2020高中数学 2.3.1双曲线的标准方程教学设计 新人教B版选修2-1

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1、关于人教B版选修2-1双曲线的标准方程的教学设计一 教案背景1.面向学生： 中学 小学 学科：数学2.课时：1二 教学目标 （一）知识与技能目标：1、使学生从发现、发展的角度理解和掌握双曲线的定义及标准方程. 2、在概念形成的过程中,培养学生发现问题、分析问题及归纳的逻辑思维能力.（二）过程与方法：1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力；2、通过对双曲线定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对双曲线标准方程的推导，提高学生的推理论证能力.（三）情感、态度与价值观：1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯；2、

2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心.三 教材分析和学生分析 在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而进一步培养学生的观察能力、演绎能力及推理等能力，学习类比、猜想、转化等数学.四 教学方法：类比、猜想、分析、归纳教学重点：双曲线的定义及标准方程.教学难点：双曲线标准方程的推导.五 教学过程（一）情境引入播放一首校园歌谣悲伤的双曲线，激发学生兴趣，调动学生积极性，带着好奇心进入本节课的学习.(二)复习椭圆的有关知识师：椭圆是怎样定义的呢？生：平面内与两定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个

3、定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.师：很好，椭圆的标准方程是怎样的？有几种情况？生：，.师：椭圆的标准方程中a,b,c的关系是什么？生：=忆旧迎新，导入新课.(三)双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1插入微视频取一条拉链，拉开它的一部分，在它的两边各取一个点，把它们固定在F1、 F2处，拉头的位置记为点M,使，拉动拉链，观察点M的运动轨迹，可以看出点M的运动轨迹是一条曲线.改变拉链的位置，重复以上操作，可以得到另外一条曲线，这两条曲线合起来就是一条双曲线.2设问问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请

4、学生回答，不能强调“在平面内”问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|MF2|问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|正确表示为|MF2|-|MF1|问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？请学生回答，应小于|F1F2|且大于零当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数|F1F2|时，无轨迹3定义在上述基础上，引导学生用文字语言概括双曲线的定义（培养学生的概括能力和表达能力）平面内与两定点F1、F2

5、的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记根据以上分析，思考：定义中需要注意什么？（由学生回答，教师强调补充）【练习】：已知A (0,-5),B(0,5),当a=3或a=5 时，P点的轨迹为 （ ）A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线 D. 双曲线一支或一条射线(四)双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？引起学生思考，多媒体给出椭圆的

6、标准方程的证明过程，让学生类比，自己动手推导双曲线的标准方程，然后小组合作交流，小组代表汇报展示交流的成果.（用实物投影仪展示）标准方程的推导：(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)建立直角坐标系设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P=M|MF1|-|MF2|=2a=M|MF1|-|MF2|=2a(3)代数方程(4)化简方程(先由学生独立思考，再小组合作交流，最后组代表出示讨论的

7、结果)将这个方程移项，两边平方得：化简，两边再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) (推导完全可以仿照椭圆方程的推导)由双曲线定义，2c2a 即ca，所以c2-a20设c2-a2=b2(b0)，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2这就是双曲线的标准方程思考：焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a0，b0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上(3)双曲线标准方程中a、b、

8、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2（五）归纳类比双曲线与椭圆的联系与区别椭圆双曲线定义标准方程焦点坐标a, b，c的关系(六) 例题与练习1求适合下列的双曲线的标准方程（1）两个焦点的坐标分别是(5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；（2）双曲线的一个焦点坐标是(0，6)，经过点A(5,6)第一问先由学生独立思考，然后学生口答.接着教师提出“若去掉绝对值”会怎么样？第二问学生板演，其他同学提出其他解法，若没有其他解法，教师可提示.【总结】求双曲线标准方程，一般包括定位和定量两大步骤.若不能定位，要分成两种情况.跟踪训练1（选） 已知双曲线

9、的焦点在x轴上，并且双曲线过点(4，2)和，求双曲线的标准方程.先由学生独立思考，小组合作交流，组代表展示结果.教师引导学生总结a,b,c中可知二求一，体现了方程的思想.2如果方程表示双曲线，求m的取值范围.跟踪训练2（选）方程 表示焦点在y轴双曲线时，求m的取值范围学生独立完成，投影仪展示学生结果.(七)课堂小结 知识方面：1定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹3图形(见图2-25)：4焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)5a、b、c的关系：c2=a2+b2思想方法方面：归纳类比，分类讨论，方程的思想（八)

10、当堂检测1、a=4，b=3 的双曲线的标准方程是_2、设双曲线上的点P到(5,0)的距离是15,则P到 (-5,0)的距离是 .3、如果方程 表示焦点在x轴上的双曲线，则m 的取值范围是 _ 五分钟时间，先由学生独立完成，同桌互批，当堂反馈.教师点评，第一题双曲线焦点位置在不能确定，分两种情况；第二题是易错题，两种情况，学生容易漏掉23那个答案，教师强调；第三题检测学生对双曲线标准方程形式的掌握情况.六 板书设计 投 影 区2.3.1 双曲线的标准方程一、 双曲线的定义 例1.（图） 关键词 二、标准方程（1）、焦点在X轴 （2）、焦点在Y轴七 教学设计本节课围绕“层层设问自主探索发现规律归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行优化组合，在教学过程中，学生通过观看微视频，动手实践，对照椭圆，总结出双曲线定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力. 同时在进行推导双曲线的标准方程的过程中，提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力. 在整节课中，教师作为引导者，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索，勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性，同时设置了不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程.增强了学生的自信心.