苏州市中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

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1、 与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2设tanBOC=m，则m的取值范围是_引例2：如图，在边长为1的等边OAB中，以边AB为直径作D，以O为圆心OA长为半径作O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交O于点E，BC=，AC=，求的最大值.引例3：如图，BAC=60，半径长为1的圆O与BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ). A3 B6 C D一、题目分析： 此题是一个圆中的动点问题，

2、也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个

3、定点A构成三角形的不变条件（DAE=60），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1直观感觉，画出图形；2特殊位置，比较结果； 3理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图，A点的坐标为（2，1），以A为圆心的A切x轴于点B，P（m，n）为A上的一个动

4、点，请探索n+m的最大值例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1如图，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 .2如图，O的直径为4，C为O上一个定点，ABC=30，动点P从A点出发沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为 ；（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为 .例三、正弦定理1如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=，D是线段B

5、C上的一个动点，以AD为直径作O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为 2. 如图，定长弦CD在以AB为直径的O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CPAB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是 例四、柯西不等式、配方法1如图，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2x4），则当x= 时，PDCD的值最大，且最大值是为 .2如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边ACD和等边BCE，O外接于CD

6、E，则O半径的最小值为( ).A.4 B. C. D. 23在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画O，P是O上一动点，且P在第一象限内，过点P作O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 .例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是 .2如图，RtABC中，C=90，A=30，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作O，若O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是 . 3如图，O的半径为2，点O到直线l的距

7、离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切O于点Q，则PQ的最小值为（）ABC3D2例五、其他知识的综合运用1.（2015济南）抛物线y=ax2+bx+4（a0）过点A（1，1），B（5，1），与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为 上的一动点（不与点A，E重合），MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值2.（2013秋相城区校级期末）如图，已知A、B是O与x轴的两个交点，O的

8、半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点（1）判断直线PE与O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为 【题型训练】1如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在O上存在点Q，使QAC是以AC为底边的等腰三角形，则O的半径r的取值范围为 . 2已知：如图，RtABC中，B=90，A=30，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(t0)时，以O点为圆心的圆与边AC

9、相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EGDE交射线BC于G.（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是 ；（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是 .3如图，M，N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cmP为M上的任意一点，Q为N上的任意一点，直线PQ与连心线所夹的锐角度数为，当P、Q在两圆上任意运动时，的最大值为( ).(A)； (B)； (C)； (D)4如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作D，P为D上的一个动点，连接AP、OP，则AOP面积的最大值为( ). (A)4 (B) (C) (D)5如图，在RtAB

10、C中，C=90，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).A B C5 D6如图，在等腰RtABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作O，O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为 7如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是( ). A2 B1 C. D.8如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，C的

11、圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则ABE面积的最大值是( ). A3 B C D49如图，等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC=4，C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.410如图BAC60，半径长1的O与BAC的两边相切，P为O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .11在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（）是第一象限内一点，且AB=2，则的范围为 .12在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是

12、y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PBAP于点P，则，则的取值范围是 .13在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特

13、殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1特殊位置与极端位置法；2几何定理(公理)法；3数形结合法等注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法参考答案：引例1. 解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得

14、：OC=，BOA=ACO=90，BOC+AOC=90，CAO+AOC=90，BOC=OAC，tanBOC=tanOAC=，随着C的移动，BOC越来越大，C在第一象限，C不到x轴点，即BOC90，tanBOC，故答案为：m引例1图引例2图引例2.；原题：（2013武汉模拟）如图，在边长为1的等边OAB中，以边AB为直径作D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交O于点E，BC=a，AC=b（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围【考点】圆的综合题【分析】（1）首先连接BE，由

15、OAB为等边三角形，可得AOB=60，又由圆周角定理，可求得E的度数，又由AB为D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；（2）首先过点C作CHAB于H，在RtABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b） 2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CHAB=1+2CH1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（xb）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围【解答】解：（1）连接BE，OAB为等边三角形，AOB=60，AEB=30，AB为直径，ACB=BCE=90，BC=a，BE=2a，CE=a，AC=b，AE=b+a；（2）过

