江苏省东台市高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法（1）导学案（无答案）苏教版选修2-2

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1、2.3数学归纳法（1）一、教学内容：推理与证明（第七课时）理科：数学归纳法（1）二、教学目标：1了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力2了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤 3重点训练等式问题和数列问题三、 课前预习对于数列an，已知， (n=1,2,), 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式四、讲解新课 （一）创设情景对于数列an，已知， (n=1,2,), 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为 。这个猜想是否正确需要证明。一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证就很麻烦。特别是n可

2、取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。（二）研探新知1、了解多米诺骨牌游戏。可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 思考：你认为条件（2）的作用是什么？可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1）（2）成立。2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。思考：你认为证明数列的通过公式是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个

3、问题吗？分析： 多米诺骨牌游戏原理通项公式的证明方法（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时a1=1，猜想成立（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。（2）若当n=k时猜想成立，即 ，则当n=k+1时猜想也成立，即 。根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。3、数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k()时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都

4、成立。上述证明方法叫做数学归纳法 注意：（1）这两步步骤缺一不可。 （2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”。（3）数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。4、例题讲解例1 用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，那么an=a1+(n1)d对一切nN*都成立.练习1：用数学归纳法证明：如果an是一个等比数列，那么an=a1对一切nN*都成立.例2 用数学归纳法证明：1+3+5+(2n1)=n2.练习2：用数学归纳法证明“122232n2n(n1)(2n1)(nN*)”五、 课堂练习1. 若f(n)1(nN)，则n1时，f(n)_.2. 用数学归纳法证明不等式“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取为_3、用数学归纳法证明等差数列的求和公式（1） 4、已知a1=,an+1=,（1）a2,a3,a4,a5的值；（2）猜想an；（3）用数学归纳法证明你的结论。3