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1、北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、选择、填空题1、（2016年北京高考）已知为等差数列，为其前项和，若，则_.2、（2015年北京高考）设是等差数列. 下列结论中正确的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则3、（2014年北京高考）若等差数列满足，则当_时，的前项和最大.4、（朝阳区2016届高三二模）为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设表示前年的纯利润（=前年的总收入前年的总费用支出投资额），则 （用表示）；从第 年开始盈利.5
2、、（东城区2016届高三二模）成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、后成为等比数列中的、，则数列的通项公式为A. B. C. D. 6、（丰台区2016届高三一模）若数列满足，且与的等差中项是5，则 等于（A） （B） （C） （D）7、（海淀区2016届高三二模）在数列中，且，则的值为A. B. C. D.8、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数f (x) 的部分对应值如表所示. 数列满足且对任意，点都在函数的图象上，则的值为12343124A . 1 B.2 C. 3 D. 49、（朝阳区2016届高三上学期期中） 已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于（ ）A.
3、 B. C. D. 10、（海淀区2016届高三上学期期中）数列的前n项和为，则的值为A1 B3 C5 D6 11、（石景山区2016届高三上学期期末）已知数列是等差数列，则前项和中最大的是（ ）A. B.或 C.或 D.12、（东城区2016届高三上学期期中）在数列中，13、（丰台区2016届高三上学期期末）设等差数列的前项和为，若,则= .二、解答题1、（2016年北京高考）设数列A： ， , ().如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得，
4、则 ；（3）证明：若数列A满足- 1（n=2,3, ,N）,则的元素个数不小于 -.2、（2015年北京高考）已知数列满足：， ，且记集合（）若，写出集合的所有元素；（）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（）求集合的元素个数的最大值3、（2014年北京高考）对于数对序列，记，其中表示和两个数中最大的数，（1） 对于数对序列，求的值.（2） 记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小.（3）在由5个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.（只需写出结论）.4、（朝阳区2016届高三二模）已知集合，且若存在非
5、空集合，使得，且，并，都有，则称集合具有性质，（）称为集合的子集（）当时，试说明集合具有性质，并写出相应的子集；（）若集合具有性质，集合是集合的一个子集，设，求证：，都有；（）求证：对任意正整数，集合具有性质5、（东城区2016届高三二模）数列中，定义：，. （）若，求； () 若，求证此数列满足；（）若，且数列的周期为4，即，写出所有符合条件的. 6、（丰台区2016届高三一模）已知数列是无穷数列，（是正整数），.（）若，写出的值；（）已知数列中，求证：数列中有无穷项为1；（）已知数列中任何一项都不等于1，记为较大者）.求证：数列是单调递减数列.7、（海淀区2016届高三二模）已知集合,其中
6、., 称为的第个坐标分量. 若，且满足如下两条性质： 中元素个数不少于4个； ，存在，使得的第个坐标分量都是1；则称为的一个好子集.（）若为的一个好子集，且，写出；（）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过；（）若为的一个好子集且中恰好有个元素时，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是1. 8、（石景山区2016届高三一模）若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”（）前项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；通项公式为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；（）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；（）是否对任意的等差数列，总
7、存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由9、（西城区2016届高三二模）已知任意的正整数都可唯一表示为，其中，对于，数列满足：当中有偶数个1时，；否则如数5可以唯一表示为，则（）写出数列的前8项；（）求证：数列中连续为1的项不超过2项；（）记数列的前项和为，求满足的所有的值（结论不要求证明）10、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：；（）若，求出这个数列；（）若，求的所有取值的集合；（）若是偶数，求的最大值（用表示）11、（朝阳区2016届高三上学期期中） 已知等差数列的首项，公差，前项和为，且. （）求数列的通项公式； （）求证：.
