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1、2022年高三数学一轮复习 第8篇 第5节 抛物线课时训练 理 【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的定义与应用2、9、14抛物线的标准方程与性质1、3、5、12抛物线的综合问题4、6、7、8、10、11、13、15、16基础过关一、选择题1.(xx高考新课标全国卷)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于(A)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:作AM准线l,根据抛物线定义|AF|=|AM|,抛物线方程为y2=x,则2p=1,p=,准线l方程为x=-,则有x0=x0+,x0=1.故选A.2.(xx成都模拟)抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=
2、0的距离是(D)(A)2(B)2(C)(D)1解析:抛物线y2=8x的焦点(2,0)到直线x-y=0的距离,d=1.3.(xx湖州模拟)已知双曲线C1:-=1(a0,b0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为(D)(A)x2=y(B)x2=y(C)x2=8y(D)x2=16y解析:双曲线的渐近线方程为y=x,由于=2,所以=,所以双曲线的渐近线方程为y=x.抛物线的焦点坐标为(0,),所以=2,则p=8,所以抛物线方程为x2=16y.4.(xx浙江省宁波模拟)若椭圆+=1的右焦点与抛物线y2=2px的焦点重合,则p的值为(C
3、)(A)2(B)-2(C)4(D)-4解析:椭圆+=1的右焦点坐标为(2,0),所以=2,解得p=4.5.(xx高考辽宁卷)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为(C)(A)-(B)-1(C)-(D)-解析:因为点A在抛物线的准线上,所以-=-2,所以该抛物线的焦点F(2,0),所以kAF=-.故选C.6.(xx高考新课标全国卷)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则|AB|等于(C)(A)(B)6(C)12(D)7解析:抛物线C:y2=3x的焦点为F(,0),所以AB所在的直线方程为y=(x-),将y=
4、(x-)代入y2=3x,消去y整理得x2-x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=+=12,故选C.7.(xx北京西城模拟)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为(C)(A)y=x-1或y=-x+1(B)y=(x-1)或y=-(x-1)(C)y=(x-1)或y=-(x-1)(D)y=(x-1)或y=-(x-1)解析:抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),则因为|AF|=3|BF|,所以x1
5、+1=3(x2+1),所以x1=3x2+2,因为|y1|=3|y2|,x1=9x2,所以x1=3,x2=,当x1=3时,=12,所以此时y1=2.若y1=2,则A(3,2),B(,-),此时kAB=,此时直线方程为y=(x-1).若y1=-2,则A(3,-2),B(,),此时kAB=-,此时直线方程为y=-(x-1).8.(xx北京市东城质检)已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线-=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=|AF|,则AFK的面积为(D)(A)4(B)8(C)16(D)32解析:双曲线的右焦点为(4,0),抛物线的焦点为(,0),所以=4,即p
6、=8.所以抛物线方程为y2=16x,焦点F(4,0),准线方程x=-4,即K(-4,0),不妨设A(,y),y0,过A作AM垂直于准线于M,由抛物线的定义可知|AM|=|AF|,所以|AK|=|AF|=|AM|,即|AM|=|MK|,所以-(-4)=y,整理得y2-16y+64=0,即(y-8)2=0,所以y=8,所以SAFK=|KF|y=88=32.二、填空题9.(xx山东临沂模拟)若抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为(1,0)则p=;准线方程为.解析:=1,所以p=2,准线方程为x=-1.答案:2x=-110.(xx福州模拟)已知双曲线-=1的一个焦点与抛线线y2=4x的焦点重合,且双
7、曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为.解析:抛物线y2=4x的焦点(,0),e=,a=3,b=1.该双曲线的方程为-y2=1.答案:-y2=111.(xx高考湖南卷)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.解析:由题意可知机器人行进的轨迹为一抛物线,其轨迹方程为y2=4x,过点P(-1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),由题意知直线与抛物线无交点,联立消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则=(2k2-4)2-4k41,得k1或k0,得a0或a0)相交于A、B两点,且
8、OAOB,ODAB交AB于D,且点D的坐标为(3,).(1)求p的值;(2)若F为抛物线的焦点,M为抛物线上任一点,求|MD|+|MF|的最小值.解:(1)设A(,y1),B(,y2),kOD=,则kAB=-,直线AB的方程为y-=-(x-3),即x+y-4=0,将x=代入上式,整理得y2+2py-8p=0,y1y2=-8p,由OAOB得+y1y2=0,即y1y2+4p2=0,-8p+4p2=0,又p0,则p=2.(2)由抛物线定义知|MD|+|MF|的最小值为D点到抛物线y2=4x准线的距离,又准线方程为x=-1,因此|MD|+|MF|的最小值为4.能力提升14.已知P、Q为抛物线x2=2y
9、上两点,点P、Q的横坐标分别为4、-2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为.解析:由于P、Q为抛物线x2=2y,即y=x2上的点,且横坐标分别为4、-2,则P(4,8),Q(-2,2),从而在点P处的切线斜率k1=4.据点斜式,得曲线在点P处的切线方程为y-8=4(x-4);同理,曲线在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2);将这两个方程联立,解得交点A的纵坐标为-4.答案:-415.(xx高考浙江卷)已知ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若|PF|=3,求点M的坐标;(2)求ABP面积的最大值.解:(1)
10、由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得y0=2,所以P(2,2)或P(-2,2),由=3,得M(-,)或M(,).(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由得x2-4kx-4m=0,于是=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB的中点M的坐标为(2k,2k2+m),由=3得,(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以由=4y0得k2=-m+,由0,k20,得-m.又因为|AB|=4,点F(0,1)到直线AB的距离为d=,所以SABP=4SAB
11、F=8|m-1|=,记f(m)=3m3-5m2+m+1(-f().所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=.所以,ABP面积的最大值为.探究创新16.(xx高考四川卷)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是(B)(A)2(B)3(C)(D)解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假设y10,y20),直线AB的方程为x=ty+m,且直线AB与x轴的交点为M(m,0).由消去x,得y2-ty-m=0,所以y1y2=-m.又=2,所以x1x2+y1y2=2,(y1y2)2+y1y2-2=0,因为点A,B在抛物线上且位于x轴的两侧,所以y1y2=-2,故m=2.又F(,0),于是SABO+SAFO=2(y1-y2)+y1=y1+2=3,当且仅当y1=,即y1=时取“=”,所以ABO与AFO面积之和的最小值是3.故选B.
2022年高三数学一轮复习 第8篇 第5节 抛物线课时训练 理