16、点C作CHAB于H，在RtABC中，BC=a，AC=b，AB=1，a2+b2=1，SABC=ACBC=ABCH，ACBC=ABCH，（a+b） 2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CHAB=1+2CH1+2AD=1+AB=2，a+b，故a+b的最大值为，（3）x2+ax=b2+ab，x2b2+axab=0，（x+b）（xb）+a（xb）=0，（xb）（x+b+a）=0，x=b或x=（b+a），当m=b时，m=b=ACAB=1，0m1，当m=（b+a）时，由（1）知AE=m，又ABAE2AO=2，1m2，2m1，m的取值范围为0m1或2m1【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完

17、全平方公式的应用以及一元二次方程的解法此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用引例3. 解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OFAC与F，连接AO，如图，BAC=60，DPE=120PE=PD，PMDE，EPM=60，ED=2EM=2EPsin60=EP=PA当P与A、O共线时，且在O点右侧时，P直径最大O与BAC两边均相切，且BAC=60，OAF=30，OF=1，AO=2，AP=2+1=3，DE=PA=3故答案为：D。【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出DE与AP之间的关系，再解决切线的性质来解决问题本题属于中等难度题，难点在于找到D

18、E与半径AP之间的关系，只有找到DE与AP之间的关系，才能说明当A、O、P三点共线时DE最大引例3图例一、斜率运用【考点】切线的性质；坐标与图形性质【专题】探究型【分析】设m+n=k，则点P（m，n）在直线x+y=k上，易得直线y=x+k与y轴的交点坐标为（0，k），于是可判断当直线y=x+k与A在上方相切时，k的值最大；直线y=x+k与x轴交于点C，切A于P，作PDx轴于D，AEPD于E，连接AB，如图，则C（k，0），利用直线y=x+k的性质易得PCD=45，则PCD为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得ABOB，APPC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，所以四边形ABDE

19、为矩形，APE=45，则DE=AB=1，PE=AP=，所以PD=PE+DE=+1，然后在RtPCD中，利用PC=PD得到2+k=（+1），解得k=1，从而得到n+m的最大值为1【解答】解：设m+n=k，则点P（m，n）在直线x+y=k上，当x=0时，y=k，即直线y=x+k与y轴的交点坐标为（0，k），所以当直线y=x+k与A在上方相切时，k的值最大，直线y=x+k与x轴交于点C，切A于P，作PDx轴于D，AEPD于E，连接AB，如图，当y=0时，x+k=0，解得x=k，则C（k，0），直线y=x+k为直线y=x向上平移k个单位得到，PCD=45，PCD为等腰直角三角形，CP和OB为A的切线，

20、ABOB，APPC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，四边形ABDE为矩形，APE=45，DE=AB=1，APE为等腰直角三角形，PE=AP=，PD=PE+DE=+1，在RtPCD中，PC=PD，2+k=（+1），解得k=1，n+m的最大值为1【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题解决本题的关键是确定直线y=x+k与A相切时n+m的最大值例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1. 解：作AB的中点E，连接EM、CE在直角ABC中，AB=5，E是直角ABC斜边AB上的中点，CE=AB

21、=M是BD的中点，E是AB的中点，ME=AD=1在CEM中，1CM+1，即CM故答案是：CM2.（1）；（2）；变式题：（2011邯郸一模）如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tanCAB=其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q（1）当PC= 时，CQ与O相切；此时CQ= （2）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长；（3）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形【专题】计算题【分析】（1）当CQ为圆O的切线时，CQ为圆O的切线，此时CP为圆的直径，由CQ垂

22、直于直径CP，得到CQ为切线，即可得到CP的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ的长；（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CPAB于D，由AB为圆O的直径，得到ACB为直角，在直角三角形ACB中，由tanCAB与AB的长，利用锐角三角函数定义求出AC与BC的长，再由三角形ABC的面积由两直角边乘积的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD的一半来求，求出CD的长，得到CP的长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，得到tanCPB的值，由CP的长即可求出CQ；（3）当点P运动到弧A

