金融资产收益与风险的衡量

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1、单一资产收益与风险的衡量1、历史的收益与风险2、预期的收益与风险2-E(ri)ln方差：宀nX(L)2资产组合(Portfolio)收益与风险的衡量1、历史的收益与风险n收益率：rpt ritwiti3n n方差：二2八 、COVj WjWji壬jTn*町 +2送 covij wWj,*i =12-(协方差的项数)2资产间的协方差 :covij相关系数：厂空吓j2、预期的收益与风险亠n收益率：E(rp)7 E(ri)Wii#、八n n方差：厉p =送送 covij WjWj =送 时 +2covij wWj,*i =1 j=1n二2ii dn n (协方差的项数)2资产间的协方差 :covij

2、n八 k-E(ri)l|Lrj-E(rj)szi相关系数：厂空吓一）资产组合的数学基础1、方差和标准方差（1）单个资产 收益率的方差是一种衡量资产的各种可能收益率相对于期望收益率的分散程度的指 标，人们常用收益率的方差来衡量资产风险的大小。方差通常用b 2来表示其中：i P代表收益率 i R 发生的概率，i R 代表资产在第 i 中状态下产生的收益率， m 表示资产有可能产生 m 种不同的收益率， E（R）代表资产的期望收益率。可见，将概率乘以相应利差的平方，然后再加总，即可得到方差（方差也被称为均方差）。注意，如果收益率用百分率来表示，那么方差的单位则是 “百分率的平方”；如果收 益率用人民

3、币来表示，那么方差的单位则为 “人民币的平方”。对于这一点既难以表达， 又难以解释，所以，人们通常都将方差开算术平方根，即得到标准方差。（2）组合资产 一种资产的收益率的方差越大，那么这种资产的风险也越大 ，投资者所要求的风险 报酬也就越高。可见， 收益率的方差是一种衡量资产风险的指标 。当投资者仅仅持有一种 资产时，上述说法是正确的，但是，当投资者持有多种风险资产时，情况就有所不同了。 当投资者拥有某一资产组合时，衡量资产组合风险大小的指标就已不再是资产组合中单个 资产的方差，而是资产组合的方差。资产组合的方差，即资产组合的风险，不仅是组合中单个资产的方差的函数，而且还 是单个资产与组合中其

4、 他资产同动程度的函数。这里的同动程度是用来衡量两种资产是否一起随市场条件的变化而作同向运动的指 标。如果两种资产的收益率随市场条件的变化而同增同减，或者说随市场条件的变化而朝 同一个方向变化，那么我们就可以说这两种资产的同动程度很高，此时我们称这两种资产 是正相关的。可见，同动程度越高，两资产的正相关性也就越强， （正相关性越强，即说 明两资产的相关系数越接近 +1），反之亦然。如果一种资产的收益率升高，而另一种资产 的收益率下降，或者一种资产的收益率下降，而另一种资产的收益率升高，也就是说，随 着市场条件的变化，两种资产的收益率作反向运动，那么，我们就可以说两资产的同动程 度很低，此时，我

5、们称这两种资产是负相关的。可见，两资产的同动程度越低，他们的负 相关性也就越强。也就是说，如果两资产的负相关性越强（负相关性越强即说明两资产的 相关系数越接近 -1），那么随市场条件的变化两资产收益率越不可能朝同一个方向运动。 注意，这里的同动性（即同动程度）和相关性是有区别的。同动性和相关性均可用相 关系数来衡量。当相关系数p的绝对值p越接近1时，那么，两资产的相关性就越强， 其中当p = +1时，两资产完全正相关，当p = ?1时，两资产完全负相关，但不论是完全正相关还是完全负相关均表明两资产的相关性非常强。当 p 越接近 0 时，则两资产的相 关性越弱，其中，当 p = 0时，两资产零相

6、关，即两资产相互独立，彼此间无任何联系。 而对同动程度而言，情况就有所不同了。当 p 越接近 +1 时，两资产的同动程度则越强。当 p 越接近 -1 时，两资产的同动程度则越弱。可见，同动程度是用来衡量两资产的收益率是 否朝同一方向运动的指标，而相关性则是用来衡量两资产间相互关系大小的指标。 一般来说，如果证券组合中两资产同动程度越弱，那么，该证券组合的风险也就越小。 据分析，在市场上有这样的资产，它们各自的方差均很大，但是由它们构成的证券组合的 方差却很小，甚至为零。这说明该证券组合的风险很低，甚至为零。相对的，证券组合中各资产间的同动程度越高，证券组合的风险相对来说也就越大， 投资者所要求