8、12、（东城区2016届高三上学期期末）设是一个公比为等比数列，成等差数列,且它的前4项和.（）求数列的通项公式；（）令,求数列的前项和.参考答案一、选择、填空题1、【答案】6【解析】试题分析：是等差数列，故填：62、C解析： 3、 由等差数列的性质，于是有，故故，为的前 项和中的最大值4、,5、A6、B7、B8、B9、A10、C11、B12、13、18二、解答题1、【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.2、解析:（），（）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数由 可归纳证明对任意，是的倍数如果，则的所有元素
9、都是的倍数如果，因为或，所以是的倍数，于是是的倍数类似可得，都是的倍数从而对任意，是的倍数因此集合的所有元素都是的倍数综上，若集合存在一个元素是的倍数，则集合的所有元素都是的倍数（）由，可归纳证明因为是正整数， 所以是的倍数从而当时，是的倍数如果是的倍数，由（）知对所有正整数，是的倍数因此当时，这时的元素的个数不超过如果不是的倍数，由（）知对所有正整数，不是的倍数因此当时，这时的元素的个数不超过当时，共个元素综上可知，集合元素个数的最大值为3、,;当时：，；，；因为是中最小的数，所以，从而；当时，；，；因为是中最小的数，所以，从而。综上，这两种情况下都有。数列序列，的的值最小；，.4、证明：（
10、）当时，令，,则, 且对，都有，所以具有性质相应的子集为， 3分（）若,由已知,又,所以所以 若,可设，,且， 此时 所以，且所以若, ,，则,所以又因为，所以所以所以综上，对于，都有 8分（）用数学归纳法证明（1）由（）可知当时，命题成立，即集合具有性质（2）假设()时，命题成立即，且，都有那么 当时，记,， 并构造如下个集合：,， 显然又因为，所以 下面证明中任意两个元素之差不等于中的任一元素 若两个元素,则,所以 若两个元素都属于,由（）可知，中任意两个元素之差不等于中的任一数从而，时命题成立综上所述，对任意正整数，集合具有性质13分5、（）由以及可得：所以从第二项起为等比数列. 经过验
11、证为等比数列. -2分()由于所以有.令则有叠加得： 所以有，叠加可得：，所以最小值为-5. -6分 （）由于， 若可得，若可得同理，若可得或，若可得或具体如下表所示 所以可以为或此时相应的为 或 -13分6、解：（）；-2分（），假设 当时，依题意有 当时，依题意有，当时，依题意有，由以上过程可知：若，在无穷数列中，第项后总存在数值为1 的项，以此类推，数列中有无穷项为1. -6分（）证明：由条件可知，因为中任何一项不等于1，所以.若，则.因为，所以. 若，则，于是；若，则，于是；若，则，于题意不符；所以，即.若，则.因为，所以； 因为，所以； 所以，即.综上所述，对于一切正整数，总有，所以
12、数列是单调递减数列.-13分7、解：（）2分（）对于，考虑元素，显然，对于任意的，不可能都为1，可得不可能都在好子集中4分又因为取定，则一定存在且唯一，而且，且由的定义知道，6分这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素个数为，所以中元素个数不超过；8分（），定义元素的乘积为：，显然. 我们证明:“对任意的，都有.”假设存在, 使得，则由（）知，此时，对于任意的，不可能同时为, 矛盾，所以. 因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道，显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设,根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为11分下面再证明的唯一
13、性：若还有,即中所有元素的坐标分量都为, 所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾. 所以结论成立13分8、解:（），作差法可得，当时，；当时，存在，使得数列是“回归数列”2分，前项和，根据题意一定是偶数，存在，使得数列是“回归数列”4分（），根据题意，存在正整数，使得成立即，即8分（）设等差数列总存在两个回归数列，使得9分证明如下：数列前项和，时，；时，；时，为正整数，当时，.存在正整数，使得，是“回归数列”11分数列前项和存在正整数，使得，是“回归数列”，所以结论成立13分9、（）解：1，1，0，1，0，0，1，1. 3分（）证明：设数列中某段连续为1的项从开始，则 由题意，令，则 中有奇数个
14、1 （1）当中无0时， 因为， 所以， 所以，此时连续2项为1 5分 （2）当中有0时， 若，即， 则， 因为 中有奇数个1， 所以，此时连续1项为1 7分 若，即， 则， ，（其中） 如果为奇数，那么，此时连续2项为1 如果为偶数，那么，此时仅有1项 综上所述，连续为1的项不超过2项 10分（）解：或. 13分10、解：（）因为，由知；由知，整理得，解得，或当时，不满足，舍去；所以，这个数列为 3分（）若，由知因为，所以所以或如果由计算没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件； 所以由计算只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：（1）若，则，解得；（2）若，则，解得；（3）若，则，解得；（4）若，则，解得；综上，的所有取值的集合为 8分（）依题意，设由（II）知，或 假设从到恰用了 次递推关系，用了次递推关系， 则有其中当是偶数时，无正数解，不满足条件；当是奇数时，由得， 所以又当时，若，有，即所以，的最大值是即13分11、12、解：（）因为是一个公比为等比数列，所以因为成等差数列，所以即解得. 又它的前4和，得，解得 所以 . 9分（）因为，所以 13分
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