yxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv(3-4)h/2h/2挠曲线(qxin)方程：20)(2|xlEIMvy与材料力学(ci lio l xu)中结果相同说明(shumng)：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxy（b）再将应变分量代入几何方程xvyuxyxuxyvy（c）

45、再利用位移边界条件，确定常数。第71页/共112页第七十二页，共112页。（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、作相应(xingyng)替换。（3）若取固定(gdng)端边界条件为：h/2h/20, 000ylxylxvu（中点(zhn din)不动）00ylxyu（中点处竖向线段转角为零）00u得到：0202vlEIMl0EIMl02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu求得：00uEIMlv220EIMl此结果与前面情形相同。第72页/共112页第七十三页，共112页。三、 简支梁受均布载荷(zi h)要点(yodin) 用半逆解法(ji f)求解梁、长板类平面问题。xyllql

46、ql1yzh/2h/2q1. 应力函数的确定(1)分析：y 主要由弯矩引起；x 主要由剪力引起；xy由 q 引起（挤压应力）。又 q =常数，图示坐标系和几何对称，不随 x 变化。y推得：)(yfy(2)由应力分量表达式确定应力函数 的形式：),(yx)(22yfxy积分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函数第73页/共112页第七十四页，共112页。xyllqlql1yzh/2h/2q)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函数(3)由 确

47、定：04)(),(),(21yfyfyf)(22)2(224yfyx044x)()()(2)4(2)4(1)4(244yfyxfyfxy代入相容(xin rn)方程：444224442yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx第74页/共112页第七十五页，共112页。0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfxxyllqlql1yzh/2h/2q方程(fngchng)的特点：关于 x 的二次方程，且要求(yoqi) l x l 内方程均成立。由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由(zyu)项同时为零。即：0)()4

48、(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf对前两个方程积分：GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)此处略去了f1(y)中的常数项对第三个方程得：)(2)()2()4(2yfyfBAy412积分得：23452610)(KyHyyByAyf(d)第75页/共112页第七十六页，共112页。GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)23452610)(KyHyyByAyf(d)xyllqlql1yzh/2h/2q)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)将(c) (d) 代入 (b) ，有)()(223232GyFyEyxD

49、CyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)此处略去(l q)了f2(y)中的一次项和常数项式中含有(hn yu)9个待定常数。第76页/共112页第七十七页，共112页。)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)2. 应力(yngl)分量的确定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)3. 对称条件(tiojin)与边界条件(tiojin)的应用第77页/共112页第七十八页，共112页。22yxKHyByAyF

50、EyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)3. 对称条件与边界条件的应用（1）对称(duchn)条件的应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由 q 对称(duchn)、几何对称(duchn)：yx, x 的偶函数xy x 的奇函数由此得：026 FEy0232GFyEy要使上式对任意(rny)的 y 成立，须有：0GFE第78页/共112页第七十九页，共112页。xyllqlql1yzh/2h/2qKHyByAyBAyxx2622)26(2232DCyByAyy23)23(2CByAyxxy

51、（2）边界条件的应用(yngyng)：(a) 上下(shngxi)边界（主要边界）：; 0,2xyhy;,2qhyy; 0,2yhy024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA0432CBhhA由此解得：,23hqA, 0B2qDhqC23代入应力(yngl)公式第79页/共112页第八十页，共112页。xyllqlql1yzh/2h/2qKHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )(b) 左右(zuyu)边界（次要边界）：（由于对称，只考虑(kol)右边界即可。）, lx 未知22hyh

52、lxxy022hyhlxx 难以(nny)满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：轴力 N = 0；弯矩 M = 0；剪力 Q = ql；qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxx第80页/共112页第八十一页，共112页。KHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )0K02Kh0)2646(223323hhdyKHyyhqylhqqllyhqyhqlhy2232323620)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(22

