数学随机变量及其分布

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1、数学随机变量及其分布数学随机变量及其分布一、随机变量一、随机变量二、离散型随机变量及其分布律二、离散型随机变量及其分布律三、随机变量的分布函数三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量及其概率密度四、连续型随机变量及其概率密度五、随机变量的函数的分布五、随机变量的函数的分布主要内容主要内容第1页/共84页第一节第一节 随机变量随机变量第2页/共84页 为了全面研究随机试验的结果为了全面研究随机试验的结果, 揭示随机揭示随机现象的统计规律性现象的统计规律性, 将随机试验的结果与实数将随机试验的结果与实数对应起来对应起来, 即将随机试验的结果即将随机试验的结果数量化数量化, 引入引入随机变量的概念随

2、机变量的概念.第3页/共84页 在随机试验完成时在随机试验完成时, 人们常常不是关心人们常常不是关心试验结果本身试验结果本身, 而是对于试验结果联系而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣着的某个数感兴趣.这样，我们可以引这样，我们可以引进一个变量来表示它的各种结果进一个变量来表示它的各种结果.也就也就是说，是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. 第4页/共84页例例1 在一袋中装有编号分别为在一袋中装有编号分别为1,2,3的的3只球只球. 在袋中任取一只在袋中任取一只球球, 放回放回. 再取一只球再取一只球, 记录它们记录它们的编号的编号. 计算两只球的号码之和计算两只球的号码之和. 试验的样

3、本空间试验的样本空间S=e=i,j,i,j=1,2,3. 这里这里i,j分别表示第一分别表示第一,二球的号码二球的号码. 以以X记两球号码之和记两球号码之和, 对于每一个样本点对于每一个样本点e, X都有一个值与之对应都有一个值与之对应, 如右如右上图所示上图所示.123i123423453456j第5页/共84页 在有些试验中，试验结果表面上看来与数值无在有些试验中，试验结果表面上看来与数值无关，仍然可以将结果数值化。关，仍然可以将结果数值化。例例2 2 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况抛一枚硬币，观察正反面的出现情况.我们引入记号：我们引入记号：， TeHeeXX,0, 1)(显然，该试验

4、有两个可能的结果：显然，该试验有两个可能的结果：TH,于是我们就可以用于是我们就可以用1 X表示出现的是正面，表示出现的是正面，而用而用0 X表示出现的是反面。表示出现的是反面。X就是一个随机变量。就是一个随机变量。第6页/共84页又如：又如： 将一枚硬币掷三次将一枚硬币掷三次, 观察正面观察正面H, 反面反面T出现的情况出现的情况. 32,1,0eHHHeHHT HTH THHXX eeHTT THT TTHeTTT样本空间S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT;若记若记X为三次出现正面的总数，那么，对于样本空间为三次出现正面的总数，那么，对于样本空间S=e中的每

5、一个样本点中的每一个样本点e，X都有一个数与之对应。都有一个数与之对应。X是定义在样是定义在样本空间本空间S上的一个实值单值函数。它的定义域是样本空间上的一个实值单值函数。它的定义域是样本空间S，值域是集合值域是集合0，1，2，3.使用函数记号可以写成：使用函数记号可以写成：第7页/共84页 定义定义 设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S，若对于每，若对于每一个一个eS, 有一个实数有一个实数X(e)与之对应与之对应, 即即X=X(e)是定是定义在义在S上的单值实函数，称它为上的单值实函数，称它为随机变量随机变量(random variable, 简记为简记为r.v.)。X(e)s

6、Re.随机变量随机变量X 是上的映射 RS 第8页/共84页 随机变量的取值随试验结果而定随机变量的取值随试验结果而定, 而试验的各个结而试验的各个结果出现有一定的概率果出现有一定的概率, 因而随机变量的取值有一定的因而随机变量的取值有一定的概率概率. 例如例如, 在在例例2中中X取值为取值为2, 记成记成X=2, 对应于样对应于样本点的集合本点的集合A=HHT, HTH, THH, 这是一个事件这是一个事件, 当当且仅当事件且仅当事件A发生时有发生时有X=2. 则称则称P(A)=PHHT, HTH, THH为为X=2的概率的概率, 即即P(X=2)=P(A)=3/8. 一般一般, 若若L是一

