小学生解决生活中数学问题的调查与研究

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1、小学生解决生活中数学问题的调查与研究黄静一、问题的提出学生们的数学素质是在解决一道道“好问题”的过程中发展起来的。“设计租船问题方案”是一道与生活实际紧密相连的、有现实意义的问题，也是一道开放性的数学问题。小学生对于解决这样一个数学问题是否感兴趣，会运用怎么样的解题策略，采用不同策略的学生人数各是多少，第一学段和第二学段学生的解题方法是否不同，这些问题并不十分清楚。为此，笔者让学生解决一个租船问题，试图发现学生的解题策略，了解学生对解决这个问题的感受，分析学生的数学应用能力。二、测试的问题、对象和过程1. 测试的问题三（1）班同学去秋游。要组织50名同学去划船，大船每条可以坐6人，租金10元；

2、小船可以坐4人，租金8元。如果你是领队人，准备怎样租船？（请你把所有租船的方法都写出来）如果你完成了，请填写：你能用 （）种方法，第 （）种方法你觉得最合理。你喜欢这样的数学题吗？（请在相应的括号里打）喜欢 （）不喜欢 （）一般 （）你觉得这道题难吗？（请在相应的括号里打）很难 （）比较难 （）不难 （）2. 测试的对象按照现行的小学数学教材，杭州地区三年级以上的学生已经学过整数的四则混合运算，知道乘除法的有关应用题的计算方法。因此，测试的对象随机选择了杭州市一所普通小学建国一小的三、四、五年级的学生各一个班。人数分别是22，25，33人，共计80人。年龄分布在912岁之间。3. 测试的过程某

3、天上午，在学生不知情的情况下，由调查者组织进行测试。在测试前，没有给学生任何的解题提示，也没有读题，直接让学生独立地解答。学生在解题过程中，没有任何的讨论与交流，整个测试过程基本反映了学生独立地在自然情景下解答这一生活问题的水平。三年级学生做题时间为15分钟，四年级学生做题时间15分钟，五年级学生做题时间为分钟。三、测试结果及分析1. 三、四、五年级有80%以上的学生至少能用一种方法解答这个问题，16%左右的学生不能解决这个问题。通过对学生的解题试卷进行批改和统计后，笔者发现：三、四、五年级学生能用一种正确方法解答这个生活问题的比例分别是：三年级19人，占86.4%；四年级19人，占76%；五

4、年级30人，占91%。说明三、四、五年级的学生遇到这个数学问题时，绝大多数的学生能提取已有的知识和经验，运用已有的能力独立地解决问题，并可以找出至少一种解决问题的方法。三、四、五年级分别有13.6%（3人），24%（6人），12%（4人）的学生不能解决这个问题。分析学生全错的原因有：（1）有个别学生题意不清，理解能力较差。如：题目问“怎样租船？”学生却回答大船每条可以坐7，10，9，8人，小船可以坐3，5，2，7人，与已知条件“大船每条坐6人，小船每条坐4人”相违背，不理解题的意思。（2）不能将数学知识与现实生活相联系，方法不切实际。如：三年级学生A，设计小船0条，大船8条，总计80元，而题目

5、是“组织50人去划船，大船每条可以坐6人”，照这名学生的安排，尚有2人无法上船。四年级学生B，大船：50610300103000（元）；小船：504820081600（元），按此题意是一人坐一条大船或一人坐一条小船，这也不符合实际，可见这些学生能计算简单乘法应用题，也就是能做“数学题”，却不能解决数学问题。（3）题意半知半解，简单的计算出错。如四年级学生C：5085（条）10（人）答：大船1条，小船5条。三年级学生D：2612（人），20元，501248（人），48412（人），32元，203252（元），答：我要准备4条小船，2条大船共52元。这些都是在计算上出了问题。2. 三、四、五年级学

6、生正确解题方法的数量存在着一定的差异。在各年级中，有些学生能给出多种租船方案，有些则不能，不同年级学生之间能给出的租船方案的数量存在差异。表1各年级学生给出正确方案数量统计表上表这些数据可以反映出：同一做题时间（15分钟），三年级正确解题方法数量少于四年级；不同做题时间，三年级正确解题方法数量还是少于五年级（9分钟）。三年级学生的解题策略与四、五年级相比要单一些，往往只会从比较单一的角度去思考问题。能用5种或5种以上的方法解答的三年级学生约占5.3%，四年级学生约占42.1%，五年级学生约占10%。说明三、四年级学生思维多样性比例相差较大，可以肯定这是两个不同的发展水平阶段。四年级平均每人解题

