函数最值11(2)

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1、目录引言1一.拆项观察法1例1.11二.利用三角函数的有界性1 例2.11三.利用求解2 例3.12 例3.22四.转化为二次函数求解2 1、利用配方法或换元法把三角函数的最值转化为二次函数的最值。2 例4.132、对于型的三角函数最值问题的求解3例4.23五.利用函数单调性求解3 例5.13六.几何法求解3 1、与平面向量、三角形相结合求最值。3 例6.14 2、构建直线的斜率模型求函数最值。4 例6.24七.利用导数求函数的最值5 例7.15总结6参考文献6 函数最值三角函数最值的求解方法 内容摘要函数最值问题是一类很重要的数学问题。在几何中求图形的面积、体积时常包含着最值问题；在物理中，

2、速度的变化率、物体运行轨迹等都涉及到最值问题，因此最值问题的研究有着重要的理论意义。在市场经济中，如何进行组织生产和合理的资源调度，使得生产成本能够最小，如何对产品定价获得最大的利润，而在实际生活中，也常常遇到在运动变化中求最值问题，综上，研究最值问题有很重要的现实意义。本文介绍了拆项观察法、有界性法、二次函数求解法、函数单调性法、几何法、导数法等解法求三角函数的最值，并结合高中数学，高考试题等进行了分析研究.Abstract Function best value problem is a very important class of mathematical problems . The

3、 area of geometry and graphics , the volume often contains the most value ; in physics , the rate of speed , the object trajectory and so it comes to the most value problem , therefore ,the most value research has important theoretical significance . in a market economy , how to organize production

4、and resource scheduling , marking production costs can be minimized , and product pricing to maximize profits , but in real life , but also often encountered in the process of change in the movement for the most value at the same time in the teaching process , we often encountered in seeking the mos

5、t value for a variety of geometry and function summary , the best value issues have very important practical significance .This paper introduces the demolition of observation, the method of the bounded、the method of solving quadratic function、the law of monotonic function、the geometric method、 such

6、as derivative of the trigonometric function solution for the most value, combined with high school mathematics, such as College Entrance Examination analysis study.关键词： 三角函数；最值问题；求解方法.Key Words：trigonometric functions；The most value problem；solution.7 函数最值三角函数最值的求解方法学生姓名：龙英引言：现实生活中，常常会遇到如何选取路径才能最快到达

7、目的地，选取哪种投资方案公司的效益才最高等.对于这些问题，可以将其转化成数学问题，最终通过解决数学问题来达到解决问题的目的.函数最值具有这样的特点，它不仅广泛用于生产、生活和科学研究中，而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置.其中三角函数最值问题是新教材例题、习题中涉及的问题，更是历年高考考察的三角内容之一，它是函数最值的一个重要组成部分，是三角函数知识的综合运用.它不仅与三角变换直接相关，而且与二次函数、解不等式、基本不等式的应用以及某些几何知识都紧密相关. 由此看来，三角函数最值问题的研究是很有价值的.本文特介绍了现实生活中常遇到的求最值的几种方法。一.拆项观察法例1.1、求三角函数的最

8、值.分析:根据所给分式的特点，可将原分式转化成分子为常数，而分母含有变量的式子，然后利用的有界性观察即得：.-1；. ，.二.利用三角函数的有界性对于型的三角函数的最值问题，可以通过反解出，然后利用正余弦函数的有界性求解，即利用转换成求解不等式，从而确定其最值.例2.1、求三角函数的最值.解：原式可化为，利用可得: |；.若是将例1中的函数稍作变化，即求三角函数的最值.则需要根据此函数式的特点，将二元变量转换成一元变量.然后利用正余弦函数的有界性求解.具体方法如下：三.利用求解例3.1、求三角函数的最值.解：由或 .一般地，形如的三角函数的最值问题均可以化为：来求解.例3.2、分析:观察函数式

9、有：解： 由.四.转化为二次函数求解1、利用配方法或换元法把三角函数的最值转化为二次函数的最值。（注意区分有限制条件和无限制条件两种类型以及隐含条件的挖掘）例4.1、设函数f(x)sin2x+acosx+a- (0x)的最大值为1,求a的值.解: f(x)sin2x+acosx+a-=-cos2x+acosx+a-, 令t=cosx ,则t0,1 f(x)- t2+at+a-=-(t-)2+( +a-) 分情况讨论：(1) 当a0时，f(x) 的最大值为1，a无解(2) 当0a2时, f(x) 的最大值为1，a无解 .综上所述：a=点评:换元之后,将三角函数转化为二次函数(动函数)在一定区间上

