数学中的三大常数

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1、.数学中的三大常数:高伟*班级:数教1201摘要文章考察了三个特殊的数 , 找到了美在数学中的具体表现, 并以此出发阐述了数学美对学生学习数学兴趣的培养的重要性。关键词:数学美无理数Three constants in mathematics:Name:GaoweiAbstractThe article e*amines the three special numbers in mathematics.Found the concrete embodiment of mathematical beauty and e*pounded the importance of the cultivat

2、ion of students interest in learning mathematics.Keywords: mathematical beaut irrational如果有人告诉你, 数学是很奇妙的, 你可能会感到惊奇。但你应该知道, 有些人毕生研究数学、创造数学, 就像作曲家创作音乐一样。这是为什么呢 也史上的许多学者、数学家的描述可以说明这一切。家勒说: 数学家把义的方法和他们结果的美联系起来。这不是纯粹的浅薄猎奇。事实上, 在解题、证明中, 给我们以美感的是什么呢是各局部的和谐, 是他们的对称、他们的巧妙平衡。总而言之, 就是引人次序, 给出统一, 容许我们同时清楚地观察和理解

3、整体和细节的东西。维纳认为: 数学实质上是艺术的一种。*利为:容构造上和方法上也具有其自身的美。可见, 正是数学的美引导一代一代的学家攀登一座一座数学顶峰。为此, 为吸引年青的数学工作者从事数学研究, 从小就应让他们感到数学美。解决费尔马猜测的安德鲁怀尔斯就是在10 岁到图书馆发现了别刃多年悬而未决的费尔马猜测在外表上的简单易懂, 这种简美让他对数学着了迷, 从而让他终生从事数学研究【1】。一、 说不完道不尽的大家或许会好奇，终究哪点吸引人了，能够让数学家们对它痴迷到如此地步？其实，本身的存在就是一个奇迹：不管一个圆有多大，它的周长和直径之比总是一个固定的数，它就是 3.1416926 535

4、8979323846264338327950，是一个无限不循环小数。我们把这个数就叫做圆周率，用希腊字母来表示。在几何问题中，圆周率扮演着非常重要的角色；然而更神奇的是，它也驰骋于几何以外的其它数学领域。1、1布丰投针实验图1.1在地板上画一系列间距为 2 厘米的平行线，然后把一根长度为 1 厘米的针扔在地板上。则，这根针与地板上的线条相交的概率是多少呢？1733 年，法国博物学家布丰te de Buffon第一次提出了这个问题。1777 年，布丰自己解决了这个问题这个概率值是 1/。这个问题可以用微积分直接求解，也能利用期望值的性质得到一个异常精妙的解答。即使我们现在已经能轻易求出它的答案，

5、结论依然相当令人吃惊在这个概率问题上，竟然也有的踪影。有人甚至利用投针法，求出过的近似值来。1、2 斯特林近似公式我们把从 1 开场一直连乘到 n 的结果称作n 的阶乘，在数学中用 n! 来表示。也就是说：1733 年，数学家亚伯拉罕棣莫弗Abraham de Moivre发现，当 n 很大的时候，有：其中 c 是*个固定常数。不过棣莫弗本人并没有求出这个常数的准确值。几年后，数学家詹姆斯斯特林James Stirling指出，这个常数 c 等于 2的平方根。也就是说：这个公式就被称作斯特林近似公式。1、3 平方数的倒数和的极限1 的平方分之一，加上 2 的平方分之一，加上 3 的平方分之一，

6、这样一直加下去，结果会怎样呢？这是一个非常吸引人的问题。从上表中可以看到，越往后加，得数变化幅度就越小。可以预料，如果无穷地加下去，得数将会无限接近于*一个固定的数。这个数是多少呢？1735 年，大数学家欧拉Euler非常漂亮地解决了这一问题。神奇的是，这个问题的答案里竟然包含有：1、4 两个整数互质的概率如果两个整数的最大公约数为 1，我们就说这两个数是互质的。例如，9 和 14 就是互质的，除了 1 以外它们没有其它的公共约数；9 和 15 就不互质，因为它们有公共的约数 3。可以证明这样一个令人吃惊的结论：任取两个整数，它们互质的概率是 6 / ，恰好是上面一个问题的答案的倒数。在一个纯

7、数论领域的问题中出现了圆周率，无疑给小小的希腊字母更添加了几分神秘。二、不可思议的ee到底有多神奇？e常熟的故事神秘数字自然对数的底e是一个令人不可思议的常数，一个由定义出的常数，居然在数学和物理中频频出现，简直可以说是无处不在。这实在是让我们不得不敬畏这神奇的数学世界。2、1 欧拉恒等式但凡说起e，一个必定要提到的公式就是欧拉恒等式被誉为世界上最美丽的公式。数学中最根本的5个常数0、1、圆周率、自然对数的底e和虚数单位i，以及数学中最根本的两个符号,等号和加号，就这样通过一个简单的恒等式联系在了一起，实在是让人叹服。这个等式有个一几何的直观解释。一个实数在实数轴上可以用一个向量表示，旋转这个

8、向量，就相当于乘以一个虚数i。据此建立一个以实数为横轴，虚数为纵轴的坐标系。实单位向量，每次逆时针旋转/2, 可以分别得到结果1,i,-1,-i,1. 即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保持长度不变旋转角度，得到的向量就是:。根据欧拉公式 :可以看出就代表实单位向量1旋转角后而得到的向量。所以意味着单位向量逆时针旋转了，结果显然是-1【2】。图2.12、2 增长规律这个世界上有许许多多的事物满足这样的变化规律：增长率正比于变量自身的大小。例如放射性元素衰变的时候，衰变率就和现存的放射性物质多少成正比；资源无穷多的社会，人口出生率将近似的和现存人口数成正比等等。而此类变化规律所确定的解，则