7、个实数集合是一个实数集合, 将将X在在L上取值写成上取值写成X L. 它表示事件它表示事件B=e|X(e) L, 即即B是由是由S中使得中使得X(e) L的所有样本点的所有样本点e所组成的事件所组成的事件. 此时有此时有PX L=P(B)=Pe|X(e) L,随机变量的取值随试验的结果而定随机变量的取值随试验的结果而定, 在试验之前不能在试验之前不能预知它取什么值预知它取什么值, 且它的取值有一定的概率且它的取值有一定的概率. 此性质说此性质说明随机变量与普通函数有本质的差异明随机变量与普通函数有本质的差异.第9页/共84页 (1) 随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , 但普通函数是定但普

8、通函数是定义在实数轴上的义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间而随机变量是定义在样本空间上的上的 (样本空间的元素不一定是实数样本空间的元素不一定是实数).随机变量与普通函数的区别随机变量与普通函数的区别: (2) 随机变量随机变量X 的可能取值不止一个的可能取值不止一个, 试验前只试验前只能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值(3) X 以一定的概率取某个值以一定的概率取某个值. 第10页/共84页第二节第二节 离散型随机变量离散型随机变量 及其分布律及其分布律离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量表示方法离散型随机变

9、量表示方法三种常见分布三种常见分布第11页/共84页如果随机变量如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值，只取有限或可列无穷多个值，则称则称X为为离散型随机变量离散型随机变量.对于离散型随机变量，关键是要确定：对于离散型随机变量，关键是要确定：1）所有可能的取值是什么？）所有可能的取值是什么？2）取每个可能值的概率是多少？）取每个可能值的概率是多少？设设离离散散型型随随机机变变量量X的的可可能能取取值值为为,21xx，而而 ,kkpxXP , 2 , 1 k称之为离散型随机变量称之为离散型随机变量X的的分布律分布律。第12页/共84页或写成如下的表格形式：或写成如下的表格形式：,kkpxXP ,

10、 2 , 1 kXP1x2xkx1p2pkp显显然然，其其中中ip必必须须满满足足以以下下两两个个条条件件： （1 1）非非负负性性 0 ip； （2 2）规规范范性性 iip1。 第13页/共84页例例3 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独，求他两次独立投篮投中次数立投篮投中次数X的概率分布的概率分布.解：解： X可取值为可取值为0,1,2 ; PX =0=(0.1)(0.1)=0.01 PX =1= 2(0.9)(0.1) =0.18 PX =2=(0.9)(0.9)=0.81第14页/共84页下面给出几种常见的离散型随机变量的概率分布。下面给出几种常见

11、的离散型随机变量的概率分布。 背景：一次试验的成功次数背景：一次试验的成功次数X所服从的分布所服从的分布. .XP01p 1p1(1),0,1.kkP Xkppk分布律为分布律为或用公式表示或用公式表示(1) 0-1分布分布 如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功的概率为的概率为p，则成功的次数，则成功的次数 服从参数为服从参数为p的的0-1分布。分布。X第15页/共84页 0-1分布是最简单的一种分布分布是最简单的一种分布,任何一个只有两任何一个只有两种可能结果的随机现象种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、比如新生婴儿是男还是女、

12、明天是否下雨、种籽是否发芽等明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都可以用服从两点都可以用服从两点分布的随机变量来描述分布的随机变量来描述.说明第16页/共84页例例4 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格品件不合格品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件,那末那末,若规定若规定 , 0, 1X取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0 1)分布分布.Xkp0120019020010第17页/共84页（2 2）二项分布）二项分布( (Binomial Distribution) )背景：背景：n重伯努利试验中的成功次数重伯努利试

13、验中的成功次数X所服从的分布所服从的分布. . 若随机变量若随机变量X的分布律为的分布律为：nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,)1 (则称随机变量则称随机变量X服从参数为服从参数为n ,p的二项分布，的二项分布，),(pnBX记为或),(pnbX注意，当n=1时二项分布就是0-1分布。第18页/共84页例例5 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从中个次品，现从中有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1个，求在所取的个，求在所取的3个中恰有个中恰有2个个次品的概率次品的概率. 解解: 因为这是有放回地取因为这是有放回地取3次，因此这次，因此这3 次试验次试验的

14、条件完全相同且独立，它是伯努利试验的条件完全相同且独立，它是伯努利试验.依题意，每次试验取到次品的概率为依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设设X为所取的为所取的3个中的次品数，个中的次品数，于是，所求概率为于是，所求概率为：则则X B(3, 0.05)，nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,)1 (.007125. 0)95. 0()05. 0() 2(223CXP第19页/共84页解解,X设击中的次数为设击中的次数为).02. 0 ,400( BX则则的分布律为的分布律为X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012