53、23可见(kjin)，这一条件自动满足。qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxx第81页/共112页第八十二页，共112页。xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)截面(jimin)上的应力分布：xyxy)()(103)(3222qxlhq三次抛物线q22112hyhyqy22346yhxhqxy4. 与材料力学结果(ji gu)比较第82页/共112页第八十三页，共112页。xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)22112hyhyqy22346yhxhqxy4

54、. 与材料力学结果比较材力中几个(j )参数：截面(jimin)宽：b=1 ,3121hI截面(jimin)惯矩：静矩：2822yhS弯矩：)(222xlqM剪力：qxQ将其代入式 ( p ) ，有53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy（3-6）第83页/共112页第八十四页，共112页。xyllqlql1yzh/2h/2q53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy（3-6）比较(bjio)，得：（1）xxy第一项与材力结果(ji gu)相同，为主要项。第二项为修正(xizhng)项。当 h / l1，该项误差很小，可略；当 h / l较大时，须修正

55、(xizhng)。（2）y为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。（3）与材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右边界存在水平面力：lxxX53422hyhyq说明式（3-6）在两端不适用。第84页/共112页第八十五页，共112页。解题步骤(bzhu)小结：（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（ ）的变化形式。xyyx,由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。xyyx,),(yx),(yx（4）（5）将具有待定函数的应力函数 代入相容方程： 确定 中的待定函数形式。),(yx04)

56、,(yx由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力分量 。xyyx,),(yxxyyx,由边界条件确定 中的待定常数。xyyx,用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性(tnxng)力学平面问题的基本步骤：第85页/共112页第八十六页，共112页。应力(yngl)函数法求解平面问题的基本步骤：（1）024422444yyxx(2-27)（2）xyyx,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：),(yx先由方程（2-27）求出应力函数：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)（3）再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。xyyx,04求解(qi ji)方法：逆解法（1）

57、根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式；（2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待定系数）；xyyx,（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什么问题。第86页/共112页第八十七页，共112页。 半逆解法的数学基础：数理方程中分离(fnl)变量法。（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量 的某种函数形式 ；xyyx,（2）根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求出(x,y) 的形式；xyy

58、x,04（3）最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。xyyx,半逆解法位移分量(fn ling)求解：（1）将已求得的应力分量（2）（3）xyyx,代入物理方程，求得应变分量xyyx,将应变分量xyyx,代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。第87页/共112页第八十八页，共112页。附：应力(yngl)函数确定的“材料力学方法”要点(yodin)：利用材料力学中应力(yngl)与梁内力的关系，假设某个应力(yngl)分量的函数形式。适用性：直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。应力函数常可表示为：)(

59、)(),(ygxfyx设法由边界面力先确定 其中之一，然后将其代入 确定另外一个函数。)()(ygxf或04材力中，应力分量与梁内力的关系为：)()(2yfxQxy)()(1yfxMx式中：M(x) 弯矩方程；Q(x) 剪力方程。第88页/共112页第八十九页，共112页。当有横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力 ，y同时，横向分布力q(x)的挤压作用时，对轴向应力 也产生影响。x应力分量(fn ling)与梁内力的关系可表示为：)()()()(21yfxqyfxMx)()(3yfxqy)()(4yfxQxy考虑挤压应力影响导致然后(rnhu)由：xyxy222xy22yx04确定

60、应力函数 的具体形式。第89页/共112页第九十页，共112页。例：悬臂梁，厚度为单位1，=常数。求：应力函数 及梁内应力。xyObl解：(1) 应力(yngl)函数的确定xQM取任意(rny)截面，其内力如图：bxQ)(0)()()(xlbbxlxM取 作为分析对象，可假设：xy)()()(ybfyfxQxy（a） f(y)为待定函数(hnsh)xy由 与应力函数 的关系，有：)(2ybfyx（b）对 x 积分一次，有：对 y 再积分一次，有：)()()(321xfyfybxf)()(0yfybxfy其中：dyyfyf)()(02dyyfyf)()(1（c）第90页/共112页第九十一页，共