10、的最值问题;注意要分类讨论。 2、对于型的三角函数最值问题的求解，通常可以通过配方后转换成二次函数求其最值.但是应该时时注意约束条件.例4.2、求的最值.分析:因为函数式是关于的二元函数式.若转化为关于的一元变量后，原式即为关于的一元二次函数，可以用配方法或数形结合法求解.解：=.当时，当 时，.五.利用函数单调性求解主要利用一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及复合函数的单调性，确定函数在定义域上的单调性求出函数的最值.若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值. 例5.1、求函数的最值.解：令，则（；可证在

11、上为单调递减函数.六.几何法求解1、与平面向量、三角形相结合求最值。例6.1、已知向量=（cos,sin）,向量=（cos,-sin）且x0,若f(x)= .-2|+|的最小值为-求的值。解：f(x)= .-2|+|=cos2x-4cosx x0, =2cos2x-4cosx-1=2(cosx-2-1 cosx0,1 分情况讨论：当0时，无解。当01时，=当1时，无解。 综上所述：=2、构建直线的斜率模型求函数最值.形如 的几何意义是动点（）与定点（a ,b）连线的斜率，通过研究斜率的取值范围，得到函数的值域，从而求得函数的最值.例6.2、求的最大值与最小值.6 分析:此题考查的是型如的三角函

12、数最值的求法及三角函数有界性，把看作单位圆上的动点，则为过（2，2），两点直线的斜率即可解.解：令，有，它表示单位圆.即所给函数y就是经过定点A（2，2）以及单位圆上动点M的直线AM的斜率k.所以只要求得直线的斜率k的最值即可.如图，可知当直线AM与圆相切时，直线的斜率取得最值.设直线的方程为，即，由点到直线距离公式，有解得k=或k=.所以.此题除了用上述方法求解外，还可以通过去分母，转换成关于的表达式，然后利用的有界性求解.也可以令，利用万能公式转换成，即，由得.从而可进一步求解.七.利用导数求函数的最值由高中导数知识可知，任何可导函数在闭区间上必有最大值、最小值，从而可求函数的最值.具体方

13、法与步骤介绍如下：设是定义在闭区间上的函数， 在区间上有导数，那么，求在上最大、最小值的步骤是：（1）求在内的极值.（2）将的各极值与,比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.但是在求极值的时候，如果的解较多，往往需要通过列表讨论在的解的两侧的符号来确定其最值的情况，这是比较麻烦的.其实我们可以将这种求最值的方法简化.方法如下：（1）求；（2）求的解；（3）求这些解的函数值及 、，从中确定最大、最小值.我们知道，对可导函数，的解处，不一定都是极值点（如在处）而极值点处一定有.因此，我们虽然将函数最值的考察范围由极值处及、处扩大到了的解的函数值及、，但这并不影响我们对函数最值的选取.从

14、而简化了求函数最值的方法.例7.1、已知，求=+的最小值. 分析:此题若是通分整理，则分子、 分母含有二元变量，利用上述介绍的几种方法都不能求解，此时可考虑用新教材中增加的求导方法来求解.解：=+，+令 =3，而，则.而当时，.当时，. 当时，.总结：总之，函数的最值问题无论是形式还是内容上，都是多种多样，丰富多彩的。最重要的是对于它的解法，很灵活多变，在求解时没有固定的方法，是因题而异的。本文探讨了求解三角函数的最值的七种方法：拆项观察法、利用三角函数的有界性求解法、利用求解法、转化为二次函数求解法、利用函数单调性求解法、几何法求解法、利用导数求函数的最值法，并对每一种方法都举例说明，不同的

15、问题用了不同的方法，还介绍了一些特殊函数最值问题。由于三角函数最值问题形式的多样性，在求解此类问题时，不仅要灵活运用三角变换的方法和技巧，还要注意代数知识和方法的运用，以提高解决此类问题的能力。实际运用中，要把各种解法灵活地综合起来在还需要我们以后进一步研究学习。参考文献：（一）专著1中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)M,北京:北京师范大学出版社, 2001.7.2华东师范大学数学系.数学分析（上册 第三版）M,北京:高等教育出版社.3王宁，王海红.高中数学双基效率手册. M,北京；北京工业大学出版社.4 人民教育出版社中学数学室，全日制普通高级中学教科书（ 选修 第三

16、册）M. 北京：人民教育出版社，2007，7. 5 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书（数学必修2（A版）M.北京： 人民教育出版社，2008，5.6 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书（数学必修5（A版）M.北京： 人民教育出版社，2007，5.7 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书（数学选修2（A版）M.北京：人民教育出版社，2007，7.（二）期刊文章1 王黎英.求函数最值的常用方法J.保山师专学报，2001，20：11-16.2 郑丽娜.最值的求法J.甘肃高师学报，2002，7：121-123.3方晓华，吴凤香，王保存.函数最值问题的解法探究J.金华职业技术学院学报，2002，2：51-53.