7、方法的数量为3.3种，五年级是2.6种，四年级用5种或5种方法以上的百分比比五年级高22%，可以发现，不同做题时间能影响四、五年级之间的解题数量，因此，这两个年级思维相差不大。3. 四、五年级学生思维已具灵活性，解题策略呈现多样性。表2学生显示解题方法种类统计表序号大船只数小船只数余位价钱三（2）人次四（3）人次五（1）人次共计占做对人数的百分比方法1904902731217.9%方法2812881921217.9%方法372086127183755.2%方法4642922811116.4%方法5550901312224770.1%方法6472961821116.4%方法73809491120

8、4059.7%方法82102100162913.4%方法911109851082334.3%方法100132104142710.4%在有1种或1种以上的解答方法的67人中，出现了以上10种不同的方法，体现学生独立解决问题是具有个性的。其中使用方法5的学生占了70.1%，可见较多学生的解题策略是从已知条件中的数字角度去考虑，如6530（人），4520（人）或50（64）10（人），正好除尽，说明绝大多数的学生在解决数学问题时，更侧重对已知条件数是否刚好计算来考虑，而不是对整个题意的理解。同理，使用方法3、方法7的学生分别占了55.2%，59.7%，也都是刚好坐满，没有多余的座位，这是一种思维定势

9、（平时“数学题”计算大多是正好的）。其他的方法使用次数在10.4%17.9%之间，这个数据表明，少数学生考虑问题思路开阔，思维灵活，但从总体上看，学生的思维变通性很弱。这样的思维水平值得老师注意和反思。通过对三、四、五年级学生的测试卷分析，笔者根据学生的书写方式发现学生在解题过程中有以下策略：策略一：“猜测”型。根据对学生访谈得知，有一部分学生不知怎么计算，就先猜一个量，大船有几艘，推算出小船有几艘，然后再进行验算。如一名五年级学生的解答：（1）我租大船5条，小船也租5条。564550（人）。（2）我租大船7条，小船2条。672450（人）。在被测试的学生中，采用这种策略的三年级学生有6人，占

10、27.2%，四年级学生有2人，占8%，五年级学生有15人，占45.5%。这种方法的正确数量在23种左右，容易出错，有许多学生来不及或根本就没有验算。如一名五年级学生采用了5种方法，就有3种方法是错误的。（1）我准备租7只大船，2只小船。对（2）租4只大船，4只小船。错（3）租6只大船，3只小船。错（4）租8只小船，3只大船。对（5）租12只小船，2只大船。对策略二：“计算”型。学生采用已经学过的数学运算进行计算。如两名五年级学生的解答：50（64）5（1种）50（64）55（108）90（元）50411（只）6（人）1011898（元）5067（只）8（人）2871096（元）（3种）采用这种

11、策略的三年级学生有12人，占54.5%，四年级学生有2人，占8%，五年级学生有7人，占21.2%。采用此种方法的学生一般只有1种方案，最多也只有3种方案，并没有明确指出大船租几只，小船租几只。策略三：“先猜后推”型。学生先从猜其中的一种方法入手，然后进行有序推导，计算出其他方法。如一名三年级学生的解答：猜6742（人），50428（人），842（只）。答：大船租7只，小船租2只。 推6636（人），503614（人），1443（只）2（人）。答：大船租6只，小船租4只，由此推导出，种。采用这种策略的三年级学生有2人，占9.1%，四年级学生有1人，占4%，五年级学生有6人，占18.2%。采用此种

12、方法的学生一般都能找到48种方法，正确率较高。策略四：“列表”型。采用列表格的形式设计方案，有序，简洁，清晰。采用这种策略的四年级学生有14人，占56%，五年级学生有1人，占3%。这是一种系列性策略，思维有序，条理清晰。采用这种策略的学生都能用710种方法解决问题，是最多的。通过访谈四年级学生，得知许多学生已经做过这样的题目，所以能很快找出多种方法。4. 各年级学生关注解决问题合理性的认识不够。表3各年级学生认定方法合理性比例方法方法1方法2方法3方法5方法7方法9合计人数2123206456百分比2.5%1.25%28.75%25%7.5%5%70%从上表可以看出，学生对方法合理性的认识角度

13、是不同的，出现了6种情况，其中认为方法3合理的学生占28.75%，说明这一小部分学生是从省钱的角度去考虑的。认为方法5合理的学生占25%，这一小部分学生是从大船、小船只数同样多就合理的角度去思考的。在课程改革中，我们倡导算法多样化，鼓励学生用不同的方法解决问题，可能各种方法对成人来说有优劣之分，但是对小学生来说不宜过早断定这种方法一定比那种方法好。但从上面数据中我们可知有30%的学生无法认识方法的合理性，至少可以说不知道应从哪一个角度去评判和考虑方法的合理性。数学课程标准在第一学段中指出：“能灵活运用不同的方法解决生活中的简单的问题，并能对结果的合理性进行判断。”我们的第二学段里的学生还有一部