23、B的中点时，如图2所示，过点B作BEPC于点E，由P是弧AB的中点，得到PCB=45，得到三角形EBC为等腰直角三角形，由CB的长，求出CE与BE的长，在直角三角形EBP中，由CPB=CAB，得到tanCPB=tanCAB，利用三角函数定义求出PE的长，由CP+PE求出CP的长，即可求出CQ的长【解答】解：（1）当CP过圆心O，即CP为圆O的直径时，CQ与O相切，理由为：PCCQ，PC为圆O的直径，CQ为圆O的切线，此时PC=5；CAB=CPQ，tanCAB=tanCPQ=，tanCPQ=，则CQ=；故答案为：5；（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CPAB于D，图1图2又

24、AB为O的直径，ACB=90，AB=5，tanCAB=，BC=4，AC=3，又SABC=ACBC=ABCD，ACBC=ABCD，即34=5CD，CD=，PC=2CD=，在RtPCQ中，PCQ=90，CPQ=CAB，CQ=PCtanCPQ=PC，CQ=；（3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BEPC于点E，P是弧AB的中点，PCB=45，CE=BE=2，又CPB=CAB，tanCPB=tanCAB=，PE=BE=，PC=CE+PE=2+=，由（2）得，CQ=PC=【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性

25、质是解本题的关键再变式：如图3时，CQ最长。图3例三、正弦定理1. 解：由垂线段的性质可知，当AD为ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OHEF，垂足为H，在RtADB中，ABC=45，AB=2AD=BD=2，即此时圆的半径为1，由圆周角定理可知EOH=EOF=BAC=60，在RtEOH中，EH=OEsinEOH=1=，由垂径定理可知EF=2EH=，故答案为：例三1答图例三2答图2. 【考点】垂径定理；三角形中位线定理【分析】当CDAB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可【解答】解：法：如图：当CDAB时，PM长最大，

26、连接OM，OC，CDAB，CPCD，CPAB，M为CD中点，OM过O，OMCD，OMC=PCD=CPO=90，四边形CPOM是矩形，PM=OC，O直径AB=8，半径OC=4，即PM=4，故答案为：4法：连接CO，MO，根据CPO=CM0=90，所以C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径连接PM，则PM为E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大即PMmax=4【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度例四、柯西不等式、配方法1. 过O作OEPD，垂足为E，PD是O的弦，OEPD，PE=ED

27、，又CEO=ECA=OAC=90，四边形OACE为矩形，CE=OA=2，又PC=x，PE=ED=PCCE=x2，PD=2（x2），CD=PCPD=x2（x2）=x2x+4=4x，PDCD=2（x2）（4x）=2x2+12x16=2（x3）2+2，2x4，当x=3时，PDCD的值最大，最大值是2第1题答图第2题答图2. 解：如图，分别作A与B角平分线，交点为PACD和BCE都是等边三角形，AP与BP为CD、CE垂直平分线又圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点连接OC若半径OC最短，则OCAB又OAC=OBC=30，AB=4，OA=OB，AC=BC=2，在直角A

28、OC中，OC=ACtanOAC=2tan30=故选：B3. 解：（1）线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，AB切O于P，OPAB，取AB的中点C，AB=2OC；当OC=OP时，OC最短，即AB最短，此时AB=4故答案为：4（3题答图）例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1. 求CE最小值，就是求半径OD的最小值。2.；3. 【考点】切线的性质【专题】压轴题【分析】因为PQ为切线，所以OPQ是Rt又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小根据勾股定理得出结论即可【解答】解：PQ切O于点Q，OQP=90，PQ2=OP2OQ2，而OQ=2，PQ2=