7、的风险报酬也就越高。所以，投资者对证券组合所要求的风险报酬不仅是组 合中各单个资产自身方差的函数，而且还是各资产间同动程度的函数。我们可将上述讨论总结如下： 如果投资者仅持有一种资产，那么单个资产自身的方差便是风险的衡量指标，且 方差越大，风险越大，投资者所要求的风险报酬也就越高。 如果投资者持有多种资产，即持有证券组合时，证券组合的风险不仅是各单个资 产方差的函数，同时还是各资产间同动程度的函数。 证券组合的方差越大，其风险也就越大，投资者对组合所要求的风险报酬也就越高。由此可见，证券组合的方差，而不是单个资产的方差是决定证券组合风险大小和风险 报酬高低的主要因素。2、协方差 方差是用来衡量

8、某一种资产或证券组合的收益率波动性大小的指标，而协方差则是用 来衡量两种资产的收益率的同动性，或者说同动程度的指标。如果两种资产的收益率趋向 于同增或同减，那么它们间的协方差便为正值。反之，如果一种资产的收益率相对升高， 而令一种资产的收益率相对降低，那么，它们间的协方差便为负值。协方差实际上是证券收益率离差之积的均值。如果两股票的收益率同时 高于或者同时低于它们各自的期望收益率，那么，它们的离差之积便为正值，这样，两股 票间的协方差便也为正值。但是，如果一种股票的收益率高于其期望收益率，而另一种股 票的收益率低于其期望收益率，那么，它们的离差之积便为负值；如果这种情形频繁出现， 那么，两股票

9、间的协方差便是负值。现代资产组合理论( Modern Portfolio Theory ，简称 MPT )，也有人将其称为现代证券投资组合理论、证券 组合理论或投资分散理论。现代资产组合理论的提出主要是针对化解投资风险的可能性。该理论认为，有 些风险与其他证券无关，分散投资对象可以减少个别风险(unique risk or unsystematic risk )，由此个别公司的信息就显得不太重要。个别风险属于市场风险，而市场风险一般有两种：个别风险和系统风险 (systematic risk )，前者是指围绕着个别公司的风险，是对单个公司投资回报的不确定性；后者指整个经 济所生的风险无法由分散

10、投资来减轻。虽然分散投资可以降低个别风险，但是，首先，有些风险是与其他 或所有证券的风险具有相关性，在风险以相似方式影响市场上的所有证券时，所有证券都会做出类似的反 应，因此投资证券组合并不能规避整个系统的风险。其次，即使分散投资也未必是投资在数家不同公司的 股票上，而是可能分散在股票、债券、房地产等多方面。再次，未必每位投资者都会采取分散投资的方式， 在实践中风险分散并非总是完全有效。现代资产组合理论最初是由美国经济学家哈里马科维茨(Markowits )于 1952 年创立的，他认为最佳投资组合应当是具有风险厌恶特征的投资者的无差异曲线和 资产的有效边界线的交点。威廉夏普(Sharpe )

11、则在其基础上提出的单指数模型，并提出以对角线模式来简化方差协方差矩阵中的非对角线元素。他据此建立了资本资产定价模型 (CAPM) ，指出无风险资产收 益率与有效率风险资产组合收益率之间的连线代表了各种风险偏好的投资者组合。根据上述理论，投资者 在追求收益和厌恶风险的驱动下，会根据组合风险收益的变化调整资产组合的构成，进而会影响到市场均 衡价格的形成。Markowitz 于 1952 年提出的“均值方差组合模型”是在禁止融券和没有无风险借贷的假设下，以个别股票收益率的均值和方差找出投资组合的有效边界 (Efficient Frontier) ，即一定收益率水平下方差最小的投资组合。根据 Mark

12、owitz 投资组合的概念，欲使投资组合风险最小，除了多样化投资于不同的股票之外，还 应挑选相关系数较低的股票。因此， Markowitz 的“均值方差组合模型”不只隐含将资金分散投资于不 同种类的股票，还应将资金投资于不同产业的股票。 Markowitz 的均值方差模型( 1952 )依据以下几个 假设： 1、 资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一持仓时间内的证券收益的概率分布。2 、 投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。 3、 投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益。4、在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的是在一定的收益水平上，投资者希望风险最小。 根 据以上假