14、分没有这种思想，这一点应该引起我们教师的反思。教师要培养学生学会有思考、有观点和从不同的角度去判断优劣，这是一个非常重要的思想，是数学优化思想的体现。当然，我们反对的是统一的、标准化的优化，反对影响学生积极探索的优化。数学中有没有相对优化的东西，笔者认为肯定是有的，而且数学本身肯定也是要追求优化的。这一租船问题，从省钱角度去考虑，对第三种方法，我们又作了进一步的统计，见表4。表4各年级对第三种方法合理程度认定统计表班级班级人数做对人数使用第三种方法的人使用第三种方法的人数百分比认为此方法合理的人数认为此方法合理的人数百分比 三（2）22191254.5%627.3%四（3）2519728%52

15、0%五（1）33301854.5%1339.4%如果要考虑省钱的因素，那么第三种方案比较好。使用这种方法的学生中，三年级占54.5%，四年级占28%，五年级占54.5%。使用了这种方法并认为合理的学生中，三年级占27.3%，四年级占20%，五年级占39.4%。可见学生从经济方面考虑合理性能力还不够，只有一小部分学生有这方面的合理应用意识。例如，一名四年级学生设计：大船30只，小船20只，共用460元，就不符合实际，不合理。5. 学生对题目的感兴趣度及难易程度认定分析。学生在解决问题的过程中，会有一种直接的心理感受，笔者在测试卷的最后设计了一些选项，以便调查学生对于解决这个问题的内心感受，据此，

16、也可以窥见学生对开放题的心理接受度，调查结果见表5。表5各年级学生对题目的内心感受调查表调查的问题你喜欢这样的数学题吗？类别喜欢不喜欢一般人数百分比三年级81.82%0%18.18%四年级44%4%52%五年级54.54%3.04%42.42%调查的问题你觉得这道题难吗？类别很难比较难不难人数百分比三年级13.64%40.91%45.45%四年级4%48%48%五年级3.04%39.38%57.58%由表5可看出：三年级喜欢这道题的学生比例明显高于四、五年级，三年级认定此题的难度也同样高于四、五年级学生，有81.82%的三年级学生喜欢这道题，认为很难或比较难的占了54.55%。所以，笔者认为，

17、这道租船问题，对三年级学生来说有一定的难度，虽有86.4%的学生至少能用一种方法做题，但要求解题呈现多样性有难度。相对于四、五年级学生来说，此题对三年级学生更有挑战性，比较适合三年级学生学习。由于这是一道开放性的问题，学生在解题时入手很容易，所以有一半的学生认为题目比较容易，同时他们比较清晰的认识到“把所有租船的方法都写出来”比较难，如果不是有序地去思考这个问题，是很难有10种方法的。通过访谈全对的3名学生得知，他们都是用“列表法”设计出10种方法的，这样的问题，他们以前在数学“思维训练班”中已经做过，所以很容易。从这个意义上说，这道题如果不是有个别学生学过，很可能没有一个会设计出10种方法，

18、对于实际生活中的数学问题，学生很难会有序思考。所以，四、五年级认为很难和比较难的学生占52%和42.42%。平时教师在教学中，要重视学生认知策略的学习，要让学生学会有序思考，养成有条理考虑问题的习惯。四、对小学数学教学的启示从上面这个租船问题的测试和分析中，我得到了以下几点教学启示：1. 三、四、五年级学生已初步建立数感，能联系身边具体、有趣的事物进行估算。所以在设计问题时，要适当选择数的大小，不要用太容易口算的数，使学生只看数的大小，而不去理解题意。2. 加强理解题意的训练，当出现多个已知条件时，要让学生学会选择。3. 要重视培养学生估算、猜测的意识和能力，培养学生有序的、有条理的考虑问题和

19、解决问题的能力。4. 小学生解决数学问题时，要鼓励他们用自己喜欢的方法，尊重学生的个性，承认学生的差异，肯定学生的每一种解题表达形式，从而达到人人主动参与、积极思考的目的。5. 数学教学中要时时考虑数学知识与生活实际联系，这不仅有利于学生活学活用，还有利于达成数学教育的目的，从而提高学生的数学素养。五、进一步讨论的问题1. 通过访谈部分教师，我了解到这样一道生活中的数学问题，教师要想找出10种解题方法也是有一定的难度的，更何况小学生。那么，小学生做这一开放题能有几种解题策略算是具有合格的有序性逻辑思维，能做出几种算是多样化的逻辑思维呢？2. 学生的数学素质是在解决问题过程中发展起来，平时我们要设计怎样的“问题解决”才能使学生获得知识、方法、思想上的全面发展，使学生变得越来越聪明？3. 在同一做题时间里，三年级学生的正确率要高于四年级，这或许有班级差异关系，除了这一因素外，是否还有其他原因？4. 有一部分学生认为使用方法1、方法2、方法5、方法7和方法9较合理，这是从哪些方面去考虑的？5. 根据学生的书写方式，推断出学生解决此题的策略，是否合理、正确和科学？