15、 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例6.,400,02. 0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击第20页/共84页(三三)泊松分布泊松分布 设随机变量设随机变量X所有可能取的值为所有可能取的值为0,1,2,., 而取各个而取各个值的概率为值的概率为e,0,1,2,!kP Xkkk 000eeee1!kkkkkP Xkkk 其中其中 0是常数是常数. 则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 记为记为Xp p( ).第21页/

16、共84页电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震次数地震次数火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.第22页/共84页例例7 已知已知 服从泊松分布，且服从泊松分布，且2,! 22得ee求,21XPXP.4XPeXPeXP! 22,! 112122432! 424eeXP

17、,2, 1 ,0,!kekkXPk解：解：X第23页/共84页泊松（泊松（Poisson）定理：）定理：设设0是一常数是一常数,n是任意正整是任意正整数数,设设npn=,则对于任一固定的非负整数则对于任一固定的非负整数k,有有lim(1)!kkn knnnneppkk 通常在通常在n比较大比较大, p很小时很小时, 用泊松分布近似代替用泊松分布近似代替二项分布的公式二项分布的公式, 其中其中 =np.泊松分布的方便之处在泊松分布的方便之处在于有现成的分布表可查于有现成的分布表可查(见见P383附表附表3)第24页/共84页例例8 计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯计算机硬件公司制造某种特殊

18、型号的微型芯片，次品率达片，次品率达0.1%，各芯片成为次品相互独立。求，各芯片成为次品相互独立。求在在1000只产品中至少有只产品中至少有2只次品的概率。只次品的概率。10110000100011000 1Xb(1000,0.001)21()10001(0.001) (0.999)10001(0.999)(0.001) (0.999)110.36769540.36806350.2642411kkkkP XP Xkk 解：以解：以 X记次品只数，则记次品只数，则第25页/共84页011111210111110.26424110!1!P XP XP Xeeee 1000 0.0011np若应用泊

19、松定理来近似计算：1np若用查泊松分布表来近似计算：2111 0.73580.26420P XP X 第26页/共84页课堂练习 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为 10的泊松分布。为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？ 附解按题意要求为件，件，月底的进货量为品设商店每月销售某种商nX95. 0 nXP的泊松分布，则有服从10Xnkkek01095. 010！由附录的泊松分布表知 1410015100100.91650.95100.95130.95.kkkkekek，！只要在月底进货15件(假定上月没有存货)，就可以95%的概率保证这种商

20、品在下个月内不会脱销 。第27页/共84页第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数第28页/共84页背景：背景： 对于非离散型随机变量对于非离散型随机变量X, 由于其可能取的值不能由于其可能取的值不能一个一个地列举出来一个一个地列举出来, 因而就不能像离散型随机变量因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它那样可以用分布律来描述它. 另外另外, 通常所遇到的非离通常所遇到的非离散型随机变量，取任一指定的实数值的概率都等于散型随机变量，取任一指定的实数值的概率都等于0. 此时，我们转而去研究随机变量所取的值落在一个此时，我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率区间的概率

21、, Px1X x2.由于由于 Px1X x2=PX x2 PX x1.所以我们只需知道所以我们只需知道PX x2和和PX x1就可以了就可以了. 由此由此引出分布函数的概念引出分布函数的概念.第29页/共84页()x 为为X 的的分布函数分布函数。设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，定义定义是任意实数，则称函数是任意实数，则称函数x( )(),F xP Xx12P xXx21()( )F xF x随机变量落在区间里的概率：随机变量落在区间里的概率：1x2xx 21P XxP Xx 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数函数 F(x) 的值就

22、表示的值就表示 X落在区间落在区间 内的概率内的概率,(xxoxX 第30页/共84页分布函数完整地描述了随机变量的统计分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，通过它，我们可以用高等数学规律性，通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量的工具来研究随机变量.X 的分布函数分布函数。( )()F xP Xxx第31页/共84页分布函数分布函数F(x)具有以下的基本性质具有以下的基本性质:1、F(x)是一个不减函数是一个不减函数.对于任意实数对于任意实数x1,x2(x1x2)有有 F(x2)-F(x1)=Px1X x2 0.2、 0 F(x) 1, 且且()lim( )0,( )lim( )