29、OP24，即PQ=，当OP最小时，PQ最小，点O到直线l的距离为3，OP的最小值为3，PQ的最小值为=故选B【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上例五、其他几何知识的运用1. 解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：抛物线得解析式为y=x26x+4（2）如图所示： 设点P的坐标为P（m，m26m+4），平行四边形的面积为30，SCBP=15，即：SCBP=S梯形CEDPSCEBSPBDm（5+m26m+4+1）55（m5）（m26m+5）=15化简得：m25m6=0，解得：m=6，或m=1m0，点P的坐标为（

30、6，4）（3）连接AB、EBAE是圆的直径，ABE=90ABE=MBN又EAB=EMB，EABNMBA（1，1），B（5，1），点O1的横坐标为3，将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，点C的坐标为（0，4）设点O1的坐标为（3，m），O1C=O1A，解得：m=2，点O1的坐标为（3，2），O1A=，在RtABE中，由勾股定理得：BE=6，点E的坐标为（5，5）AB=4，BE=6EABNMB，NB=当MB为直径时，MB最大，此时NB最大MB=AE=2，NB=32. 【考点】圆的综合题【专题】综合题【分析】（1）连接OP，设CD与x轴交于点F要证PE与O相切，只需证OPE=90，只需证OPB+E

31、PD=90，由OP=OB可得OPB=OBP=FBD，只需证EPD=EDP，只需证EP=ED，只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题（2）连接OE，由于PE=CD，要求线段CD长的最小值，只需求PE长的最小值，在RtOPE中，OP已知，只需求出OE的最小值就可（3）设O与y轴的正半轴的交点为Q，由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，而点P在点Q时，点E的纵坐标为1，由此就可得到m的范围【解答】解：（1）直线PE与O相切证明：连接OP，设CD与x轴交于点FAB是O的直径，APB=CPD=90E为CD的中点，PE=CE=DE=CD，EPD=EDPOP=OB，

32、OPB=OBP=DBFDBF+EDB=90，OPB+EPD=OPE=90，EPOPOP为O的半径，PE是O的切线（2）连接OE，OPE=90，OP=1，PE2=OE2OP2=OE21当OECD时，OE=OF=2，此时OE最短，PE2最小值为3，即PE最小值为，PE=CD，线段CD长的最小值为2（3）设O与y轴的正半轴的交点为Q，由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，当点P在点Q时，由PEOP可得点E的纵坐标为1点P是圆上第一象限内的一个动点，m的范围为m1【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE

33、的最小值转化为求OE的最小值是解决第（2）小题的关键【题型训练】1. 解：连接OB如图1，AB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90，OBP+ABP=90，ACP+APC=90，OP=OB，OBP=OPB，OPB=APC，ACP=ABC，AB=AC，作出线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，如图2，OE=AC=AB=，又圆O与直线MN有交点，OE=r，2r，即：100r24r2，r220，r2OA=10，直线l与O相离，r10，2r10故答案为：2r10 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用

34、性质进行推理和计算的能力本题综合性比较强，有一定的难度2.原题：（2004无锡）已知：如图，RtABC中，B=90，A=30，BC=6cm点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点过E作EGDE交射线BC于G（1）若E与B不重合，问t为何值时，BEG与DEG相似？（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上？当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得

35、最大值最大值为多少？【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定【专题】综合题；压轴题；分类讨论【分析】（1）连接OD，DF那么ODAC，则AOD=60，AED=30由于DEG=90，因此BEG=60，因此本题可分两种情况进行讨论：当EDG=60，DGE=30时，BGD=BGE+EGD=60这样BGD和ACB相等，那么G和C重合当DGE=60时，可在直角AOD中，根据A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于A=AED=30，那么AD=DE，可在直角DEG中，用AD的长表示出DG，进而根据DGAB得出的关于CD，AD，DG，AB的比例关系式即可求出此时t的值（2）本题

36、可先求出BG的表达式，然后令BGBC，即可得出G在BC延长线上时t的取值范围（3）由于四边形CGED不是规则的四边形，因此其面积可用ABC的面积ADE的面积BEG的面积来求得在前两问中已经求得AD，AE，BE，BG的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积据此可求出S，t的函数关系式根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值【解答】解：（1）连接OD，DFAC切O于点D，ODAC在RtOAD中，A=30，OA=t，OD=OF=t，AD=OAcosA=又FOD=9030=60，AED=30，AD=ED=DEEG，BEG=60，BEG与DEG相似B=GED=90，当EGD=3

