甘肃省张掖市高三数学第三次诊断考试试题文含解析

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1、张掖市2020届高三年级第三次诊断考试数学（文）试卷一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先将等式两边同乘以i，可求得z，再利用共轭复数定义求得结果【详解】iz45i，i2z（45i）i，z4i+5，化为z54iz的共轭复数5+4i故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题2.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，选D3.如图是一容量为100的样本的重量的频率分布

2、直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）A. 11B. 11.5C. 12D. 12.5【答案】C【解析】试题分析：由频率分布直方图 可估计样本重量的中位数在第二组，设中位数比大，由题意可得，得，所以中位数为，故选C.考点：1、频率分布直方图；2、中位数的求法.4.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（ ）参考数据：，.A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】【

3、分析】列出循环过程中的和的数值，满足判断框的条件即可结束循环。【详解】执行程序：，不满足条件；，不满足条件；，满足条件，退出循环输出的值为24.故选.【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构以及三角函数的计算，考查了读图和识图能力，运算求解能力，属于基础题。5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为底面半径为、高为的圆锥的，所以该几何体的体积，故选D.考点：三视图.6.已知，为单位向量，当，的夹角为时，在上的投影为（ ）A. 5B. C. D. 【答案】D【解析】由题设，而即，所以，应选

4、答案D。点睛：解答本题的关键是准确理解向量在另一个向量上的射影的概念。求解时先求两个向量的模及数量积的值，然后再运用向量的射影的概念，运用公式进行计算，从而使得问题获解。7.已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数的图象，当时，方程有两个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简函数为，由平移变换与伸缩变换得到，然后数形结合可得实数的取值范围.【详解】函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数当时，方程有两个不同的实根等价于函数与有两个不同交点，令t，即与有两个不同交点，结

5、合图象可知：故选：D【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点8.过轴正半轴上一点，作圆：的两条切线，切点分别为，若，则的最小值为（ ）A. 1B. C. 2D. 3【答案】B【解析】圆心坐标是，半径是1；，。在三角形ACB中，由余弦定理的得：解得：。故选B【此处有视频，请去附件查看】9.已

6、知函数的定义域为，当时，对任意的，成立，若数列满足，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，设，所以为增函数，考点：抽象函数、递推公式求通项10.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】小圆柱的底面半径为r (0r5)，小圆柱的高分为2部分，上半部分在大圆柱内为5，下半部分深入半球内为h (0h5)，由于下半部分截面和球的半径构成直角三角形，即+，从而可以找出体积表达式进而利用函

7、数知识求出最值。【详解】小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h (0h5)，小圆柱的底面半径设为r (0r5)，由于和球的半径构成直角三角形，即+，所以小圆柱体积，(0h5)，求导，当0h时，体积单调递增，当h5时，体积单调减。所以当h=时，小圆柱体积取得最大值，故选B.【点睛】先由几何关系找出体积表达式，再通过导数求最值是本题的关键。11.如图，已知双曲线：的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设M为PQ的中点，令OPx，则可求得AM，OM的长度

8、，进而求得tanMOA即为渐近线的斜率，从而求得e.【详解】由题意可得PAQ为等边三角形，设OPx，可得OQ3x，PQ2x，设M为PQ的中点，可得PMx，AMx，tanMOA，则e故选：A【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，考查了渐近线斜率与离心率的关系，注意结合圆的几何特征求解，属于基础题12.已知，对于，均有，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用条件转化为f（x）m（x+1）+2，即f（x）的图象不高于直线ym（x+1）+2的图象，求出函数f（x）ln（x+1）过点（1，2）的切线方程，利用数形结合进行求解即可【详解】若x1，+），均有f（x）2

9、m（x+1），得x1，+），均有f（x）m（x+1）+2即f（x）的图象不高于直线ym（x+1）+2的图象，直线ym（x+1）+2过定点（1，2），作出f（x）的图象，由图象知f（1）2，设过（1，2）与f（x）ln（x+1）（x0）相切的直线的切点为（a，ln（a+1），（a0）则函数的导数f（x），即切线斜率k，则切线方程为yln（a+1）（xa），即yxln（a+1），切线过点（1，2），2ln（a+1）1+ln（a+1）即ln（a+1）3，则a+1e3，则ae31，则切线斜率k要使f（x）的图象不高于直线ym（x+1）+2的图象，则mk，即实数m的取值范围是，+），故选：B【点睛】本题

10、主要考查分段函数的应用以及不等式恒成立问题，利用数形结合转化为两个图象关系，结合导数的几何意义求出切线方程和斜率是解决本题的关键二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为_【答案】6【解析】【分析】抽到的最大学号为48，由系统抽样等基础知识即可得最小学号.【详解】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6

11、号.故答案为：6【点睛】本题考查了系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题14.若实数，满足不等式组，则的最大值是_【答案】19【解析】【分析】根据题意先画出满足约束条件的平面区域，然后分析目标函数及平面区域里各个点的特点，可求出目标函数z|x|+3y的最大值【详解】满足约束条件的平面区域如图所示：要使z|x|+3y最大，则由图可知区域内A点处满足|x|最大且y最大，所以z最大，由 得A（4，5）代入z|x|+3y得z|4|+3519，当x4，y5时，|x|+3y有最大值19故答案为：19【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，关键是分析目标函数的特点，属于中档题.15.四面体中，则