23、1.xxFF xFF x xXO3、F(x+0)=F(x), 即即F(x)是右连续的是右连续的第32页/共84页解解:例例9 已知随机变量已知随机变量X 的分布律为的分布律为1612131Xkp02求分布函数求分布函数( )F x( )F xP Xx,00 ,0101 ,12012 ,20,01/3,011/2,121,2PxP XxP XP XxP XP XP Xxxxxx第33页/共84页 的图形是阶梯状的图形的图形是阶梯状的图形,在在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).1 312x1 61 21 6OOO1

24、)(xF210F(x)右连续( )()F xP Xx分布函数分布函数图图第34页/共84页设离散型设离散型 r .v X 的分布律是的分布律是P X=xk = pk , k =1,2,3, F(x) = P(X x) = kkxxp即即F(x) 是是 X 取取 的诸值的诸值 xk 的概率之和的概率之和.x则其分布函数则其分布函数第35页/共84页例10 在区间1,5上任意掷一个质点,用X表示这个质点与原点的距离,则X是一个随机变量.如果这个质点落在1,5上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比，求X的分布函数。第36页/共84页15x由题意知是一个必然事件解1,( )0 xXxF xP Xx

25、若则是不可能事件) 1(151xkxXPx，则若51511/4,xPXk特别取由可得从而) 1(4111)(xxXPxPxXPxF1)(5xFxXx是必然事件，则若. 5, 151),1(41, 1, 0)(xxxxxF的分布函数为X151PX即 第37页/共84页的图形如下图所示)(xF跳跃点。在整个数轴上没有一个）上的一个连续函数，是一个定义在（,)(xF第38页/共84页 另外另外, 容易看到本例中的分布函数容易看到本例中的分布函数F(x)对于任意对于任意x可以写成形式可以写成形式( )( )d ,xF xf tt 1,15,( )40,.tf t 其其它它其中其中 这就是说这就是说,

26、F(x)是非负函数是非负函数f(t)在区间在区间(- ,x)上的积上的积分分, 在这种情况下我们称在这种情况下我们称X为连续型随机变量为连续型随机变量.第39页/共84页第四节第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度第40页/共84页一、概率密度及其性质一、概率密度及其性质定义定义 如果随机变量如果随机变量 X 的分布函数可表示成的分布函数可表示成xF( x)P Xxf(t )dt其中其中)(tf为非负的函数为非负的函数,则称则称 X为为连续型随机变量连续型随机变量,f(x)称为称为X的的概率密度函数概率密度函数,简称为简称为概率密度概率密度或或密度密度.记作记作)(xfX

27、第41页/共84页概率密度函数概率密度函数f( (x) )的基本性质：的基本性质： ( )( )dxP XxF xf tt，这两条性质是这两条性质是判定一个函数判定一个函数 f(x)是否为某随是否为某随机变量的概率机变量的概率密度的充要条密度的充要条件件.10 x)(xf12第42页/共84页另外另外,连续型随机变量还具有如下连续型随机变量还具有如下重要重要性质性质: ( )( )3( )bbaaf x dxf x dxP aXbF bF af x dx()( )( )xPXxF xf t dta b P aXbx( )yf xy第43页/共84页( )( ),xF xf t dt( )( )

28、F xf xo)(tfx 若若 f (x) 在点在点 x 处续处续 , 则有则有4第44页/共84页(1) 连续型连续型r.v取任一指定实数值取任一指定实数值a 的概率均为的概率均为0. 即即这是因为这是因为请注意请注意: xaFaFaXxaPaXP 0 0 .P Xa0,x 当当 时时得到得到 0 .P Xa概率为概率为0 的事件未必不发生的事件未必不发生.第45页/共84页)()(bXaPbXaP )(bXaP (2) 对连续型对连续型 r.v X , 有有)(bXaP 连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关.第46页/共84页例例1111 设随机变量设随机变量X X具有概率

29、密度具有概率密度,03,( )2,34,20,.(1);(2)( );7(3)1.2kxxxf xxkXF xPX 其它其它确定常数求 的分布函数确定常数求 的分布函数求求第47页/共84页3401(1)( )d1,d(2)d1216f xxxkxxxk 由由得得解解得得解：解：第48页/共84页 （2）X的分布函数为的分布函数为03030,0,d,03,6( )d2d,34,621,4.xxxxxxF xxxxxxx 第49页/共84页7741(3)1(1)2248PXFF220,0,03,12( )32,34,41,4.xxxF xxxxx 即即第50页/共84页三种重要的连续型随机变量：

