高考总复习之正态分布教师版汇总

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1、专题正态分布【高考会这样考】利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【复习指导】掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数N、6的含义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率.基础梳理1.正态曲线及性质(1)正态曲线的定义1 x 2函数 f x e 2 ,x R2xC(oo, +oo),其中实数以和(r(b0)为参数，我们称小区，0(x)的图象(如图)为正态 分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线的解析式指数的自变量是x定义域是R,即xC(oo, +oo).解析式中含有两个常数：冗 和e,这是两个无理数.解析式中含有两个参数：N和b，其中N可取任意实数，60这是正态分

2、布的两个特征数.1解析式前面有一个系数为j,后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幕指数为 212%(T?x世?2O 22 b六条性质正态曲线的性质xR有以上性质;正态曲线。也，。(x)=(1)曲线位于 x轴上方，与 x轴不相交;(2)曲线是单峰的，它关于宜线x=对称;则线在一 乂三儿处达到峰值一尤(4)一曲线与一 X 一轴围成的图形的血积为1二(5)一当W 一二定BL曲线随有卫的变化血沿x一轴壬移_；(6)一当卫一二定时曲线的形状由。一确定一越小曲线越瘦高，表示总体的分布越集中;工越太一曲线越二矮胖，一表示总体的分布越分散. 一一一三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线

3、求随机变量的概率.落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据.双基自测1.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，_21?x-10?且f (x) =-e一,则这个正态总体的平均数与标准差分别是().8九 8A. 10 与 8 B . 10 与 2 C . 8 与 10 D . 2 与 10一 ，1解析 由?x10?21 fe 8x/2 冗 CT?x仙？,2可知 CT=2, （1=10.2. (2011 湖北)已知随机变量士服从正态分布N（2 ,（t2）,且 P己 4） =0.8 ,则 P(0E2)等于().A. 0.6 B .0.4 C . 0.3 D .

4、0.2解析由 P（己 4） =P（己 0）=0.2 ,故 P（0 E 4）等于（）.A. 0.158 8 B . 0.158 7 C . 0.158 6 D . 0.158 51解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x=3对称，P(X4) =0.5 2R2WXW4)=1一、，0.5X 0.682 6 =0.158 7.故选 B.4 .(2010 山东)已知随机变量X服从正态分布N0,1),若P(X2)=0.023,则P(2&X& 2) 等于().A. 0.477 B . 0.628 C . 0.954 D . 0.977解析 P( -2X2) = 0.954.5 .设随机变量X服从正态分布N(2

5、,9),若P(Xc+1)=P(Xc1),则c等于().A. 1 B . 2 C . 3 D . 4c 1 c 1解析.仙=2,由正态分布的定义知其函数图象关于x = 2对称，于是 =2,c = 2.考向一正态曲线的性质【例11 ?若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为1=.4,2九(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(一4,4的概率.审题视点要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数，的值，其中以决定曲线的对称轴的位置，6则与曲线的形状和最大值有关.解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于,11=0

6、.由-一,得(7=4,故该正态分布的概率自度函数的解析式是y/272/21x2(x)=42Te32 xe(一巴 +8).(2) P( 4X0 4) = P(0 4X0 0 + 4)=P( N er X0)和NN2, )( 20)的密度函数图象如 图所示，则有().A. N 1 N 2, (T 1 (T 2 B. N 1 (T 2C. g(12, (T1(12, (T1(T2解析 根据正态分布Nn,62)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x=N对称,在x=卜处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选 A.答案 A考向二 服从正态分

7、布的概率计算【例2】？设*N(1,2 2),试求(1) P( -1X 3);(2) P(3X 5).审题视点将所求概率转化到(仙6，以+b.(n2(t, n+2(t或仙3(7,仙十3而上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解.解. XN(1,22),仙=1, b=2.(1) P( -1X 3) = P(1 -2X 1 + 2)=P( N (rX n +(T) =0.682 6.(2) v P3X 5) = P( 3X0 1),1P3X 5) = 2 P( 3X 5)-P-1X 3)1= 2P(1 -4X 1 + 4) -P(1 -2X 1+2)1=21 P( 1 2 (T X& 1 + 2(r

8、) P( 1 (T 5)=P(X0 3),1P(X 5) = 21 P( 3X 5)1= 211 P(1 -4X 1 + 4)1= 211 P(业-2(T X 业 +2 (t)1二,X (1 0.954 4) =0.022 8.求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上.【训练2】随机变量上服从正态分布N（1 ,（/）,已知 P（己 0） =0.3，则 P（己 2）=P（己0） =0.3 ,P（己 2） =1 0.3 =0.7.考向三 正态分布的应用【例3】 ?2011 年中国汽车销售量达到 1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售

9、有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了 1 200 名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量 己服从正态分布 N8, d）,已知耗油量E 7,9的概率为0.7 ，那么耗油量大于9升的汽车大约有辆 审题视点 根据正态密度曲线的对称性求解解 由题意可知己N（8, d）,故正态分布曲线以 仙=8为对称轴，又因为P（7&E&9） = 0.7 ,故 P（7 己 09）=2P（80 己 &9）=0.7 ,所以 P（8 己 8）= 0.5,所以P己9） =0.15,故耗油量大于9升的汽车大约有1 2

10、00 X0.15 = 180辆.服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和 X轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称 性，当P（己Xi） =P（己X2）时必然有空x2=卜,这是解决正态分布类试题的一个重要结 论.人、1、，【训练3】工厂制造的某机械零件尺寸 X服从正态分布N4 -,问在一次正常的试验中,9取1 000个零件时,不属于区间（3,5这个尺寸范围的零件大约有多少个?不属于区间（3,5的概率为P(X5) = 1 P(3 X 5)= 1-P(4-1X 4+1)= 1P( p3cr X+ 3 cr )= 1 0.997 4 =0.002 6 =0.003

11、1 00OX 0.003 = 3（个），即不属于区间（3,5这个尺寸范围的零件大约有3个阅卷报告19正态分布中概率计算错误【问题诊断】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布， 这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误【防范措施】 对正态分布N（仙，1）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住， 且注意第二个数值应该为d而不是，同时，记住正态密度曲线的六条性质.【示例】 ? 已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（116 ， 64） ，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为 （

12、） A 0.3%B 0.23%C 1.5%D 0.15%错因 （1） 不能正确得出该正态分布的两个参数导致计算无从下手 （2） 对正态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不准，导致计算出错.实录同学甲 A同学乙 B同学丙 C正解 依题意，n=116,（t=8,所以 N3cr=92, n+3（t=140,而服从正态分布的随机变量在（以一3丁+3（t）内取值的概率约为0.997 ,所以成绩在区间（92,140）内的考生所占百分比约为99.7%,从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1-99.7%20.15%.故选 D.答案 D【试一试】 在正态分布N0, 1中，数值落在（一8, - 1） U （1 , +oo）内的概率为（）.9A. 0.097B. 0.046解析C. 0.03D. 0.002 61 = 0, (T =, P P(x1) =1 P( 1WXW1) = 1P( 1 3 CT x 1 3+ 3(7 ) = 1 0.997 4 =0.002 6.答案 D