13、设， Markowitz 确立了证券组合预期收益、风险的计算方法(这里关键是组合收益率的方差是唯 一的风险测度)和有效边界理论，建立了资产优化配置均值方差模型：minDw=刀刀WiWjCov(Xi, Xj) s.t.Uw= E(Rw)=E(刀Wi Xi) Uo 1=刀Wi (允许卖空) 或1 =刀Wi, Wi 0 (不允许卖空) 其中Xi为投资 组合W中第i只证券的收益率，Wi为证券i的投资比例，Rw为组合收益率，Uw为组合的预期收益率，Dw 为组合投资方差 (组合总风险 )， Cov(Xi, Xj) 为两个证券之间的协方差。Sharpe是Markowitz的学生，他在研究过程中于1963年提

14、出“单指数模型”，将“均值方差模型”进行了简化。他认为在 Markowitz 的投资组合分析中，方差协方差矩阵太过复杂不易计算，因此他提出对 角线模式来简化方差协方差矩阵中的非对角线元素。此模型假设证券间彼此无关且各证券的收益率仅与 市场因素有关，这一因素可能为股票市场的指数、国民生产总值、物价指数或任何对股票收益产生最大影 响的因素，每一种证券的收益都与某种单一指数线性相关。威廉夏普的这一简化以及由此提出的资产定 价的均衡模型，即 CAPM 。作为第一个不确定性条件下的资产定价的均衡模型， CAPM 具有重大的历史意 义，它导致了西方金融理论的一场革命。由于股票等资本资产未来收益的不确定性，

15、CAPM 的实质是讨论资本风险与收益的关系。 CAPM 模型十分简明的表达这一关系，即：高风险伴随着高收益。在一些假设条 件的基础上，可导出如下模型：E(Rp)=Rf+ B (RM)-Rf，其中E(Rp)表示投资组合的期望收益率；Rf为无风险报酬率，投资者能以这个利率进行无风险的借贷；E(RM)表示市场组合期望收益率；B为某一组合的系统风险系数， B =Cov(Ri,Rm)/Var(Rm) ，是股票 j 的收益率对市场组合收益率的回归方程的斜率，常被 称为“ B 系数”。其中 Var(Rm) 代表市场组合收益率的方差， Cov(Ri,Rm) 代表股票 i 的收益率与市场组合 收益率的协方差。从

16、上式可以看出，一种股票的收益与其B系数是成正比例关系的。B系数是某种证券的收益的协方差与市场组合收益的方差的比率，可看作股票收益变动对市场组合收益变动的敏感度。如果这 种证券的线性系数 B =1,那么,这种证券的风险程度 就与市场指数 (即整个市场的风险程度 )相同；如果一种 证券的线性系数B 1,那么这种证券的风 险程度就会比市场指数更不稳定。通过对B进行分析，可以得出结论：在风险资产的定价中，那些只影响该证券的方差而不影响该股票与股票市场组合的协方差的因素在定价中不起作用，对定 价唯一起作用的是该股票的 B 系数。由于收益的方差是风险大小的量度，可以说：与市场风险不相关的单 个风险，在股票

17、的定价中不起作用，起作用的是有规律的市场风险，这是CAPM 的中心思想。 对此可以用投资分散化原理来解释。在一个大规模的最优组合中，不规则的影响单个证券方差的非系统性风险由于 组合而被分散掉了，剩下的是有规则的系统性风险，这种风险不能由分散化而消除。由于系统性风险不能 由分散化而消除，必须伴随有相应的收益来吸引投资者投资。非系统性风险，由于可以分散掉，则在定价 中不起作用 。夏普的方法大大地减少了资产组合 问题的维数 ,使得计算有效资产组合大为简化 。经由 Sharpe 的模型，任一股票收益率可由单一的外在指数来决定，大大简化了Markowitz 模型的分析工作。 随后，Sharpe 有鉴于 Markowitz “均值方差组合模型”及其早期提出“单指数模型”中方差与投资比例不呈线 性关系，必须用二次规划法求解，求解程序复杂。因而于 1967 年提出线性规划法，将 Markowitz 的组合 模型以线性规划的方式求解。根据 Sharpe 进行的实证研究，当股票种类达 20 种以上时，投资组合的非系 统风险逐渐趋于零，此时风险只生剩下系统风险，从而只与市场因素的方差有关，投资组合的标准差逐渐 成为一个线性函数，因此可用“线性规划法”迅速找出有效边界。