30、三种重要的连续型随机变量：1、均匀分布、均匀分布 设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度1,( )0,axbf xba 其其它它ab1Oabxf(x)则称则称X在区间在区间(a,b)上服从上服从均匀分布均匀分布, 记为记为XU(a,b).第51页/共84页 如如X X U U( (a a, ,b b), ), 则它落在则它落在( (a a, ,b b) )中任意子区间内的概中任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关. . 任任给长度为给长度为l l的子区间的子区间( (c c, ,c c+ +l l), ), a

31、a c c c c+ +l l b b, , 有有( )d1d.c lcc lcP cXclf xxlxbaba 第52页/共84页X的分布函数为的分布函数为0,( ),1,.xaxaF xaxbbaxb Oab1F(x)x第53页/共84页例例12 依题意得：X 的密度函数为 031)(xf ；2x0, 有有 PXs+t | X s=PX t事实上事实上()/()()|1()ee1( )e.s ttsPXstXsP Xst XsP XsP XstF stP XsF sP Xt 此性质称为此性质称为无记忆性无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛

32、的运用.第57页/共84页3 3、正态分布、正态分布 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为22()21( )e,2xf xx pp ( )d1f xx 其中其中 , , 00为常数为常数, , 则称则称X服从参数为服从参数为 , , 的正态分的正态分布或高斯布或高斯 Gauss 分布分布, , 记为记为X N N , , 2 2. .显然显然f(x) 0, 0, 下面来证明下面来证明令x/ t, 得到222()2211dd22xtexet 2/ 2ed = 2ttp p 而而第58页/共84页 ;12 dxxf ;01 xf曲线曲线 关于关于 轴对称；轴对称； fx 3函

33、数函数 在在 上单调增加上单调增加, ,在在 上上 fx 4(, ,) 单调减少单调减少, ,在在 取得最大值取得最大值x 正态分布概率密度曲线图正态分布概率密度曲线图: :xyo1.2p22()21( )2xf xep; 0)(,)5(xfx时当第59页/共84页 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中决定了图形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布),(2N22()21( )2xf xep概率密度曲线特点概率密度曲线特点: :第60页/共84页正态变量的分布函数为正态变量的分布函数为 xtxFxt,de21)(222)( p p 第61页/共84页),1 ,

34、 0( NX若则称X服从标准正态分布标准正态分布.其概率密度函数通常用)(x表示,分布函数记作).(x2221)(xexpxtdtex2221)(p第62页/共84页 特别特别, 当当 =0, = 1时称时称X服从服从标准正态分布标准正态分布. 其概其概率密度和分布函数分别用率密度和分布函数分别用 (x)和和 (x)表示表示, 即有即有22/ 2/ 21( ),21( )ed .2xxtxext p p 易知(x)=1(x) 人们已经编制了(x)的函数表, 可供查用(见附表2,P304).第63页/共84页引理引理 若若XN( , 2), 则则(0,1)XZN 22()21ed ,2,txXP

35、 ZxPxP Xxttu 令得令得2/21ed( ),2xuP Zxux 证证XZ 的分布函数为的分布函数为由此知由此知ZN(0,1).第64页/共84页若若XN( , 2), 则它的分布函数则它的分布函数F(x)可写成可写成:( ).XxxF xP XxP 121221.xxXP xXxPxx 对于任意区间对于任意区间(x1,x2, 有有第65页/共84页例如例如, 设设XN(1,4), 查表得查表得1.610101.622(0.3)( 0.5)0.61791(0.5)0.617910.69150.3094.PX 第66页/共84页 设设XN( , 2), 由由 (x)的函数表还能得到的函数

36、表还能得到:P X + = (1) ( 1)=2 (1) 1=68.26%P 2 X +2 = (2) ( 2)=95.44%P 3 X +3 = (3) ( 3)=99.74% 我们看到我们看到, 尽管正态变量的取值范围是尽管正态变量的取值范围是( , ), 但它的值落在但它的值落在( 3 , +3 )内几乎是肯定的事内几乎是肯定的事. 这就这就是人们所谈的是人们所谈的3 法则法则.第67页/共84页 3 2 2 3 68.26%95.44%99.74%第68页/共84页例例13 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内. 调节器整定在dC, 液体的温度X(以C计)是一个随机变量, 且XN

37、(d, 0.52).(1) 若d=90, 求X小于89的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99, 问d至少为多少?90899089( 2)0.50.51(2)10.97720.0228.XP XP 解解 (1)所求概率为所求概率为第69页/共84页(2) 按题意需求按题意需求d满足满足800.99800.50.58080110.50.50.58010.991(2.327)( 2.327),0.5802.327.0.581.1635.XddP XPXdddPddd 亦即亦即故需故需第70页/共84页816816(2)0.977344XP XP 880( 2)1(2)0