37、0，CE=2BE=2（6t）则BGD=60=ACB，此时G与C重合，DE=AD，CD=12，BE=6t，BEGDEC，=，=，t=；当EGD=60DGBC，DGAB在RtDEG中，DEG=90，DE=，DG=t在RtABC中，A=30，BC=6，AC=12，AB=6，CD=12DGAB，解得t=答：当t为或时，BEG与EGD相似；（2）AC切O于点D，ODAC在RtOAD中，A=30，OA=t，AED=30，DEEG，BEG=60在RtABC中，B=90，A=30，BC=6，AB=6，BE=6tRtBEG中，BEG=60，BG=BEtan60=18t当018t6，即t4时，点G在线段BC上；当

38、18t6，即0t时，点G在线段BC的延长线上；（3）过点D作DMAB于M在RtADM中，A=30，DM=AD=tS=SABCSAEDSBEG=36t227t=（t）2+（t4）所以当t=时，s取得最大值，最大值为 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点3.D；4. 解：当P点移动到平行于OA且与D相切时，AOP面积的最大，如图，P是D的切线，DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DMAC，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，AC=5，OA=，AMD=ADC=90，DAM=CAD，ADMACD，=，AD=4，CD=3，

39、AC=5，DM=，PM=PD+DM=1+=，AOP的最大面积=OAPM=，故选D（4题答图）（5题答图）【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大；5. 解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FDABACB=90，AC=8，BC=6，AB=10，FC+FD=PQ，FC+FDCD，当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，CD=BCACAB=4.8故选：B6.；7. 解：若ABE的面积最小，则AD与C相切，连接CD，则CDAD；RtA

40、CD中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2；SACD=ADCD=；易证得AOEADC，=（）2=（）2=，即SAOE=SADC=；SABE=SAOBSAOE=22=2；另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C（7题答图）（8题答图）8. 解：当射线AD与C相切时，ABE面积的最大连接AC，AOC=ADC=90，AC=AC，OC=CD，RtAOCRtADC，AD=AO=2，连接CD，设EF=x，DE2=EFOE，CF=1，DE=，CDEAOE，=，即=，解得x=，SABE=故选：B【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当

41、射线AD与C相切时，ABE面积的最大9. 解：当PCAB时，PQ的长最短在直角ABC中，AB=4，PC=AB=2PQ是C的切线，CQPQ，即CQP=90，PQ=故选A【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PCAB时，线段PQ最短是关键（9题答图）（10题答图）10. 解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大，连接OM，PD，可得F为ED的中点，BAC=60，AE=AD，AED为等边三角形，AF为角平分线，即FAD=30，在RtAOM中，OM=1，OAM=30，OA=2，PD=PA=AO+OP=3，在RtPDF中，FDP=30，P

42、D=3，PF=，根据勾股定理得：FD=，则DE=2FD=3同理可得：DE的最小值为，。11.；12.；13. 解：设P（x，y），PA2=（x+1）2+y2，PB2=（x1）2+y2，PA2+PB2=2x2+2y2+2=2（x2+y2）+2，OP2=x2+y2，PA2+PB2=2OP2+2，当点P处于OM与圆的交点上时，OP取得最值，OP的最大值为OM+PM=5+2=7，PA2+PB2最大值为100【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大附：1.如图，直线分别与x、y轴交于点 A、B，以OB为直径作M，M与直线AB的另一个交点为

43、D（1）求BAO的大小；（2）求点D的坐标；（3）过O、D、A三点作抛物线，点Q是抛物线的对称轴l上的动点，探求：|QOQD|的最大值【考点】一次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再求出BAO的正切值，然后根据特殊角的三角函数值求解即可；（2）连接OD，过D作DEOA于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得BDO=90，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出OD，直角三角形两锐角互余求出DOE=60，然后解直角三角形求出OE、DE，再写出点D的坐标即可；（3）根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为OA的垂直平分线，再

