江苏省东台市高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法(1)导学案(无答案)苏教版选修2-2
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江苏省东台市高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法(1)导学案(无答案)苏教版选修2-2
2.3数学归纳法(1)一、教学内容:推理与证明(第七课时)理科:数学归纳法(1)二、教学目标:1了解归纳法的意义,培养学生观察、归纳、发现的能力2了解数学归纳法的原理,能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤 3重点训练等式问题和数列问题三、 课前预习对于数列an,已知, (n=1,2,), 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳,猜想其通项公式四、讲解新课 (一)创设情景对于数列an,已知, (n=1,2,), 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳,猜想其通项公式为 。这个猜想是否正确需要证明。一般来说,与正整数n有关的命题,当n比较小时可以逐个验证,但当n较大时,验证就很麻烦。特别是n可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此,我们需要寻求一种方法:通过有限个步骤的推理,证明n取所有正整数都成立。(二)研探新知1、了解多米诺骨牌游戏。可以看出,只要满足以下两条件,所有多米诺骨牌就都能倒下:(1)第一块骨牌倒下;(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下。 思考:你认为条件(2)的作用是什么?可以看出,条件(2)事实上给出了一个递推关系:当第k块倒下时,相邻的第k+1块也倒下。这样,要使所有的骨牌全部倒下,只要保证(1)(2)成立。2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。思考:你认为证明数列的通过公式是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?分析: 多米诺骨牌游戏原理通项公式 的证明方法(1)第一块骨牌倒下。(1)当n=1时a1=1,猜想成立(2)若第k块倒下时,则相邻的第k+1块也倒下。(2)若当n=k时猜想成立,即 ,则当n=k+1时猜想也成立,即 。根据(1)和 (2),可知不论有多少块骨牌,都能全部倒下。根据(1)和(2),可知对任意的正整数n,猜想都成立。3、数学归纳法的原理一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k()时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法 注意:(1)这两步步骤缺一不可。 (2)用数学归纳法证明命题时,难点和关键都在第二步,而在这一步主要在于合理运用归纳假设,结合已知条件和其他数学知识,证明“当n=k+1时命题成立”。(3)数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析。4、例题讲解例1 用数学归纳法证明:如果an是一个等差数列,那么an=a1+(n1)d对一切nN*都成立.练习1:用数学归纳法证明:如果an是一个等比数列,那么an=a1对一切nN*都成立.例2 用数学归纳法证明:1+3+5+(2n1)=n2.练习2:用数学归纳法证明“122232n2n(n1)(2n1)(nN*)”五、 课堂练习1. 若f(n)1(nN),则n1时,f(n)_.2. 用数学归纳法证明不等式“2n>n21对于nn0的自然数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取为_3、用数学归纳法证明等差数列的求和公式(1) 4、已知a1=,an+1=,(1)a2,a3,a4,a5的值;(2)猜想an;(3)用数学归纳法证明你的结论。3