38、.022744XP XP 12882081220(3)(1)4440.99870.84130.1574XPXP 查表得的分布函数由引理及,X已知求16, 0P XP X及1220PX)(8,4 2NX课堂练习课堂练习1：解答：解答：第71页/共84页练习练习2 2 公共汽车车门的高度是按乘客与车门顶头碰公共汽车车门的高度是按乘客与车门顶头碰头机会在头机会在0.01 以下来设计的以下来设计的. .设人的身高设人的身高XN( (170, ,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 提示：提示：P(X h)0.01或或 P(Xza a=a a,0a a1, 则称点则称点za a为标

39、准正态分布的为标准正态分布的上上a a分位点分位点.由由 (x)的对称性知的对称性知z1 a aza aza aa aa0.0010.0050.010.0250.050.10za3.0902.5762.3271.9601.6451.282第73页/共84页第五节第五节 随机变量的函数的分布函数随机变量的函数的分布函数问题的提出问题的提出离散型离散型r.v.的函数的分布的函数的分布连续型连续型r.v.的函数的分布的函数的分布第74页/共84页一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.求截面面积求截面面积 A= 的分布的分布

40、.比如，已知圆钢截面直径比如，已知圆钢截面直径 d 的分布，的分布，42dp本节研究的主要问题：本节研究的主要问题：已知随机变量已知随机变量X的概率的概率分布（分布律或概率密度），求其函数分布（分布律或概率密度），求其函数 的的概率分布。概率分布。g X第75页/共84页一一. .离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布例例14 设随机变量设随机变量X具有以下的分布律具有以下的分布律 试求试求Y=(X 1)2的分布律的分布律.解： Y所有可能值为0,1,4, 由PY=0=P(X1)2=0=PX=1=0.1,PY=1=PX=0+PX=2=0.7,PY=4=PX1=0.2,X1012pk0

41、.20.30.10.4Y014pk0.10.70.2第76页/共84页例例15 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度,04,( )80,.Xxxfx 其它其它( )2888.22YXFyP YyPXyyyPXF解：分别记解：分别记X,Y，Z的分布函数为的分布函数为FX(x),FY(y), FZ(y). 下面先来求下面先来求FY(y). 求变量求变量Y=2X+8及及Z=X2的概率密度的概率密度.二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布第77页/共84页将将FY(y)关于关于y求导数求导数, 得得Y=2X+8的概率密度为的概率密度为88( )221818, 04,8222

42、0,8,816,320,.YXyyfyfyyyy 其它其它其它其它8( ).2YXyFyF 第78页/共84页再求再求FZ(z)2( )ZFzP ZzP Xz z0( )0;当时，ZFz z16 ( )1当时，ZFz 016 当时,z( )0ZFzPXz0816ztzdt z16 ( )1当时，ZFz1, 016( )160, 其他Zzfz。Z在区间(0,16)上服从均匀分布第79页/共84页练习练习 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度fX(x), - x , 求求Y=X 2的概率密度的概率密度.1()(),0,2( )0,0.XXYfyfyyyfyy 结结果果例如例如设设XN(0

43、,1), 其概率密度为其概率密度为2/21( )e,2xxx 1/2/21e,0,( )20,0.yYyyfyy 则则Y=X2的概率密度为的概率密度为此时称此时称Y服从自由度为服从自由度为1的的c c2分布分布.第80页/共84页定理定理 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度fX(x), x0 (或或恒有恒有g(x)0), 则则Y=g(x)是连续型随机变量是连续型随机变量, 其概率密度其概率密度为为 ( )|( )|,( )0,XYfh yh yyfyaa 其其它它 其中其中a a=min(g( ),g( ), =max(g( ),g( ), h(y)是是g(x)的反函数的反函数.证

44、明略证明略第81页/共84页 例例1616 设随机变量 的概率密度为X),(xfX, baXY这里a,b是常数且, 0a求 的概率密度Y).(yfY1YXybf ( y )f|a |a所所以以解： 1dyyg xaxb,adxybh yhyaa因因为为不不变变号号 又又，= =第82页/共84页pp 22222211212y b()ayy ( b a)af ( y )eaeya得得 若),(2NX则则22YaXb N(ab,a).所所以以 即即正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量. 根据上例可得如下重要结论：根据上例可得如下重要结论：p22212xf ( x )eX X由由 第83页/共84页