9、是由以e为底的指数增长所描述的：如果*的变化率等于变量*自身的倍，则该变量随时间t的函数则为其中C是任意常数。而e的直观含义正是增长的极限，这个问题在不可思议的e中有过详细的介绍。2、3 正态分布图2.2正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个统计模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比方光子计数都被发现近似地服从正态分布，尽管这些现象的根本原因经常是未知的。而理论上则可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，则这个变量服从正态分布。正态分布在生活中也可谓是无处不在。屡次反复测量一个物理量，测出来的值一般来说总是呈正态分布；瓶装可乐的实际体积，也是正态分布；一大群人的寿命分布、智商分

10、布等，也都是正态分布。而正态分布的表达式中，也神奇的出现了e。2、4 伽马函数与斯特林公图2.3阶乘运算n！本来是定义在正整数上的。数学家最爱做的事情就是推广，因此阶乘函数自然不能幸免。当把阶乘函数推广到定义域为复数的时候，我们要寻找的函数就是一条通过了所有n+1,n!点的函数。所谓的伽马函数(*)满足了这个性质，而伽马函数的表达式中又出现了e:阶乘n!与e还有另一层神秘的联系。当n趋于无穷大的时候，n!满足下面的近似关系式斯特林公式：其中符号表示同阶，可以大致认为是n趋于无穷大时的约等于要计算很大的阶乘值，位数受限而不能直接用计算机求出时，就可以用斯特林公式近似求出了【3】。2、5 调和级数

11、所谓调和级数，即1+1/2+1/3+1/4+1/n+.。它是一个发散级数，当n趋于无穷大的时候，这个和也将趋于无穷大。但是同样是发散的级数，发散也有快慢之分。调和级数发散速度是怎样的呢？伟大的欧拉发现的一个著名极限给出了答案：因此调和级数的发散速度正是和以e为底的对数ln函数的发散速度一致。2、6 素数与e素数或称质数是指除了1和它本身之外，无法被其他自然数整除的数。素数看似和e毫无联系，可是，素数分布的理论指出，素数的分布与e息息相关。如果用(*)表示不大于*的素数个数注意这里的不是圆周率！，则素数分布中心定理指出或者可以写成注意到ln正是以e为底的对数。看，e就这样出现在了看似毫无关系的领

12、域！三、世界上最孤独的看到哪个数，你会觉得最孤独？有人会说是1，因为它孤身一人。有人会说是0，因为它没有任何存在感。有人会说是214，有人会说是419。这些都是字面上的直接联想，因人而异，很难说哪个比哪个更加孤独。然而对一个学过数学的人来说，确实存在一个最孤独的数。这个数就是所谓的黄金分割率。许多人图3.1说它是最美的数，美不美这种事情是一个主观概念但我们能从数学上证明，它是最无理的数，最难以接近的数，因而在这个意义上，是最孤独的数。3、1越走越近，却永远不能在一起一个无理数有很多种表现方式。我们最熟悉的是无限不循环小数的形式，每多写下一位数，就是用一个更加准确的有理数去逼近它。当然，这个过程

13、永远到不了尽头。但是无理数也可以用分数的形式表现，只不过这个分数也是无穷无尽的这就需要连分数。不要怕，这里的全部数学只是加减乘除和通分，不超过小学五年级。先用一个有理数作为例子：1024/137，约等于7.47445255。第一级近似：7，于是它变成了7 + 65/137。第二级近似：把第一级留下的分数倒过来，137/65 近似是2，于是它变成了 2 + 7/65，于是开场的那个数字就变成了 7 + 1 / ( 2 + 7/65 )。第三级近似：对7/65进展类似处理，以此类推。最后得到的结果是或者，省去那些多余的1，可以表达为 7; 2, 9, 3, 2。能够证明，每一个有限的连分数都代表一

14、个有理数，而每一个有理数能且只能表示成两种形式的连分数要求第一个系数是整数，剩下的全是正整数。比方上面那个数也可以表示为7; 2, 9, 3, 1,1。除这两种之外再没有别的写法了。同样的步骤完全适用于无理数，但这时得到的连分式就会一直延续下去。比方，的连分式可以表示为或者用简化的表达式：3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, .。这个数列在整数数列线上大全OEIS中的是A001203.3、2一步一米，或者一步十年使用连分数来逼近，就会遇到一个逼近速度的问题：每前进一步，近似值向准确值靠近了多少呢？回到的例子。我

15、们先看第一位近似7。忽略后面剩下的： 3 + 1/7 = 22/7 3.142.熟悉吗？这就是当年祖冲之发现的约率。如果接下来看到第三位近似: 3 + 1 / ( 7 + 1 / 15 + 1 ) = 3 + 1 / ( 113/ 16) = 355/113 3.1415929.也即祖冲之的密率。二者都是对的极好的近似。这就是连分数的一个神奇属性：当你得到一个连分数后，你就自动获得了最快的逼近准确值的方式。这有点违反直觉当你用7作为分母的时候，最小的单位就是1/7，则误差围应该是1/14以吧？实际上，使用连分数获得的误差围不是1/14以，而是1/49以！22/7 - 0.0126 (1/7)2。更一般地，假设一个无理数，它的*一步连分式展开后变成了 p / q 的形式，则一定有| - p/q |