44、根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点Q为OD与对称轴的交点时|QOQD|=OD的值最大，然后求解即可【解答】解：（1）直线y=x+4分别与x、y轴交于点A、B，当y=0时，x+4=0，解得x=4；当x=0时，y=4，A（4，0），B（0，4）OA=4，OB=4，在RtAOB中，tanBAO=，BAO=30；（2）连接OD，过D作DEOA于点E，OB是M的直径，BDO=ADO=90，在RtAOD中，BAO=30，OD=OA=4=2，DOE=60，在RtDOE中，OE=ODcosDOE=2=，DE=ODsinDOE=2=3，点D的坐标为（，3）；（3）易知对称轴l是OA的垂直平分线，延长OD

45、交对称轴l于点Q，此时|QOQD|=OD的值最大，理由：设Q为对称轴l上另一点，连接OQ，DQ，则在ODQ中，|QOQD|OD，|QOQD|的最大值=OD=2【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数定义，解直角三角形，二次函数的对称性，三角形的三边关系，（3）判断出点Q为直线OD与对称轴的交点是解题的关键2. 如图，已知A，B两点的坐标分别为（3，0），（0，3），C的圆心坐标为（3，0），并与x轴交于坐标原点O若E是C上的一个动点，线段AE与y轴交于点D（1）线段AE长度的最小值是 ，最大值是 ；（2）当点E运动到点E1和点

46、E2时，线段AE所在的直线与C相切，求由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积；（3）求出ABD的最大值和最小值（题图）（答图）【考点】圆的综合题【专题】几何综合题【分析】（1）根据动点E在x轴上时，AE取得最小值与最大值解答；（2）连接CE1、CE2，根据圆的切线的定义可得CE1AE1，CE2AE2，解直角三角形求出ACE1=60，过点E1作E1Fx轴于F，利用ACE1的正弦求出E1F，然后利用三角形的面积求出ACE1的面积，同理可得ACE2的面积，再根据由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积=四边形AE1CE2的面积扇形CE1E2的面积，然后列式计算即可得解；（3）根据直

47、角三角形两锐角互余求出DAO=30，利用DAO的正切值求出OD的长度，根据三角形的面积，点D在y轴负半轴时，ABD的面积取得最大值，在y轴正半轴时，ABD的面积取得最小值，然后进行计算即可得解，【解答】解：（1）A（3，0），OA=3，C的圆心坐标为（3，0），并与x轴交于坐标原点O，C的半径为3，AE长度的最小值为3，最大值为3+32=9；故答案为：3，9；（2）如图，连接CE1、CE2，点E运动到点E1和点E2时，线段AE所在的直线与C相切，CE1AE1，CE2AE2，cosACE1=，ACE1=60，过点E1作E1Fx轴于F，则E1F=CE1sin60=3sin60=3=，ACE1的面积

48、=ACE1F=6=，同理可得，ACE2的面积=，四边形AE1CE2的面积=ACE1的面积+ACE2的面积=+=9，由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积=四边形AE1CE2的面积扇形CE1E2的面积，=9，=93；（3）ACE1=60，DAO=90ACE1=9060=30，OD=AOtanDAO=3tan30=3=，点A到BD的距离为OA的长度，不变，点D在y轴负半轴时，ABD的面积取得最大值，此时BD=OB+OD=3+，最大面积为：（3+）3=，在y轴正半轴时，ABD的面积取得最小值，此时BD=OBOD=3，最小面积为：（3）3=【点评】本题是圆的综合题型，主要考查了圆外一点与圆上各点的距离的最值问题，圆的切线问题，解直角三角形，以及三角形的面积，综合题，但难度不大，（1）（3）确定出最大值与最小值时的点E的位置是解题的关键，（2）根据对称性求出四边形的面积，并表示出围成图形的表示是解题的关键