61、112页。xyOblxQM)()()(321xfyfybxf（c）04由 确定待定函数：024422444yyxx0)()()()4(3)4(2)4(1xfyfybxf（d）要使上式对任意(rny)的x，y成立，有0)()()4(3)4(2xfyf0)()4(1yf（e）（f）由式（ e）求得CyByAyyf231)(（g）由式（ f）得)()4(3xf)()4(2yf（h）（i）积分(jfn)式（ h）和（i）得2232423)(xCxBxAxf2131412)(yCyByAyf（j）（k）第91页/共112页第九十二页，共112页。xyOblxQM)(223242xCxBxA)(23CyB

62、yAybx)(213141yCyByA( l )包含(bohn)9个待定常数，由边界条件确定。(2) 应力(yngl)分量的确定1121222612)26(CyByABAybxyx)23(22CByAybyxxy2222222612CxBxAxy( m )(3) 利用边界条件确定(qudng)常数第92页/共112页第九十三页，共112页。xyOblxQM1121222612)26(CyByABAybxyx)23(22CByAybyxxy2222222612CxBxAxy(3) 利用边界条件确定常数22, 0byxybyylxxylxx, 022, 0byxybyy( o )代入可确定(qud

63、ng)常数为：0222CBA0111CBABAbC1代入式（m）得第93页/共112页第九十四页，共112页。xyOblxQMxy0 x0yxy注：也可利用(lyng) M（x）= 0，考虑0)()(yfxMx进行(jnxng)分析。此时有：022yx)(1xfy)()(21xfxyf)(),(21xfxf为待定函数，由相容(xin rn)方程确定。第94页/共112页第九十五页，共112页。llqlql1yzh/2h/2qqxxQ)(剪力：可假设(jish)剪应力：)(yqxfxy)(yxfy0y)(yfy第95页/共112页第九十六页，共112页。四、 楔形体受重力和液体(yt)压力要点(

64、yodin)半逆解法(ji f)（因次或量纲分析法）ggxyO问题的提法：楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：g)m/N(3（水的容重）；自重作用：g)m/N(3（楔形体的容重）；求：楔形体应力分布规律 。 xyyx,1. 应力函数及应力分量(1) 分析：(a),gg,x 的量纲为：,gg)m/N(3 的形式应为：xgygxgygx,的线性组合。x 的量纲为：2N/m(b)由 推理得：22yx应为 x、y 的三次函数。应力函数可假设为：3223eycxyybxax第96页/共112页第九十七页，共112页。gggyxyO(2) 应力(yngl)分量3223eycxyybxax考虑到：X =

65、 0，Y = （常体力）gcybx22Xxyx22eycx62Yyxy22yxxy2gybyax26(a)显然，上述应力函数满足(mnz)相容方程。2. 边界条件的利用(lyng)(1) x=0 （应力边界）：gyxx000 xxygyey602 cy0c6ge代入式（a），则应力分量为：第97页/共112页第九十八页，共112页。gggyxyON2bxxy2gyxgybyaxy26(b)(2) （应力边界）： tanyx 0YX0tantanxyxxyml0tantanxxyxxmlcosl其中(qzhng)：sin将(b)代入，有0)tan2()(bymgyl0)2()(bxmgyl0)2

66、6()2(gybyaxmbxl0)2tan6()tan2(gybyaymbyl0)2tan6(tan2gbambl0tan2bmgl)2cos(m代入，可求得：第98页/共112页第九十九页，共112页。gggyxyObxxy2gyxgybyaxy26(b)3cot3cot6ggacot2gb 代入式（b），有：gyxyggxggy)cot()cot2cot(232cotgxyxxy(3-7)xyx)(y)( 李维（Levy）解答(jid)沿水平方向(fngxing)的应力分布与材力结果(ji gu)比较：xyxy 沿水平方向不变，在材力中无法求得。 沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果相同。 沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。第99页/共112页第一百页，共112页。gyxyggxggy)cot()cot2cot(232cotgxyxxy(3-7) 李维（Levy）解答gggyxyOxyx)(y)(沿水平方向的应力分布结果(ji gu)的适用性：（1）当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果(ji gu)误差较大。（2）假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