12、四面体外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，则长方体的外接球即为四面体的外接球，利用数据计算长方体的体对角线即为外接球的直径，可得球的表面积.【详解】将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，如图：则长方体的外接球即为四面体的外接球，又长方体的体对角线即为外接球的直径2R，设长方体的长宽高分别为a，b，c，则有，所以外接球的表面积为，故答案为【点睛】本题考查球的内接几何体，球的表面积的求法，考查了长方体模型的应用及空间想象能力，属于中档题.16.已知数列中，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取

13、值范围是_【答案】【解析】，（，），当时，并项相加，得：，又当时，也满足上式，数列的通项公式为， ，令（），则，当时，恒成立，在上是增函数，故当时，即当时， ，对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，实数的取值范围为，故答案为.点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量，设函数.（）求函数的单调递增

14、区间；（）在中，角、的对边分别为、，且满足，求的值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用数量积的坐标表示，先计算，然后代入中，利用正弦的二倍角公式和降幂公式，将函数解析式化为，然后利用复合函数的单调性和正弦函数的单调区间，求出函数的单调递增区间；（2）三角形问题中，涉及边角混合的式子，往往进行边角转换，或转换为边的代数式，或转换为三角函数问题处理将利用正弦定理转换为，同时结合已知和余弦定理得，从而求，进而求的值试题解析：（1） 令6分所以所求增区间为7分（2）由，8分，即10分又，11分12分考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函数的图象和性质.18.参加山大附中数学选修课的

15、同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：定价（元）102030405060年销量（）11506434242621658614.112.912.111.110.28.9（参考数据：，）（）根据散点图判断，与，与哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？（）根据（1）的判断结果及数据，建立关于的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）（）定价为多少元/时，年收入的预报值最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，.【答案】（I）由散点图可知，与具有较强的线性相关性; （II）; （III）定值为元/时，年利润的预报值最大.【

16、解析】试题分析：比较两个散点图可以发现与具有较强的线性相关性，利用表中提供的与的对应值计算，借助提后提供的现成数据再计算，得出，和，得出后再利用，有 ，得出 关于的回归方程，注意保留小数；表示出年利润，求导找出最值.试题解析：（I）由散点图可知，与具有较强的线性相关性.（II）由题得，又，则，线性回归方程为，则关于的回归方程为.（III）设年利润为，则，求导，得，令，解得.由函数的单调性可知，当时，年利润的预报值最大，定值为元/时，年利润的预报值最大.19.如图，在三棱锥中，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）要证平面BDE

17、平面ACD，需证BE面ACD，由数量关系可得，则可求证（2）用等体积方法求出C到面ABD的距离，则可求直线AC与平面ABD所成角的正弦值【详解】（1）由已知得，又，.又，面，面，面面.（2）设到平面的距离为，由，得，则.设与平面所成角为，则，与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理，考查了线面角的求法，利用等体积法求三棱锥的高是解题的关键，是基础题20.如图，设椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是（）求椭圆标准方程；（）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程【答案】（）; （）面积的最小

18、值为9，.【解析】试题分析：（）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的，再由离心率可求得，从而得值，得标准方程；（）本题考查圆锥曲线中的三角形面积问题，解题方法是设直线方程为，设，把直线方程代入抛物线方程，化为的一元二次方程，由韦达定理得，由弦长公式得，同样过与直线垂直的直线方程为，同样代入椭圆方程，利用韦达定理得，其中，是点的横坐标，于是可得，这样就可用表示出的面积，接着可设，用换元法把表示为的函数，利用导数的知识可求得最大值.试题解析：（）椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，又椭圆的离心率是，椭圆标准方程为（）过点的直线的方程设为，设，联立得，过且与直线垂直的直线设为，联立得，故，面

19、积令，则，令，则，即时，面积最小，即当时，面积的最小值为9，此时直线的方程为21.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（2）若对于任意都有成立，试求的取值范围；（3）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围。【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是.（2）（3）【解析】【分析】（1）先由导数的几何意义求得a，在定义域内，再求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间（2）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）2（a1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a1），从而求得a的取值范围（3）利用导数的符号求出单调区间，再根

20、据函数g（x）在区间e1，e上有两个零点，得到， 解出实数b的取值范围【详解】（1）直线的斜率为1， 函数)的定义域为.因为，所以，所以，所以，.由解得；由解得.所以得单调增区间是，单调减区间是.（2）由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值.因为对于任意都有成立，所以即可.则，即，解得，所以得取值范围是.（3）依题意得，则，由解得，由解得.所以函数在区间上有两个零点，所以，解得.所以的取值范围是.【点睛】本题考查导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间问题，考查了利用导数研究函数的最值及零点的问题，属于中档题22.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极

21、轴建立极坐标系，已知直线的参数方程为，（为参数），曲线的普通方程为，点的极坐标为（）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；（）若将直线向右平移2个单位得到直线，设与相交于，两点，求的面积【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）通过加减消元法求得直线普通方程为，根据化简得圆的极坐标方程为；（2）将直线向右平移个单位得到直线，方程为，其极坐标方程为，所以，故.点到直线的距离为，所以试题解析：（1）根据题意，直线的普通方程为，曲线的极坐标方程为（2）的普通方程为，所以其极坐标方程为，所以，故，因为，所以点到直线的距离为，所以考点：坐标系与参数方程23.设.（）求函数的定义域；（）若存在实数满足，试求实数的取值范围.【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）先用零点分段法将表示分段函数的形式，然后再求定义域；（）利用函数图象求解试题解析：（），它与直线交点的横坐标为和，不等式的定义域为（）函数的图象是过点的直线，结合图象可知，取值范围为考点：1、分段函数；2、函数的定义域；3、函数的图象